课件30张PPT。11.3 多边形及其内角和第2课时 多边形的内
角和第十一章 三角形1课堂讲解多边形的内角和 多边形的外角和
多边形内角和与外角和的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各
边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一
共转过了多少度呢？知1－讲1知识点三角形外角的定义思考
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的
内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等
于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等
于360°吗？ 要用三角形内角和定理证明四边形的内角和 等于360 °只
要将四边形分成几个三角形即可. 如图11.3-8,在四边形ABCD中，连接对 角线AC，
则四边形ABCD被分为△ ABC和 △ ACD两个三角形.
由此可得
∠ DAB + ∠ B+∠ BCD+ ∠ D
= ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ B+ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ D
= (∠ l+ ∠ B+ ∠ 3)+(∠ 2+ ∠ 4+ ∠ D).
∵ ∠ 1+ ∠ B+ ∠ 3=180°,
∠ 2+ ∠ 4+ ∠ D = 180°,
∴∠ DAB + ∠B + ∠ BCD+ ∠ D=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.知1－讲 观察图11. 3-9,填空:
从五边形的一个顶点出发，可以作___条对角线，它们将五边形
分为____个三角形，五边形的内角和等于180°× ___.
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形
分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°× ___.
通过以上过程，你能发现多边形的内角和与 边数的关系吗？ 类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？知1－讲知1－讲 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)
条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形
的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角
形，还有其他分法吗？由新
的分法，能得出多边 形内角
和公式吗？ 知1－讲这样就得出了多边形内角和公式：
n边形内角和等于(n － 2) ×180°.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角
有什么关系？
如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°
=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )
=360°－180°=180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一
组对角也互补.【例1】解：知1－讲已知边数求内角和可直接代入内角和公式：
n边形内角和等于(n－2)×180°求解．知1－讲一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？知1－练（来自《教材》）1已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．2〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1 260°，
则这个多边形的边数是________．设这个多边形的边数为n，由题意知，
(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.【例2】导引：9知1－讲(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内
角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程
求出n，即得多边形的边数；
(2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据
多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解
方程求出n，即得多边形的边数．知1－讲(2015·怀化)一个多边形的内角和是360°，这个多边形是( )
A．三角形 B．四边形
C．六边形 D．不能确定（来自《典中点》）1知1－练(2015·丽水)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形（来自《典中点》）2知1－练知2－导2知识点三角形的外角和如图11.3-11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？【例3】考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么 关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内 角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有 什么关系？
联系这些问题，考虑外角和的求法.六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六
边形 的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和
减去内角 和，即外角和等于6×180°－ (6 － 2) × 180°=2×180 ° =360 °.分析：解：知2－导思考：
如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的
任意整数），可以 得到同样结果吗？知2－导知2－导（来自《点拨》）由上面的思考可以得到：
多边形的外角和等于360°. 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等
于360°.
如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形
的各边走过各顶点，再回到点A，然后 转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和， 就
是多边形的外角和.由于走了一周，
所转的各 个角的和等于一个周角，
所以多边形的外角和等 于 360°.知2－讲图 11.3-12已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．
设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，
3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°
＋4x°＝360°.
所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.
