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素养提升课一 匀变速直线运动的推论(选学)
第二章 匀变速直线运动
1．熟悉匀变速直线运动基本公式的应用。
2．掌握初速度为零的匀变速直线运动的比例式。
3．知道匀变速直线运动的分析技巧，理解各种技巧方法使用的题目特征和条件。
素养目标
提升点一 初速度为零的匀加速直线
运动的比例式
1．等分运动时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末、…nT末的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内、…nT内的位移之比：s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…第n个T内的位移之比：sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．等分运动位移(以s为位移单位)的情况
(1)通过s、2s、3s、…ns所用时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝
(2)通过第1个s、第2个s、第3个s、…第n个s所用时间之比：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝
角度1 等分运动时间情况
有一辆汽车在一个沙尘暴天气中以20 m/s的速度匀速行驶。司机突然模糊看到正前方十字路口有一个老人跌倒在地。他立即刹车，刹车后加速度大小为5 m/s2，则
A．经6 s汽车速度的大小变为10 m/s
B．汽车刹车后6 s内的位移为40 m
C．汽车在第4 s末、第3 s末、第2 s末的速度之比为3∶2∶1
D．汽车第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内位移之比为1∶3∶5∶7
例1
√
汽车的刹车时间为t＝ ＝ s＝4 s，经6 s汽车速度的大小变为零，故A错误；汽车刹车后6 s内的位移和4 s内的位移相同s＝ t＝ ×4 m＝40 m，故B正确；将匀减速运动看成反方向的匀加速运动，可知汽车在第4 s末的速度为零，第3 s末、第2 s末、第1 s末的速度之比为1∶2∶3，汽车第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内位移之比为7∶5∶3∶1，故C、D错误。
角度2 等分运动位移情况
(多选)2022年2月中国成功举办第24届冬奥会，北京成为世界上首个“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目是极具观赏性的一项比赛，将冰壶运动简化成如下模型：从A点以初速度掷出，沿直线AD做匀减速直线运动，恰好停在营垒中心点D处，AB＝BC＝CD，下列说法中正确的是
A．冰壶在AB、BC、CD三段上运动的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝
B．冰壶在A、B、C处的速度大小之比vA∶vB∶vC＝
C．冰壶从A运动到D的平均速度为
D．冰壶从A运动到B和从B运动到D的时间相等
例2
√
√
针对练1.物体做匀减速直线运动，3 s末停下，则此3 s的前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为
A．5∶3∶1 B．5∶4∶3
C．5∶8∶9 D．
末速度为零的匀减速直线运动可以看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则物体在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5，所以此3 s的前1 s、前2 s、前3 s内的位移之比为s1∶s2∶s3＝5∶8∶9，则此3 s的前1 s、前2 s、前3 s内的平均速度之比为 ＝ ＝5∶4∶3，故选B。
√
针对练2.(多选)(2024·深圳市高一校考期中)几个水球可以挡住一颗子弹。四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀减速直线运动，恰好能穿出第四个水球，子弹刚要进入第一个水球时速度为v，下列说法正确的是
A．子弹穿过每个水球的时间之比为
B．子弹穿过每个水球的时间之比为
C．子弹刚要进入每个水球的速度之比为
D．子弹刚要进入第四个水球的瞬时速度为
√
√
√
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提升点二 逐差相等公式的应用
1．逐差相等公式
匀变速直线运动，在连续相邻相等时间T内的位移之差是定值，即Δs＝aT2。
2．公式推导
(1)公式法
如图所示
故sⅡ－sⅠ＝aT2，sⅢ－sⅡ＝aT2，…
所以Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。
(2)图像法
假设质点做匀加速直线运动，其v-t图像如图所示。
根据v-t图像的斜率和面积的物理意义，从v-t图像很容易看出，连续相等时间T内位移之差等于Δs＝aT2 。
1．公式中“T”具有任意性。
2．对于不相邻的任意两段位移：sm－sn＝(m－n)aT2。
3．推论只适用于匀变速直线运动。
