第13章 勾股定理 单元测试 （含解析）2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第13章 勾股定理 单元测试 （含解析）2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 956.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-20 09:52:58 | ||
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文档简介
第13章 勾股定理
一、单选题
1．用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
2．小明画了一个如图所示的四边形，若，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是边长为8的等边三角形，是高线，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，等腰底边，面积为54，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（）
A．6 B．12 C． D．
6．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
7．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ）
A． B． C． D．4
8．在边长为正整数的中，，且边上的中线将的周长分为的两部分，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ．
10．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为 ．
11．周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ．
12．已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为 ．
13．如图，在中，，，为边上一点，过作，交于，连接并延长，交于点，已知，则的长为 ．
三、解答题
14．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
15．如图，在边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方的点A出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路程的平方是多少？
16．如图，在中，，，平分．
(1)求的长；
(2)求的面积．
17．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？
18．如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰．
(1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求等腰的面积．
参考答案
1．B
【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合）得到直角三角形的一条直角边，再结合勾股定理计算高线的长度．
由等边三角形边长为8，是高线，根据“三线合一”可知且；在中，已知，，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵是等边三角形，边长为8，是高线，
∴根据等边三角形“三线合一”的性质，，且
在中，，，，
由勾股定理得：．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．
依次判断出四个选项中三角形的形状即可．
【详解】当时，
，
．
是直角三角形．
故A选项不符合题意；
，
，
即．
是直角三角形．
故B选项不符合题意；
，
．
又，
，
则，
是钝角三角形．
故C选项符合题意；
，
则令，
，
即，
是直角三角形．
故D选项不符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，连接，过点作于点，证明，求出可得结论，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线解决问题．
【详解】解：连接，过点作于点，如图：
∵等腰的底边，面积为，
，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
∵垂直平分线段，
∴，
，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为，
故选：D．
6．B
【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点D，
∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，阴影部分的面积等于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7．A
【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：，，
，
绕点C逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
在中，，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系．设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和，再根据题意列出关于x、y、n的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出面积的最小值即可．
【详解】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和，
则或，
解得或，
，（此时不能构成三角形，舍去），
取，，其中n是3的倍数，
如图，，
则，，
，
当时，S随着n的增大而增大，
故当时，面积取最小值，最小值为：，
故选C．
9．2
【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小正方形的面积，
故答案为：2．
10．/
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．先由勾股定理得到，由三角形外角的性质得到，结合得到，从而，根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
11．3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质和利用勾股定理求出的长是解题的关键．
先由等腰三角形“三线合一”求出，再根据勾股定理求出的长，即可由长方形的面积公式求解．
【详解】解：等腰三角形，高，宽，
∴，
由勾股定理，得，
∴长方形的面积．
故答案为：3．
12．5或或
【分析】由翻折得：，再分三种情况分别讨论，若；则，即可求值，若；则即可求值；若；根据，求得，再，即可求值.
【详解】解：由翻折得：
若，则
∵
∴
∴
∵
∴
若
∴
∴
若 作辅助线于点，则，
∵
∴
解得：
∵
∴
∴
∵
∴
综上所述，的长为：5或或.
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据等腰三角形的两边相等正确的进行分类讨论是解题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．首先证明，，易得，可知；作，垂足分别为L，H，连接，证明，由全等三角形的性质可得，进而求得、、的值，再结合三角形面积公式求得的长度，进一步计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作，垂足分别为，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．空地的面积
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过连接对角线AC，将四边形分割成两个直角三角形，分别计算面积后求和．连接，先在中用勾股定理求出的长度，再在中用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，最后分别计算两个直角三角形的面积并求和得到四边形面积．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
在中，，而，即，
为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
15．20
【分析】本题主要考查正方体的展开图和勾股定理的运用．将含A与的两面展开，得到一个长方形，连接得直角三角形，运用勾股定理计算即得答案．
【详解】解：如图，可以把A和所在的两个平面展开到一个平面内，则两点之间线段最短．
根据勾股定理，得．
答：最短路程的平方是20．
16．(1)
(2)
【分析】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理：
（1）根据等腰三角形的三线合一推出，再利用勾股定理求出的长；
（2）根据三角形面积公式直接计算．
【详解】（1）解：，平分，
，，
，
在中
由勾股定理得；
（2）解：．
17．30米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如答图，将木块展开．
由题意可知，长相当于是（个正方形的边长），
∴长为（米），宽为18米，
由勾股定理，得：最短路程为米．
答：最短路程是30米．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求；