所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.【例4】 导引：解：知2－讲知2－讲(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可
利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：
各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再
说明它们等于360°，即可求出；
(2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问
题也可以转化为外角问题来解决.知3－导3知识点多边形内角和与外角和的关系 多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点
的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问
题的关键，是内、外角转换的纽带．(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是
六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角
和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个
内角都是120°，进而得到内角和是720°)；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但
外角和不变．填空：
(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是_________
边形，它的内角和是________度，外角和是_________度；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，
外角和增加__________．知3－讲【例5】 解析：六720360180°0° 由于多边形的外角和等于360°，因此有些正
多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决．知3－讲一个正多边形的一个内角比它的外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．知3－练（来自《点拨》）1(2015·宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )
A．3 B．4 C．5 D．62一个多边形的内角和是外角和的一半，它 是几边形？
(2) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是
几边形？（来自《教材》）3知3－练(2015·广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8（来自《典中点》）4知3－练通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？
①多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。
②体会数学中的类比和转化的数学思想。1. 完成教材P24-25习题11.3T3-4， T6-8；
2.补充:请完成《典中点》剩余部分习题.必做：课件28张PPT。11.3 多边形及其内角和第1课时 多边形第十一章 三角形1课堂讲解多边形 多边形的对角线
正多边形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点多边形 观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以
由一些线段 围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些
线段围成的图形吗？ 我们学过三角形.类似地，在平面内，由一些
线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形
（polygon).知1－导 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、 四
边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个
多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
如图,螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计
为八边形.知1－讲顶点内角边可表示为：
五边形ABCDE或五边形DCBAEABCDE外角：多边形相邻两边组成的角内角的邻补角知1－讲知1－讲如图 (1)，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD)所在直 线，整
个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形.而
图 (2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD (或BC)所
在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.类似地，画出多边形
的任何一 条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，
那么这个多边形就是 凸多边形.本节只讨论凸多边形.下列说法中，正确的有( )
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”
的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次连
接”；(3)n边形有n个内角和2n个外角，即外角的个数是内角
个数的2倍．(1)(4)说法正确．【例1】 导引：B知1－讲理解多边形的定义需注意：
(1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条；
(2)必须是“平面图形”；
(3)首尾顺次相接．知1－讲下列图形中，不是多边形的是( )知1－练（来自《典中点》）1对于多边形的外角，最准确的表述是( )
A．内角的邻角 B．与内角有公共顶点的角
C．内角的邻补角 D．内角的对顶角（来自《典中点》）2知1－练图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．（来自《点拨》）3知1－练2知识点多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多
边形的对角线（diagonal). 图中，AC，AD是五边形
ABCDE的两条对角线.知2－讲五边形ABCDE的共有几条对角线？请画出它的其他对角线.画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数.01235从n边形的一个顶点出发能画出多少条对角线？知2－讲你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能，请画
出所有对角线.0259太难画了！知2－讲 你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五十
边形呢？一百边形呢？n边形呢？知2－讲0001222533944145n-3n-2知2－讲画出下列多边形的全部对角线：（来自《教材》）1知2－练2四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可 以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？（来自《典中点》）4从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4知2－练3过多边形的一个顶点可以引2 016条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．2 019（来自《典中点》）5在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有( )
A．29条 B．32条
C．35条 D．38条知2－练知3－导3知识点正多边形观察下面的图形:这些图形有什么共同特点？ 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都
相等.像正方形这样，各个 角都相等，各条边都相
等的多边形叫做正多边形（regular polygon).知3－导紧扣正多边形的概念识别：
(1)等腰三角形的底边与腰不一定相等，所以不一定是正多边形；
(2)等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形；
(3)长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是
正多边形．
(4)正方形的四条边相等，四个角相等，是正多边形．下列说法：(1)等腰三角形是正多边形；(2)等边三角形是正多边形；(3)长方形是正多边形；(4)正方形是正多边形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知3－讲【例2】 导引：B 对于正多边形的识别，各条边都相等，各个
角都相等，这两个条件缺一不可．知3－讲下列属于正多边形的有( )
①等边三角形；②长方形；③正方形；④梯形；
⑤圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（来自《典中点》）1知3－练下列说法中不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．各边都相等的多边形是正多边形
C．正三角形就是等边三角形
D．六条边、六个内角都相等的六边形都是正六边形（来自《典中点》）2知3－练“菱形是正多边形”这句话是否正确？为什么？31、本节中你学习了哪些内容？
2、你有哪些收获和体会？
（师生交流、体会）1.完成教材P24T1
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题必做：课件23张PPT。11.2 与三角形有关的角第3课时 三角形的外角第十一章 三角形1课堂讲解三角形外角的定义 三角形外角
的性质 三角形的外角和2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯
的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到
原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？知1－讲1知识点三角形外角的定义 如图,把△ABC的一边BC延长，得到 ∠ACD.像
这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫
做三角形的外角.图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，
CE的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为
∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三
角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF
的外角．如图，△CEF的外角为
________________．知1－讲∠AFC，∠BEF【例1】 导引：知1－讲判定一个角是三角形的外角的三个条件：一是顶点在
三角形的一个顶点上；二是一边是三角形的一条边；
三是一边是三角形的另一条边的延长线．
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个，它们相等.