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动：如果Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δs＝aT2，可求得a＝ 。
法一：基本公式法
由位移公式得s1＝vAT＋ ，s2＝vA·2T＋ －(vAT＋ )，vC＝vA＋a·2T，将s1＝24 m，s2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
一物体做匀变速直线运动，从A运动到B和从B运动到C的时间均为
4 s，通过的位移分别是24 m和64 m，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a的大小。
答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
例3
法二：平均速度公式法
法三：逐差相等公式法
vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
公式的选取原则
运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律。如果题中不涉及加速度a，那么选平均速度公式解题比较方便；如果涉及连续相等时间内的位移问题，用逐差法比较方便。
针对练．一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s、第2 s、第3 s前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，可进一步推断，汽车开始制动时的速度大小为
A．4 m/s B．6 m/s C．8 m/s D．10 m/s
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√
提升点三 中间位置瞬时速度公式的
理解及应用
在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3D．在匀变速直线运动中一定有v3>v4＝v5
例4
√
√
由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝ ，A错误，B正确。全程的平均速度为v5＝ ，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，故D正确。若物体做匀加速直线运动，则v1v2，C错误。
两个公式的比较
针对练.(多选)光滑斜面的长度为l，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是
A．物体运动全过程中的平均速度大小为
B．物体在 时刻的瞬时速度大小为
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度大小为
D．物体从斜面顶端运动到斜面中点所需的时间为
√
√
√
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随堂演练
匀减速逆过程可看成匀加速，根据初速度为零匀加速运动可知，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n＋1)，则列车节数之比为(2n＋1)∶…∶5∶3∶1，故选AC。
1．(多选)(2024·重庆沙坪坝高一校考期中)火车站台上的车厢标识可以帮助乘客寻找车厢位置。若列车进站时的减速运动可视为匀减速直线运动，且每节车厢的长度相等，则它在减速过程中的两连续相等时间内，通过站台上某处标识的列车节数之比可能为(车厢间的间隙宽度不计)
A．3∶1 B．4∶1
C．5∶3 D．7∶2
√
√
2．(多选)(2024·深圳市高一校考期中)如图所示，光滑的斜面上有A、B、C、D、E五个点，彼此之间的距离均相等，一小球以某一初速度从E点滑上斜面做匀减速直线运动，运动到A点小球速度恰好为零，则下列说法不正确的是
A．小球经过各点的速度关系为vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
B．C点的速度与E点的速度关系为vC＝
C．小球从E点到A点的平均速度等于B点的速度
D．小球从E点到C点的时间等于从C点到A点的时间
√
√
√
根据逆向思维可知从A到E，物体做初速度为零的匀加速运动，速度逐渐增大，经过相同位移所用的时间逐渐减小，根据Δv＝aΔt，可知经相同的位移，速度增量逐渐减小，A错误；设相邻两点间的距离为s，根据逆向思维有vt2＝2as，可知物体到达各点速度之比vB∶vC∶vD∶vE＝
，所以有vC＝ ，故B错误；根据vE2＝2a·4s，结合匀变速直线运动平均速度公式可知小球从E点到A点的平均速度 ，而B点的速度vB＝ ，所以小球从E点到A点的平均速度等于B点的速度，故C正确；因为物体从E到A做匀减速直线运动，相同位移的时间逐渐增大，故D错误。本题选不正确的，故选ABD。
加速度为 ，通过b点时的瞬时速度为
，故选A。
3．乡村振兴是民族振兴的重要组成，在某乡村振兴旅游草甸游乐场游玩中，小明从坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑，途中依次经过a、b、c三个标志点，已知ab＝4 m，bc＝8 m，通过ab和bc所用时间均为2 s，则他的加速度和通过b点时的瞬时速度分别为
A．1 m/s2；3 m/s B．1 m/s2；6 m/s
