北师大版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。笞卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置
，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项表述正确的是（ ）
A．3，，1 B．3，1， C．3，6，1 D．3，1，6
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．若关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　　）
A．5 B．－5 C．4 D．－4
6．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．40 C．24 D．20
9．肆虐的支原体肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线AC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
12．如图，两条公路互相垂直，，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为
13．如果是方程的两根，则 ．
14．关于的一元二次方程的一个根是，则 ．
15．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 ．
16．若两个不等实数、满足条件：，，则的值是 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)
18．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
19．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200平方米的矩形试验田，用来种植蔬菜，如图，试验田一面靠墙，墙长35米，另外三面用49米的长篱笆围成，其中一边开有一扇1米宽的门（不包括篱笆），求试验田垂直于墙的一边的长为多少米？
20．已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根．
(1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根；
(2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长．
21．杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作轴交x轴于点F，交对角线于点E．
(1)求证：；
(2)判断、的数量关系，并说明理由；
(3)若点A，B坐标分别为，则的周长为 　 　．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论k取何值，方程总有实数根；
(2)已知方程的两根为，，且满足，求的值；
(3)已知方程的两根为，（目），设，求y的最小值．
24．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
25．正方形中，点E为直线上一动点（点E不与A，B重合），连接，将沿着翻折得，延长交直线于点F，连接．
(1)观察猜想：如图1，当点E在线段上时，
①______°．
②之间的数量关系为：______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点E在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点E在线段的延长线上时，过点E作，垂足为H．若，请求出的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A B B C C B A
二、填空题
11．【解】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．【解】解：由题意知，M为的中点，，
∴．
故答案为：5．
13．【解】解：∵是方程的两根，
∴，
故答案为：6．
14．【解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：，
故答案是：3．
15．【解】如图，设，交于点，过点作于点，连接
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小，
即当重合时，最小，
∴
，
∴
∵，即
∴
，
∴
故答案为：
16．【解】解：∵，，
∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．【解】（1）解：，
，
，
或，
解得：，；
（2）解：，，，
∴，
，
，．
18．【解】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
19．【解】解：设米，则米，
∵墙长35米，
∴，解得：，
，
解得：（舍），，
答：的长为20米．
20．【解】（1）证明：方程，
，
无论取何值方程总有两个实数根；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
方程为，
，
即菱形的边长为2．
21．【解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
22．【解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，设交于点H，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴；
（3）解：如图所示，过点D作轴于点G，
则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点A，B坐标分别为，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为．
故答案为：24．
23．【解】（1）证明：由题意得，
，
∴不论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程的两根为，，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
24．【解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
；
（2）①证明：如图，设与相交于点．
，
，
，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，．
．
又
．
．
矩形是正方形；
②解：作交于点，作于点，
此时．
，
，，
最大时，最小，，
，
由（2）①可知，是等腰直角三角形，
．
25．【解】（1）证明：根据折叠的性质，得，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
②解：之间的数量关系为，理由如下：
∵，，
∴，，
∵,
∴,
故答案为：．
（2）解：结论①成立；结论②不成立，应为：．
根据前面证明，得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故成立．
∵,
∴,
∴,
故结论②不成立，应为：．
（3）解：根据问2，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，，
由勾股定理，得，
．
根据勾股定理，得．
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