注:每个外角与相应的内角互为补角.如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )
A．∠HBA是△ABC的外角
B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角知1－练（来自《典中点》）1一个三角形的三个外角中，最少有几个钝角？最多有几个直角？最多有几个锐角？（来自《点拨》）2知1－练知2－导2知识点三角形外角的性质 如图,在△ ABC 中， ∠ A = 70°， ∠ B= 60°. ∠
ACD是△ ABC的一个外角.能由∠ A， ∠ B 求出∠ ACD
吗？如果能， ∠ ACD与∠ A， ∠ B有 什么关系？ 任意
一个三角形的一个外角与它不相邻的两个 内角是否都有
这种关系？知2－导（来自《点拨》）推论是由定理直接推出的结论.和定理 一样，推论可
以作为 进一步推理的依据.
根据这个推论，我们还可以得到：三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角.一般地，由三角形内角和定理可以推出下面 的推论
（请同学们自己证明）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.根据平行线的性质求出∠C，
再根据三角形外角性
质即可求出∠3.
∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.
又∵∠2＝35°，
∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.〈浙江温州〉如图11.2-14，直线AB，CD被BC
所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，
则∠3＝________度．知2－讲【例2】 导引：80 三角形外角的性质可以表示为角的和也可以表示
为角的差.如图，∠1为△ABC的外角，则其表现形式
有以下三种：
∠1=∠A+∠C.
∠A=∠1－∠C.
∠C=∠1－∠A.
知2－讲知2－练（来自《教材》）1说出下列图形中∠ 1和∠ 2的度数:(2015·柳州)图中∠1的大小等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°知2－练（来自《典中点》）2知2－练3（来自《典中点》）若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这
个三角形是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．钝角三角形或锐角三角形知2－练4如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1（来自《典中点》）知3－导3知识点三角形的外角和现在回到我们最初提出的问题.
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方
都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位
置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？通过我们这节课学习的三角形外
角的定义以及性质，我们现在来
解决这个问题，首先，我们将实
际问题转化成数学问题.如图, ∠ BAE， ∠ CBF， ∠ ACD 是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
由三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和，得
∠ BAE= ∠ 2+ ∠ 3,
∠ CBF= ∠ 1+ ∠ 3,
∠ ACD= ∠ 1+ ∠ 2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
说出下列图形中∠ 1和∠ 2的度数:
由∠l+∠2+∠3=180°，得
∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 知3－讲【例3】 解：你还有其他解法吗？三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各
取一个外角的和.知3－讲下列对三角形的外角和叙述正确的是( )
A．三角形的外角和等于180°
B．三角形的外角和就是所有外角的和
C．三角形的外角和等于所有外角和的一半
D．以上都不对知3－练（来自《典中点》）1如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( )
A．∠2＝∠4＋∠7
B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180°
D．∠2＋∠3＋∠5＝360°（来自《典中点》）2知3－练通过本课时的学习，需要我们掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；2.三角形的外角和是360°.1.三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.1. 完成教材P16T2、T5； P17T6、T8、 T11
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题必做：课件24张PPT。11.2 与三角形有关的角第2课时 三角形的内角——直
角三角形两锐角互余第十一章 三角形1课堂讲解直角三角形两锐角互余
两锐角互余的三角形是直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 上节课我们学习了三角形内角和定理，这节
课我们继续来学习这个定理的推论——即关于直
角三角形的性质与判定.知1－导1知识点直角三角形两锐角互余观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
如图11.2-5,在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三
角形内角和定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°,
即
∠ A+ ∠ B+90°=180°,
所以
∠ A + ∠ B = 90° 知1－讲图 11.2-5也就是说，直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角 三角形
ABC可以写成Rt △ ABC.知1－讲如图 11.2-6, ∠ C= ∠ D = 90°，AD，BC 相交于点E. ∠ CAE与∠DBE有什么关系？ 为什么？
在Rt △ ACE中， ∠ CAE=90°－∠ AEC,
在 Rt △ BDE 中，
∠ DBE =90° －∠ BED.