C．2 m/s2；3 m/s D．2 m/s2；6 m/s
√
4．(2024·深圳市高一期中)做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别为vA＝6v、vB＝8v，经历的时间为t，则
A．物体在A、B间的平均速度为7v
B．物体在A、B间的中间位置的瞬时速度为7v
C．物体的加速度为
D．A、B间的位移为14vt
√
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课 时 测 评
1．如图所示，水平地面上有A、B、C三点，且AB＝3BC，有一物块由A点以初速度为v0沿水平地面向右做匀减速运动，恰好运动到C点停止，已知物块由A点运动到C点经历的总时间为t，则
A．物块从B到C的时间为 B．物块从B到C的时间为
C．物块在B点时的速度为 D．物块在B点时的速度为
√
末速度为0的匀减速直线运动可以逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，再利用匀变速直线运动规律的推论。对于初速度为0的匀加速直线运动，相同时间内第一个时间段内和第二个时间段内的位移之比为1∶3，由此可知B点为整个过程的中间时刻，所以从B到C所用时间为 ，B点速度为 ，A正确，B、C、D错误。
2．(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，在第三个T时间内位移是3 m，第三个T时间末的瞬时速度为3 m/s，则
A．物体的加速度是1 m/s2
B．第一个T时间末的瞬时速度为1 m/s
C．时间间隔T＝1 s
D．物体在第1个T时间内的位移为0.6 m
√
√
3．(2024·辽宁辽阳高一统考期中)木块A、B、C并排固定在水平地面上，子弹(可视为质点)以30 m/s的速度射入木块A，子弹在木块A、B、C中运动的时间相等，子弹在木块中运动时加速度恒定，子弹刚好射出木块C，下列说法正确的是
A．子弹刚射出木块A时的速度大小为15 m/s
B．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块B中运动的平均速度的2倍
C．木块A、B、C的长度之比为5∶3∶1
D．若子弹射入木块A的初速度变为20 m/s，则子弹将停留在木块B中
√
利用逆向思维法，子弹做初速度为零的匀加速直线运动，子弹在三个木块中的运动时间t相等，根据速度公式有v0＝a×3t，子弹射出木块A时的速度vA＝a×2t，解得vA＝20 m/s，故A错误；子弹射出木块B时的速度vB＝at，解得vB＝10 m/s，子弹在木块A中的平均速度为 ，
子弹在木块B中平均速度为 ，故B错误；根据初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内的位移比例规律可知，木块A、B、C的长度之比为5∶3∶1，故C正确；设木块A的长度为5L，B的长度为3L，C的长度为L，当v0＝30 m/s时，可得v02＝2a(5L＋3L＋L)，当v0′＝20 m/s时，可得v0′2＝2as′，解得s′＝4L<5L，故子弹在A内静止，故D错误。故选C。
4．汽车刹车后做匀减速直线运动，最后停下来，在刹车过程中，汽车前半程的平均速度与后半程的平均速度之比是
A．2∶1 B．3∶1
C． D．
√
5．一小球沿斜面以恒定加速度滚下，依次通过A、B、C三点，已知AB＝12 m，BC＝20 m，小球通过AB、BC所用时间均为2 s，则小球通过A、B两点的速度分别为
A．6 m/s 8 m/s B．0 m/s 4 m/s
C．2 m/s 4 m/s D．4 m/s 8 m/s
小球做匀变速运动，相邻相等时间内的位移差为定值，BC－AB＝at2，解得a＝2 m/s2，小球做匀变速运动，B点的速度等于AC段的平均速度
，则vA＝vB－at＝8 m/s－2×2 m/s＝4 m/s，故D正确，A、B、C错误。
√
6．(2024·贵州毕节高一统考期末)2022年11月20日，第二十二届世界杯在卡塔尔正式开幕。如图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，s1＝1.05 m，s2＝0.75 m，s3＝0.45 m，s4＝0.15 m，由此可以判定
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为20 m/s2
C．足球的初速度大小为15 m/s
D．整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s
√
7．(2024·河北保定高一校联考期中)送餐员经过一路口前做匀减速直线运动，经过A、B两点时的速度大小分别为14 m/s和2 m/s，C点为AB的中点，送餐员从A点运动到C点的时间为2 s，AB两点间的距离为
A．48 m B．32 m
C．16 m D．8 m
√
8．一物体做匀变速直线运动，在10 s时间内运动了100 m，问物体运动至50 m处时的速度
A．等于10 m/s B．小于10 m/s
C．大于10 m/s D．无法确定
√
9．某列车从武汉站由静止启动做匀加速直线运动，一工作人员站在站台上与第一节车厢的前端相齐。已知列车各节车厢的长度相同，各车厢间的间隙不计，若第三节车厢经过工作人员的时间为t，则第一节车厢经过他的时间为
A． B．2t
C． D．
√