（2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，，
，
，
设，则有，
，
，
的面积．
一、单选题
1．用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
2．小明画了一个如图所示的四边形，若，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是边长为8的等边三角形，是高线，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，等腰底边，面积为54，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（）
A．6 B．12 C． D．
6．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
7．如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ）
A． B． C． D．4
8．在边长为正整数的中，，且边上的中线将的周长分为的两部分，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ．
10．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为 ．
11．周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ．
12．已知，在中，，，，点是边上一点，，交边于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处．如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为 ．
13．如图，在中，，，为边上一点，过作，交于，连接并延长，交于点，已知，则的长为 ．
三、解答题
14．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
15．如图，在边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方的点A出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路程的平方是多少？
16．如图，在中，，，平分．
(1)求的长；
(2)求的面积．
17．如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？
18．如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰．
(1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求等腰的面积．
参考答案
1．B
【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合）得到直角三角形的一条直角边，再结合勾股定理计算高线的长度．
由等边三角形边长为8，是高线，根据“三线合一”可知且；在中，已知，，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵是等边三角形，边长为8，是高线，
∴根据等边三角形“三线合一”的性质，，且
在中，，，，
由勾股定理得：．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．
依次判断出四个选项中三角形的形状即可．
【详解】当时，
，
．
是直角三角形．
故A选项不符合题意；
，
，
即．
是直角三角形．
故B选项不符合题意；
，
．
又，
，
则，
是钝角三角形．
故C选项符合题意；
，
则令，
，
即，
是直角三角形．
故D选项不符合题意．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，连接，过点作于点，证明，求出可得结论，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线解决问题．
【详解】解：连接，过点作于点，如图：
∵等腰的底边，面积为，
，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
∵垂直平分线段，
∴，
，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为，
故选：D．
6．B
【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点D，
∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，阴影部分的面积等于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7．A
【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：，，
，
绕点C逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
在中，，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系．设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和，再根据题意列出关于x、y、n的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出面积的最小值即可．
【详解】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和，
则或，
解得或，
，（此时不能构成三角形，舍去），
取，，其中n是3的倍数，
如图，，
则，，
，
当时，S随着n的增大而增大，
故当时，面积取最小值，最小值为：，
故选C．
9．2
【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】解：设大正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是18，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小正方形的面积，
故答案为：2．
10．/
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．先由勾股定理得到，由三角形外角的性质得到，结合得到，从而，根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
11．3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质和利用勾股定理求出的长是解题的关键．
先由等腰三角形“三线合一”求出，再根据勾股定理求出的长，即可由长方形的面积公式求解．
【详解】解：等腰三角形，高，宽，
∴，
由勾股定理，得，
∴长方形的面积．
故答案为：3．
12．5或或
【分析】由翻折得：，再分三种情况分别讨论，若；则，即可求值，若；则即可求值；若；根据，求得，再，即可求值.
【详解】解：由翻折得：
若，则
∵
∴
∴
∵
∴
若
∴
∴
若 作辅助线于点，则，
∵
∴
解得：
∵
∴
∴
∵
∴
综上所述，的长为：5或或.
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据等腰三角形的两边相等正确的进行分类讨论是解题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．首先证明，，易得，可知；作，垂足分别为L，H，连接，证明，由全等三角形的性质可得，进而求得、、的值，再结合三角形面积公式求得的长度，进一步计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作，垂足分别为，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．空地的面积
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过连接对角线AC，将四边形分割成两个直角三角形，分别计算面积后求和．连接，先在中用勾股定理求出的长度，再在中用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，最后分别计算两个直角三角形的面积并求和得到四边形面积．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
在中，，而，即，
为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
15．20
【分析】本题主要考查正方体的展开图和勾股定理的运用．将含A与的两面展开，得到一个长方形，连接得直角三角形，运用勾股定理计算即得答案．
【详解】解：如图，可以把A和所在的两个平面展开到一个平面内，则两点之间线段最短．
根据勾股定理，得．
答：最短路程的平方是20．
16．(1)
(2)
【分析】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理：
（1）根据等腰三角形的三线合一推出，再利用勾股定理求出的长；
（2）根据三角形面积公式直接计算．
【详解】（1）解：，平分，
，，
，
在中
由勾股定理得；
（2）解：．
17．30米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如答图，将木块展开．
由题意可知，长相当于是（个正方形的边长），
∴长为（米），宽为18米，
由勾股定理，得：最短路程为米．
答：最短路程是30米．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求；
（2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，，
，
，
设，则有，
，
，
的面积．