∵ ∠ AEC = ∠ BED ，
∴ ∠ CAE= ∠ DBE.【例1】 解：知1－讲图 11.2-6知1－讲 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐
角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和
定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形
中已知一锐角可求另一锐角．知1－练（来自《教材》）1如图，∠ACB=90°, CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？(中考·海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°（来自《典中点》）2知1－练知1－练（来自《典中点》）(2015·鄂州)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交
于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于
点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( )度．
A．70 B．65 C．60 D．553知1－练（来自《点拨》）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC
上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，
∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．4知2－导2知识点两锐角互余的三角形是直角三角形 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那
么这个三角形有两个角 互余.反过来，有两个角互余
的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.知2－讲 假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°，由三角形内
角和定理，我们可以得到∠C=180 ° －（ ∠A＋∠B）
=90°，即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.知2－讲由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是
直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或
∠EFP＋∠FEP＝90°.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与
∠DFE的平分线相交于点P.
试说明△EFP为直角三角形．知2－讲【例2】 导引：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
＝ ×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．解：知2－讲知2－讲 “有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直
角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两
个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的
判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，
因此它的实质还是直角三角形的定义．知2－练（来自《教材》）1如图， ∠C=90 °， ∠1= ∠2， △ ADE是直角三角形吗？为什么？已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能知2－练（来自《典中点》）2知2－练3（来自《典中点》）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的
是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝ ∠B＝ ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝2∠B＝3∠C知2－练4如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．（来自《点拨》）根据三角形内角和定理，我们可以得到：直角三角形的两个锐角互余直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形的性质：1. 完成教材P16T4 P17T10
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题必做：课件26张PPT。11.2 与三角形有关的角第1课时 三角形的内角——三
角形的内角和第十一章 三角形1课堂讲解三角形内角和定理 三角形内角和
的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点三角形内角和定理 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等
于180°.我们是通过 度量或剪拼得出这一结论的.
通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等
于180°.但是，由于测量 常常有误差，这种“验证”不是“数
学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不 同的三角形有
无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内
角和等于 180°.所以，需要通过推理的方法去证明：任意一
个三角形的内角和一定等于180°. 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在
一起，就得到一个 平角.从这个操作过程中，你能发现
证明的思路吗？知1－导◎探究上面的拼合中，有不同的方法.你用了图11. 2-1中的哪
种方法？在图11. 2-1 (1)中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，
三个角合起来形 成一个平角，出现一条过点A的直
线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直 线l上.想一
想，直线l与△ ABC的边BC有什么关系？由这个图
你能想出证 明“三角形的内角和等于180°”的方
法吗？知1－讲 由上述拼合过程得到启发，过△ ABC的顶点A作
直线l平行于△ ABC的边(图11.2-2)，那么由平行线的
性质与平角的定义就能证明“三角形的 内角和等于
180°”这个结论.已知：△ABC (图 11.2-2). 求证:∠A+∠B+∠C=180°.图 11. 2-2知1－讲 如图11.2-2,过点A作直线l,使l //BC. ∵ l//BC,
∴ ∠2= ∠4 (两直线平行，内错角相等).
同理 ∠3= ∠5.
∵ ∠1 ,∠4, ∠ 5组成平角，
∴ ∠1 + ∠4+ ∠5=180° (平角定义).
∴ ∠1 + ∠2+ ∠3=180° (等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,
得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角
的和等于180°.证明：知1－讲知1－讲由图11.2-1（2），你能想出这个定理的其他证法吗？ 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的
线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁
内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.知1－讲如图 11. 2-3，在△ABC 中，∠BAC =40°，
∠B = 75°, AD是△ ABC的角平分线.求 ∠ADB
的度数.
由∠BAC=40°，AD是
△ ABC的角平分线，
得∠BAD= ∠BAC=20°.
在△ ABD中，
∠ADB =180°－∠B－∠BAD
= 180° － 75°－ 20°=85°.【例1】 解：图 11.2-3知1－讲三角形的三内角和是180o ，所以三内角可能出现的情况：一个钝角 两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角 两个锐角直角三角形三个都为锐角知1－讲 三角形内角和定理的“三个应用”
1.已知两个角的度数求第三个角的度数.