10．(多选)(2024·深圳市高一校考期中)“科技冬奥”是北京冬奥会馆的一大亮点，上百个机器人承担起疫情防控和服务的重任，提供消杀、送餐、导引、清洁等服务。已知一机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则
A．该机器人在这段时间内前进的距离为
B．该机器人在前 内和后 内的位移之比为3∶1
C．该机器人在位移中点的速度为
D．该机器人在中间时刻的速度为
√
√
11．(多选)在子弹穿透力对比的测试中，实验者可以通过子弹射穿苹果的个数来比较不同手枪子弹的穿透力，其中左轮手枪的子弹穿透了36只被紧挨排列固定在一起的苹果后速度恰好减为0，子弹穿透36只苹果的总时间为t，已知子弹可以视为质点，子弹穿透苹果的过程可视为匀减速直线运动，下列说法正确的是
A．子弹在前 时间内穿透了27只苹果
B．子弹穿透前18个苹果所用时间为
C．子弹穿透第20只苹果所用时间为
D．子弹穿透第1只与最后1只苹果所用的时间之比为6∶1
√
√
12．(多选)(2024·广州市高一期中)如图所示，一小滑块(可看作质点)沿足够长的斜面以初速度v向上做匀减速直线运动，依次经A、B、C、D到达最高点E，已知AB＝BD＝6 m，BC＝1 m，滑块从A到C和从C到D所用的时间都是2 s。设滑块经C时的速度为vC，则
A．滑块上滑过程中加速度的大小为0.5 m/s2
B．vC＝6 m/s
C．DE＝3 m
D．从D到E所用时间为4 s
√
√
返回素养提升课一 匀变速直线运动的推论(选学)
【素养目标】 1.熟悉匀变速直线运动基本公式的应用。2.掌握初速度为零的匀变速直线运动的比例式。3.知道匀变速直线运动的分析技巧，理解各种技巧方法使用的题目特征和条件。
提升点一 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．等分运动时间(以T为时间单位)的情况
(1)1T末、2T末、3T末、…nT末的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内、…nT内的位移之比：s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…第n个T内的位移之比：sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．等分运动位移(以s为位移单位)的情况
(1)通过s、2s、3s、…ns所用时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过第1个s、第2个s、第3个s、…第n个s所用时间之比：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
等分运动时间情况
有一辆汽车在一个沙尘暴天气中以20 m/s的速度匀速行驶。司机突然模糊看到正前方十字路口有一个老人跌倒在地。他立即刹车，刹车后加速度大小为5 m/s2，则( )
A．经6 s汽车速度的大小变为10 m/s
B．汽车刹车后6 s内的位移为40 m
C．汽车在第4 s末、第3 s末、第2 s末的速度之比为3∶2∶1
D．汽车第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内位移之比为1∶3∶5∶7
答案：B
解析：汽车的刹车时间为t＝＝ s＝4 s，经6 s汽车速度的大小变为零，故A错误；汽车刹车后6 s内的位移和4 s内的位移相同s＝t＝×4 m＝40 m，故B正确；将匀减速运动看成反方向的匀加速运动，可知汽车在第4 s末的速度为零，第3 s末、第2 s末、第1 s末的速度之比为1∶2∶3，汽车第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内位移之比为7∶5∶3∶1，故C、D错误。
等分运动位移情况
(多选)2022年2月中国成功举办第24届冬奥会，北京成为世界上首个“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目是极具观赏性的一项比赛，将冰壶运动简化成如下模型：从A点以初速度掷出，沿直线AD做匀减速直线运动，恰好停在营垒中心点D处，AB＝BC＝CD，下列说法中正确的是( )
A．冰壶在AB、BC、CD三段上运动的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝∶∶1
B．冰壶在A、B、C处的速度大小之比vA∶vB∶vC＝∶∶1
C．冰壶从A运动到D的平均速度为v0
D．冰壶从A运动到B和从B运动到D的时间相等
答案：BC
解析：冰壶运动过程为匀减速直线运动，且减速为零，运用逆行思维，可以将其看成逆向的匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动的比例式可知，tAB∶tBC∶tCD＝(－)∶(－1)∶1，则tAB∶tBD≠1，故A、D项错误；运用逆向思维，对CD段、BD段、AD段分别有vC2－0＝2asCD，vB2－0＝2a(sCD＋sBC)，vA2－0＝2a(sCD＋sBC＋sAB)，整理有vA∶vB∶vC＝∶∶1，故B项正确；因为冰壶AD段运动属于匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的推论有＝＝v0，故C项正确。
针对练1.物体做匀减速直线运动，3 s末停下，则此3 s的前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为( )