2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.
3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.知1－讲知1－练（来自《教材》）1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求
∠C的度数.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的
度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°（来自《典中点》）2知1－练知1－练（来自《典中点》）在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A
大20°，则∠A等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°3知2－讲2知识点三角形内角和的应用图 11.2-4图11.2-4是A，B，C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角
∠ ABC是多少度？从C岛 看A, B两岛的视角∠ ACB呢？【例2】 知2－讲A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB
是△ABC的一个内角.如果能求出∠ CAB, ∠ ABC,
就能求出∠ ACB. 分析：解：∠CAB=∠BAD － ∠CAD=80° － 50°=30°.
由 AD//BE，得
∠ BAD － ∠ ABE=180°.方法一：所以
∠ ABE=180° － ∠BAD = 180°－ 80°= 100°,
∠ ABC=∠ ABE － ∠EBC=100° － 40°=60°.
在△ABC中，
∠ ACB =180° － ∠ABC － ∠ CAB
= 180° － 60° － 30°=90°.
从B岛看A, C两岛的视角∠ ABC是 60°,
从C岛看A, B两岛的视
角∠ ACB是90°.答：知2－讲你还能想到其他解法吗？B 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE，∴ CF∥ BE，∴∠2＝∠CBE ＝40 °∴ ∠ACB＝∠1 ＋ ∠2 ＝50 ° ＋ 40 ° ＝90 °知2－讲解： 北方法二：知2－练如图，从A处观测C处的仰角∠CAD = 30°,从B
处观测C处的仰角 ∠CBD=45°.从C处观测A, B
两处的视角∠ACB是多少度？（来自《教材》）1(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( )
A．45° B．54° C．40° D．50°知2－练（来自《典中点》）2知2－练?(2014·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角
尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．3（来自《典中点》）知2－练4如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？（来自《点拨》）通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角
或同旁内角互补辅助线三角形的
内角和等
于180 °作平行线
转化思想1. 完成教材P16T1、T3 P17T7、T9
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题必做：课件21张PPT。11.1 与三角形有关的线段第3课时 三角形的稳定性第十一章 三角形1课堂讲解三角形的稳定性 三角形稳定性的
实际应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升图 11.1-6工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图
11.1-6 (1))，其 中的道理是什么？盖房子时，在窗框
未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上 斜钉一根
木条（图11.1-6 (2)).为什么要这样做呢？知1－导1知识点三角形的稳定性如图11.1-7 (1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，
它的形状会改变吗？
如图11. 1-7 (2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，
它的形状会改变吗？
如图11.1-7 (3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻
的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为
什么？知1－导可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的
形状会改变.这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四
边形没有稳定性. 还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改
变.这是因为斜钉 一根木条后，四边形变成两个三角形，
由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的 窗框在未安装好
之前也不会变形.知1－讲〈探究题〉 要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至
少要再钉上几根木条？五边形木架呢？六边形呢？n边形
呢？若要多边形稳定，需将它变换成若干个三角形．先画出
图形，结合图形分割三角形得出：
四边形：1根，五边形：2根，六边形：3根，
由类比推理可知，n边形：(n－3)根，如图所示．四边形木架至少要再钉上1根，五边形木架：2根，六边
形木架：3根，n边形木架：(n－3)根．【例1】 导引：解：多边形增强稳定性的方法
画辅助线法：将多边形通过添加辅助线划分为若
干个三角形.下列图形中哪些具有稳定性？知1－练（来自《教材》）1(2015·宜昌改编)下列图形中具有稳定性的是( )
A．正方形 B．长方形
C．平行四边形 D．直角三角形（来自《典中点》）2知1－练知1－练（来自《典中点》）下列图形中具有稳定性的是( )
?