A．5∶3∶1 B．5∶4∶3
C．5∶8∶9 D．∶∶1
答案：B
解析：末速度为零的匀减速直线运动可以看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则物体在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5，所以此3 s的前1 s、前2 s、前3 s内的位移之比为s1∶s2∶s3＝5∶8∶9，则此3 s的前1 s、前2 s、前3 s内的平均速度之比为1∶2∶3＝∶∶＝5∶4∶3，故选B。
针对练2.(多选)(2024·深圳市高一校考期中)几个水球可以挡住一颗子弹。四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀减速直线运动，恰好能穿出第四个水球，子弹刚要进入第一个水球时速度为v，下列说法正确的是( )
A．子弹穿过每个水球的时间之比为∶∶∶1
B．子弹穿过每个水球的时间之比为(－)∶(－)∶(－1)∶1
C．子弹刚要进入每个水球的速度之比为∶∶∶1
D．子弹刚要进入第四个水球的瞬时速度为
答案：BCD
解析：初速度为零的匀加速直线运动连续相等位移所用的时间比为1∶(－1)∶(－)∶(－)∶…可知子弹穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3∶t4＝(－)∶(－)∶(－1)∶1，故A错误，B正确；由vt＝，可得子弹刚要进入每个水球的速度之比为v1∶v2∶v3∶v4＝∶∶∶1，可得子弹刚要进入第四个水球的瞬时速度为v4＝＝，故C、D正确。故选BCD。
提升点二 逐差相等公式的应用
1．逐差相等公式
匀变速直线运动，在连续相邻相等时间T内的位移之差是定值，即Δs＝aT2。
2．公式推导
(1)公式法
如图所示
s1＝v0T＋aT2，s2＝v0·2T＋a·T2，
s3＝v0·3T＋a·T2，…
所以sⅠ＝s1＝v0T＋aT2，
sⅡ＝s2－s1＝v0T＋aT2，
sⅢ＝s3－s2＝v0T＋aT2，…
故sⅡ－sⅠ＝aT2，sⅢ－sⅡ＝aT2，…
所以Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。
(2)图像法
假设质点做匀加速直线运动，其v t图像如图所示。
根据v t图像的斜率和面积的物理意义，从v t图像很容易看出，连续相等时间T内位移之差等于Δs＝aT2 。
1．公式中“T”具有任意性。
2．对于不相邻的任意两段位移：sm－sn＝(m－n)aT2。
3．推论只适用于匀变速直线运动。
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动：如果Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δs＝aT2，可求得a＝。
一物体做匀变速直线运动，从A运动到B和从B运动到C的时间均为4 s，通过的位移分别是24 m和64 m，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a的大小。
答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
解析：法一：基本公式法
由位移公式得s1＝vAT＋aT2，s2＝vA·2T＋a(2T)2－(vAT＋aT2)，vC＝vA＋a·2T，将s1＝24 m，s2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。由题知A、C的中间时刻为B，设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝1，vE＝2。则1＝，2＝，vB＝＝，联立以上各式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
法三：逐差相等公式法
由Δs＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又s1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
公式的选取原则
运动学问题的求解一般会有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律。如果题中不涉及加速度a，那么选平均速度公式解题比较方便；如果涉及连续相等时间内的位移问题，用逐差法比较方便。
针对练．一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s、第2 s、第3 s前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，可进一步推断，汽车开始制动时的速度大小为( )
A．4 m/s B．6 m/s C．8 m/s D．10 m/s
答案：D
解析：汽车制动的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，根据s＝v0t－at2，则9 m＝(v0×1－×2×12) m，解得v0＝10 m/s，故选D。
提升点三 中间位置瞬时速度公式的理解及应用
1．中间位置的瞬时速度公式：v＝。
在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
2．
公式推导：如图所示，前一段位移有v2－v02＝2a·，后一段位移有vt2－v2＝2a·，联立解得v＝。
(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3D．在匀变速直线运动中一定有v3>v4＝v5
答案：BD
解析：由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确。全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，故D正确。若物体做匀加速直线运动，则v1v2，C错误。
两个公式的比较
1．在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度v与中间位置的瞬时速度v是不同的，v＝，v＝ 。
2．不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有v＞v。
针对练．(多选)光滑斜面的长度为l，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度大小为
B．物体在时刻的瞬时速度大小为
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度大小为
D．物体从斜面顶端运动到斜面中点所需的时间为
答案：ACD
解析：物体运动全过程中的平均速度大小＝，A正确；在时刻，物体的瞬时速度大小等于全程的平均速度大小，B错误；设物体末速度的大小为v，则＝，则v＝，故物体运动到斜面中点时的瞬时速度大小v＝＝，C正确；设物体的加速度大小为a，到达中间位置时用时t′，则l＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。
1．(多选)(2024·重庆沙坪坝高一校考期中)火车站台上的车厢标识可以帮助乘客寻找车厢位置。若列车进站时的减速运动可视为匀减速直线运动，且每节车厢的长度相等，则它在减速过程中的两连续相等时间内，通过站台上某处标识的列车节数之比可能为(车厢间的间隙宽度不计)( )
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶3 D．7∶2
答案：AC
解析：匀减速逆过程可看成匀加速，根据初速度为零匀加速运动可知，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n＋1)，则列车节数之比为(2n＋1)∶…∶5∶3∶1，故选AC。
2．(多选)(2024·深圳市高一校考期中)如图所示，光滑的斜面上有A、B、C、D、E五个点，彼此之间的距离均相等，一小球以某一初速度从E点滑上斜面做匀减速直线运动，运动到A点小球速度恰好为零，则下列说法不正确的是( )
A．小球经过各点的速度关系为vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
B．C点的速度与E点的速度关系为vC＝
C．小球从E点到A点的平均速度等于B点的速度
D．小球从E点到C点的时间等于从C点到A点的时间
答案：ABD
解析：根据逆向思维可知从A到E，物体做初速度为零的匀加速运动，速度逐渐增大，经过相同位移所用的时间逐渐减小，根据Δv＝aΔt，可知经相同的位移，速度增量逐渐减小，A错误；设相邻两点间的距离为s，根据逆向思维有vt2＝2as，可知物体到达各点速度之比vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，所以有vC＝vE，故B错误；根据vE2＝2a·4s，结合匀变速直线运动平均速度公式可知小球从E点到A点的平均速度＝＝，而B点的速度vB＝，所以小球从E点到A点的平均速度等于B点的速度，故C正确；因为物体从E到A做匀减速直线运动，相同位移的时间逐渐增大，故D错误。本题选不正确的，故选ABD。
3．乡村振兴是民族振兴的重要组成，在某乡村振兴旅游草甸游乐场游玩中，小明从坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑，途中依次经过a、b、c三个标志点，已知ab＝4 m，bc＝8 m，通过ab和bc所用时间均为2 s，则他的加速度和通过b点时的瞬时速度分别为( )
A．1 m/s2；3 m/s B．1 m/s2；6 m/s
C．2 m/s2；3 m/s D．2 m/s2；6 m/s
答案：A
解析：加速度为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，通过b点时的瞬时速度为vb＝＝ m/s＝3 m/s，故选A。
4．(2024·深圳市高一期中)做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别为vA＝6v、vB＝8v，经历的时间为t，则( )
A．物体在A、B间的平均速度为7v
B．物体在A、B间的中间位置的瞬时速度为7v
C．物体的加速度为
D．A、B间的位移为14vt
答案：A
解析：由于物体做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的平均速度公式可得，物体在A、B间的平均速度为＝＝＝7v，故A正确；根据匀变速直线运动的推论可得，物体在A、B间的中间位置的瞬时速度为v＝＝5v，故B错误；根据加速度的定义式可得，物体的加速度为a＝＝＝，故C错误；根据匀变速直线运动位移与时间的关系式可得，A、B间的位移为sAB＝ t＝7vt，故D错误。故选A。