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．①②③3知2－导2知识点三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性有广泛的应用，如图表示其中一些例子.你
能再举一 些例子吗？ 除了教材中给的例子，我们再来看几个应用三角形稳定性的例子.知2－导知2－导 四边形的不稳定性也有广泛的应用，如图表示其中一些例子.知2－讲人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了_________________．知2－讲【例2】两腿分开站立，再伸出一只手抓住栏杆，这时，两
脚以及抓住栏杆的手可看作三个点，这三个点的连
线恰好组成一个三角形，而三角形具有稳定性，这
样人就能站稳了.导引：三角形的稳定性知2－练如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？
答：____________．(填“稳定性”或“不稳定性”)（来自《典中点》）1如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )
A．两点之间，线段最短
B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性知2－练（来自《典中点》）2知2－练下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A.活动的四边形衣架
B.起重机
C.屋顶三角形钢架
D.索道支架3知2－练4一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论：具有稳定性好，好是没有稳定性好，且听它们是怎么说的：
三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！”
四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”
三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”
四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”
……
假如你是数学小博士，你会如何来调解他们的争论？ 三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性
也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。
如：
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳
定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？ 1. 完成教材P8T5、P9T10
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题课件30张PPT。11.1 与三角形有关的线段第2课时 三角形的高、中
线与角平分线第十一章 三角形1课堂讲解三角形的高 三角形的中线
三角形的角平分线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的
对边的垂线吗?你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 从三角形的一个顶点向它
的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形
这边上的高，简称三角形的高.
如图所示.ABC知1－导如图, 线段AD是BC边上的高.注意：标明垂直的记号和垂足
的字母.知1－讲锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.锐角三角形的三条高是
在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.知1－讲知1－讲直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形.将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______; AB直角边AB边上的高是______;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______. BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.ABCDEF钝角三角形的三条高(1) 钝角三角形的三条高交于
一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.O钝角三角形的三条高不相交于
一点.钝角三角形的三条高所在直线
交于一点.知1－讲 叫做三角形这边上的高.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段知1－讲三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部知1－讲如图，(1) (2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？知1－练（来自《教材》）1(2015·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )（来自《典中点》）2知1－练知1－练（来自《典中点》）在直角三角形中，有两条高是它的________，
另一条高在这个三角形的________．锐角三角形
的三条高的交点在________，直角三角形的三条
高的交点在________，钝角三角形的三条高所在
直线的交点在________．3知2－导2知识点三角形的中线如图 (1)，连接△ABC的顶点A和 它所对的边BC的中点D，
所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的中线（median).用同样方法， 你能画出△ABC 的另两条边上的中 线吗？知2－导在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形这边上的中线.如图 (2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三
条中线的交点叫做三角形的重心.取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条 中线的
交点，木板会保 持平衡，这个平衡点就 是这块三
角形木板的 重心.知2－讲〈动手操作题〉在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
知2－讲【例1】因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC＋CD)
和(AD＋AB)，无法确定谁为12 cm，谁为15 cm，故
应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立
方程的模型，利用设未知数来求解．导引：设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，
10 cm，7 cm.解：知2－讲知2－讲 三角形的三条中线相交于一点，交点在三角
形的内部.三角形三条中线的交点叫做三角形的重
心.知2－练填空： 如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB= 2 ______, BD=_______, AE=
________.（来自《教材》）1知2－练若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是( )
A．AB＝BC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC2（来自《典中点》）三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形3知2－练如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是( )
A．2 B．3 C．6 D．不能确定4（来自《典中点》）知3－导3知识点三角形的角平分线 如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，
你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？叫做三角形的角平分线.ABCD因为AD是△ABC的角平分线，任意画一个三角形,然后利用
量角器画出这个三角形三个角
的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的
内部.知3－讲知3－讲ACBFEDO因为BE是△ABC的角平分线，所以______=________= _______.所以∠ACB=2_______
=2__________.∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF因为CF是△ABC的角平分线，∠BCF知3－讲1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；
它们的联系是都是平分角。2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
（1）看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
（2）看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶
点，另一个端点要落在对边上.如下页图（2)，AD, BE, CF是△ ABC的三条角平分线，则∠1=______, ∠3=
_______, ∠ACB=_______.
（来自《教材》）1知3－练如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线（来自《典中点》）2知3－练 每个三角形都有三条高、三条角平分线、三条中线，它们所在
的直线都分别交于一点，它们都是线段.锐角三角形的三条高都
在三角形的内部，它们的交点在三角形的内部；直角三角形有
两条高在直角边上，三条高交于直角的顶点；钝角三角形有两
条高在外部.它们的交点在三角形的外部。1. 完成教材P8T3、T4、P9T8、T9
2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题必做：课件30张PPT。11.1 与三角形有关的线段第1课时 三角形的边第十一章 三角形1课堂讲解三角形及有关概念 三角形的分类
三角形的三边关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 生活中有许多使用三角形的实例你能列举出来
并从图中找出三角形吗？下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉 的几何图形.你能画一个三角形吗？知1－导1知识点三角形及有关概念下面哪个是三角形？什么是三角形？结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的
图形叫做三角形. 注意：1.不在同一条直线上. 2.首尾顺次相接.注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作
△ABC，也可记作△ACB.2.三角形的表示： 三角形用符号“△”表示，如上图的三角形，记作
“△ABC”，读作“三角形ABC”.1.三角形的定义：知1－讲如图，△ABC的三个顶点分别
是：A，B，C.3.三角形的顶点如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.
它的三个内角（简称三角形的角）分别是： ?A，?B，
?C.ABC4.三角形的边、内角知1－讲注意：
1.三角形的三边用字母表示时，字
母没有顺序限制.
2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.
如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，
顶点B所对的边AC也可表示为b，顶点C所对的边AB也可
表示为c.
3.一般情况下，我们把边BC叫做?A的对边，AC，AB叫
?A的邻边；边AC叫?B的对边，AB，BC叫?B的邻边；
你能说出?C的对边及邻边吗？abc对边是AB，邻边是BC，AC.知1－讲一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是( )知1－练（来自《典中点》）1如图：
(1)△ADC的三个顶点分别是________，三个内角分
别是________________．
(2)在△ABC中，∠C的对边是________；在△AEC
中，∠C的对边是________．（来自《点拨》）2知1－练知1－练（来自《教材》）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.3知2－导2知识点三角形的分类 我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形
分为锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形.如何按
照边的关系对三角形进行分类呢？说说你 的想法，
并与同学交流. 我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形（图
11.1-2 (1));有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（图11.
1-2 (2) ).图11. 1-2 (3)中的三角形是三边都不相等的三角形.知2－讲 我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都
叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰
相等的等腰三角形.知2－讲 以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：
三边都不相等的三角形和 等腰三角形.按
角
分锐角三角形直角三角形钝角三角形按
边
分三边都不相等的三角形三角形的分类等腰三角形底边和腰不相等
的等腰三角形等边三角形三边都不相等的三角形等边三角形知2－讲知2－练下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（来自《典中点》）1如图所示的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能知2－练（来自《典中点》）2知2－练已知一个三角形是等腰三角形，则这个三角形( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形（来自《点拨》）3知3－导3知识点三角形的三边关系 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形
的边到点C，有几条线 路可以选择？各条线路的
长有什么关系？能证明你的结论吗？ 如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿
着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各
条路线的长一样吗？知3－导 对于任意一个△ ABC，如果把其中任意两个顶点
（例如B，C)看成定 点，由“两点之间，线段最短”可
得
AB+AC>BC. ①
同理有
AC+BC>AB, ②
AB+BC>AC. ③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边.
由不等式②③移项可得BC>AB-AC，BC>AC-AB.这就是
说，三角形两边的差小于第三边.（来自《教材》）知3－讲用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
x+2x+2x = 18.
解得x=3. 6.
所以，三边长分别为3. 6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所
以需要分情况讨论.（来自《教材》）【例1】(1)(2)解：知3－导如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4+2x = 18.
解得x = 7.
如果4 cm长的边为腰，设底边长为 x cm，则
2 × 4+x = 18.
解得x = 10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不
能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.（来自《教材》）知3－导注意：
1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三
角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小
于第三边.
2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还
必须考虑到两边之差小于第三边.知3－导( 口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为 什么？
(1) 3, 4, 8； (2) 5, 6, 11； (3) 5, 6, 10.（来自《教材》）1知3－练(2015·青海)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．12 D．16
(2015·南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a＞0)（来自《典中点》）23知3－练通过本课时的学习需要我们掌握三角形表示方法概念分类三边关系必做：1.请你完成教材P8T1、T2、T6、T7
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