课时测评9 匀变速直线运动的推论(选学)
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－12题，每题5分，共60分)
1．如图所示，水平地面上有A、B、C三点，且AB＝3BC，有一物块由A点以初速度为v0沿水平地面向右做匀减速运动，恰好运动到C点停止，已知物块由A点运动到C点经历的总时间为t，则( )
A．物块从B到C的时间为
B．物块从B到C的时间为
C．物块在B点时的速度为
D．物块在B点时的速度为
答案：A
解析：末速度为0的匀减速直线运动可以逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，再利用匀变速直线运动规律的推论。对于初速度为0的匀加速直线运动，相同时间内第一个时间段内和第二个时间段内的位移之比为1∶3，由此可知B点为整个过程的中间时刻，所以从B到C所用时间为，B点速度为，A正确，B、C、D错误。
2．(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，在第三个T时间内位移是3 m，第三个T时间末的瞬时速度为3 m/s，则( )
A．物体的加速度是1 m/s2
B．第一个T时间末的瞬时速度为1 m/s
C．时间间隔T＝1 s
D．物体在第1个T时间内的位移为0.6 m
答案：BD
解析：初速度为零的匀加速直线运动，连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5，据此判断第一个T时间内的位移s1＝×1＝0.6 m，故D正确；第二个T时间内的位移s2＝×3＝1.8 m，由v32－0＝2a(s1＋s2＋s3)，可得a＝ m/s2，A错误；由v3＝a·3T，解得T＝ s，C错误；第一个T时间末的瞬时速度v1＝aT＝× m/s＝1 m/s，B正确。故选BD。
3．(2024·辽宁辽阳高一统考期中)木块A、B、C并排固定在水平地面上，子弹(可视为质点)以30 m/s的速度射入木块A，子弹在木块A、B、C中运动的时间相等，子弹在木块中运动时加速度恒定，子弹刚好射出木块C，下列说法正确的是( )
A．子弹刚射出木块A时的速度大小为15 m/s
B．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块B中运动的平均速度的2倍
C．木块A、B、C的长度之比为5∶3∶1
D．若子弹射入木块A的初速度变为20 m/s，则子弹将停留在木块B中
答案：C
解析：利用逆向思维法，子弹做初速度为零的匀加速直线运动，子弹在三个木块中的运动时间t相等，根据速度公式有v0＝a×3t，子弹射出木块A时的速度vA＝a×2t，解得vA＝20 m/s，故A错误；子弹射出木块B时的速度vB＝at，解得vB＝10 m/s，子弹在木块A中的平均速度为A＝ m/s＝25 m/s，子弹在木块B中平均速度为B＝ m/s＝15 m/s，故B错误；根据初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内的位移比例规律可知，木块A、B、C的长度之比为5∶3∶1，故C正确；设木块A的长度为5L，B的长度为3L，C的长度为L，当v0＝30 m/s时，可得v02＝2a(5L＋3L＋L)，当v0′＝20 m/s时，可得v0′2＝2as′，解得s′＝4L<5L，故子弹在A内静止，故D错误。故选C。
4．汽车刹车后做匀减速直线运动，最后停下来，在刹车过程中，汽车前半程的平均速度与后半程的平均速度之比是( )
A．2∶1 B．3∶1
C．∶1 D．(＋1)∶1
答案：D
解析：把汽车匀减速到零的过程逆向看成一个初速度为零的匀加速直线运动，则可知通过前半程与后半程的时间比为(－1)∶1，则汽车的前半程的平均速度与后半程的平均速度之比为v前∶v后＝∶＝(＋1)∶1，故选D。
5．一小球沿斜面以恒定加速度滚下，依次通过A、B、C三点，已知AB＝12 m，BC＝20 m，小球通过AB、BC所用时间均为2 s，则小球通过A、B两点的速度分别为( )
A．6 m/s 8 m/s B．0 m/s 4 m/s
C．2 m/s 4 m/s D．4 m/s 8 m/s
答案：D
解析：小球做匀变速运动，相邻相等时间内的位移差为定值，BC－AB＝at2，解得a＝2 m/s2，小球做匀变速运动，B点的速度等于AC段的平均速度vB＝＝ m/s＝8 m/s，则vA＝vB－at＝8 m/s－2×2 m/s＝4 m/s，故D正确，A、B、C错误。
6．(2024·贵州毕节高一统考期末)2022年11月20日，第二十二届世界杯在卡塔尔正式开幕。如图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，s1＝1.05 m，s2＝0.75 m，s3＝0.45 m，s4＝0.15 m，由此可以判定( )
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为20 m/s2
C．足球的初速度大小为15 m/s
D．整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s
答案：A
解析：连续相等时间内的位移差s1－s2＝s2－s3＝s3－s4＝0.3 m，所以足球做匀变速直线运动，故A正确；由逐差相等公式Δs＝at2，可得足球的加速度大小为a＝＝ m/s2＝30 m/s2，故B错误；题图中第二个球的速度v2＝＝ m/s＝9 m/s，则球的初速度v1＝v2＋at＝9 m/s＋30×0.1 m/s＝12 m/s，故C错误；整个过程中足球的平均速度大小为＝＝ m/s＝6 m/s，故D错误。故选A。
7．(2024·河北保定高一校联考期中)送餐员经过一路口前做匀减速直线运动，经过A、B两点时的速度大小分别为14 m/s和2 m/s，C点为AB的中点，送餐员从A点运动到C点的时间为2 s，AB两点间的距离为( )
A．48 m B．32 m C．16 m D．8 m
答案：A
解析：由于C点为AB的中点，则vC＝＝ m/s＝10 m/s，所以AB间的距离为sAB＝2sAC＝2·tAC＝2××2 m＝48 m，故选A。
8．一物体做匀变速直线运动，在10 s时间内运动了100 m，则物体运动至50 m处时的速度( )
A．等于10 m/s B．小于10 m/s
C．大于10 m/s D．无法确定
答案：C
解析：根据匀变速直线运动规律可知，中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，即v＝＝，中点位移的瞬时速度v＝ ，可知v>v。由题意可得，物体在这10 s时间内的平均速度大小为＝＝ m/s＝10 m/s，所以物体运动至50 m处时的速度应大于10 m/s。故选C。
9．某列车从武汉站由静止启动做匀加速直线运动，一工作人员站在站台上与第一节车厢的前端相齐。已知列车各节车厢的长度相同，各车厢间的间隙不计，若第三节车厢经过工作人员的时间为t，则第一节车厢经过他的时间为( )
A．t B．2t
C．(1＋)t D．(＋)t
答案：D
解析：根据初速度为零的匀加速运动在相邻相等位移内的时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…，第三节车厢经过工作人员的时间为t，则第一节车厢经过他的时间为t1＝＝(＋)t，故选D。
10．(多选)(2024·深圳市高一校考期中)“科技冬奥”是北京冬奥会馆的一大亮点，上百个机器人承担起疫情防控和服务的重任，提供消杀、送餐、导引、清洁等服务。已知一机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则( )
A．该机器人在这段时间内前进的距离为vt
B．该机器人在前t内和后t内的位移之比为3∶1
C.该机器人在位移中点的速度为v
D．该机器人在中间时刻的速度为v
答案：AB
解析：在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该过程中初、末速度的平均值，则该机器人在这段时间内前进的距离为s＝t＝vt，故A正确；根据初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内的位移之比等于1∶3∶5∶…，逆向分析可知，该机器人在前t内和后t内的位移之比为3∶1，故B正确；根据中间位置瞬时速度公式可知，中间位置的速度为v＝＝v，故C错误；在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，则该机器人在中间时刻的速度为v＝＝v，故D错误。故选AB。
11．(多选)在子弹穿透力对比的测试中，实验者可以通过子弹射穿苹果的个数来比较不同手枪子弹的穿透力，其中左轮手枪的子弹穿透了36只被紧挨排列固定在一起的苹果后速度恰好减为0，子弹穿透36只苹果的总时间为t，已知子弹可以视为质点，子弹穿透苹果的过程可视为匀减速直线运动，下列说法正确的是( )
A．子弹在前时间内穿透了27只苹果
B．子弹穿透前18个苹果所用时间为t
C．子弹穿透第20只苹果所用时间为t
D．子弹穿透第1只与最后1只苹果所用的时间之比为6∶1
答案：AC
解析：逆向思维可以视为初速度为0的匀加速运动，连续两段相等时间内的位移之比为s2∶s1＝1∶3＝9∶27，故A正确；根据连续相等位移的时间比推论，结合逆向思维可知t2′∶t1′＝1∶(－1)，故子弹穿透前18个苹果所用时间为t1′＝t，故B错误；设每只苹果被穿透的长度为d，则有36d＝at2，17d＝at172，16d＝at162，联立可得子弹穿透第20只苹果所用时间为t20＝t17－t16＝t，故C正确；对于后35只苹果有35d＝at352，则子弹穿透第1只苹果的时间t1＝t－t35＝(1－)t，对于第36只苹果d＝at362，解得t36＝t，故子弹穿透第1只与最后1只苹果所用的时间之比为t1∶t36＝(6－)∶1，故D错误。故选AC。
12．(多选)(2024·广州市高一期中)如图所示，一小滑块(可看作质点)沿足够长的斜面以初速度v向上做匀减速直线运动，依次经A、B、C、D到达最高点E，已知AB＝BD＝6 m，BC＝1 m，滑块从A到C和从C到D所用的时间都是2 s。设滑块经C时的速度为vC，则( )
A．滑块上滑过程中加速度的大小为0.5 m/s2
B．vC＝6 m/s
C．DE＝3 m
D．从D到E所用时间为4 s
答案：AD
解析：物体的加速度大小为a＝＝＝0.5 m/s2，A正确；滑块从A到C和从C到D所用的时间都是2 s，所以vC＝＝3 m/s，故B错误；C、E之间的距离为sCE＝＝9 m，所以sDE＝sCE－sCD＝4 m，从D到E过程中，由位移—时间公式有sDE＝atDE2，解得tDE＝4 s，故C错误，D正确。故选AD。
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