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第六节 共点力的平衡条件及其应用
第三章 相互作用
1．知道什么是共点力。知道共点力的平衡条件。
2．在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力的平衡条件。
3．会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
素养目标
知识点一 共点力的平衡和平衡条件
情境导入 如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上。
(1)飞来石受哪些力作用？
提示：受重力和悬崖对它的作用力。
(2)这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示：重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
自主学习
教材梳理 (阅读教材P88—P89完成下列填空)
1．共点力的平衡
(1)共点力：如果几个力作用在物体的________上，或者几个力的作用线相交于________，这几个力就称为共点力。
(2)平衡状态：物体处于______或者保持______________的状态叫作平衡状态。
(3)共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于______状态，就叫作共点力的平衡。
(4)共点力的平衡条件：为了使物体保持______状态，作用在物体上的力所必须满足的条件，叫作共点力的平衡条件。
同一点
同一点
静止
匀速直线运动
平衡
平衡
2．共点力的平衡条件的理解
(1)二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小______、方向______，作用在同一直线上。
(2)多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是______________。
相等
相反
所受合力为零
师生互动 一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
任务1.此时灯泡受几个力？
提示：受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
课堂探究
任务2.试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
提示：如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合
成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所
以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必
定大小相等、方向相反。
任务3.上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示：可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
物体处于平衡状态的条件是所受合力为零，B项中运动员在最高点时虽然速度为零，但只受到重力作用，处于非平衡状态，A、C、D正确。
(多选)体育运动比赛项目中，下列运动员处于平衡状态的是
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
例1
√
√
√
1．共点力平衡的条件
合外力等于0，即F合＝0→正交分解法表示 ，其中Fx合和
Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．共点力平衡条件的推论
注意：在分析问题时，“静止”和“v＝0”不是一回事。
针对练．物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
答案：10 N 水平向左
五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
如图所示，若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝ ＝ N＝
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知识点二 三力平衡的计算
处理三力平衡的方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反
效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件，即Fx合＝0，Fy合＝0
用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力大小。
答案：16.97 N 9.80 N
例2
法一：合成法
以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，作受力分析如图所示
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cos 30°＝19.6× ≈16.97 N
F2＝F sin 30°＝19.6× ＝9.80 N。
法二：正交分解法
如图所示，建立直角坐标系，将绳子OA和OB的拉力沿水平和竖直方向正交分解。
T＝G
由平衡条件可知
水平方向有F1cos 60°＝F2cos 30°
竖直方向有F1sin 60°＋F2sin 30°＝T
解得F1≈16.97 N，F2＝9.80 N。
变式拓展．若[例2]中两绳能承受的最大拉力相同，均为100 N，持续增大悬挂物的重力，为了保证两段绳子不被拉断，求悬挂物的最大质量。(g取10 m/s2)
由题意知，绳子OA的拉力F1大于OB的拉力F2，为了保证两段绳子不被拉断，当绳子OA的拉力F1m＝100 N时，悬挂物的质量达到最大，则有F1m＝mg cos 30°，解得m＝
分析平衡问题的一般步骤
1．明确平衡状态(合力为零)。
2．巧选研究对象。
3．受力分析(画出规范的受力分析图)。
4．列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)。
5．求解或讨论(解的结果及物理意义)。
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知识点三 多力平衡问题
多力平衡问题一般采用正交分解法，步骤如下：
物体沿斜面下滑时，受力分析如图甲所示：
则物体受到斜面的支持力为FN＝mg cos 37°＝5×10×0.8 N＝40 N，方向垂直斜面向上。
如图所示，在倾角为37°的固定斜面有一质量为5 kg的物体正在匀速下滑。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)斜面对物体的支持力；
答案：40 N，垂直于斜面向上
例3
(2)物体与斜面间的动摩擦因数；
答案：0.75
根据二力平衡，物体受到的摩擦力为
f＝mg sin 37°＝30 N，方向沿斜面向上
又f＝μFN
解得μ＝0.75。
(3)若要使该物体斜面匀速上滑，则应沿斜面向上对物体施加多大的力？
答案：60 N
当物体沿斜面向上匀速运动时，受力分析如图乙所示：
沿斜面方向F－mg sin 37°－f＝0
解得F＝60 N。
针对练1.如图所示，一个质量为10 kg的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦，取g＝10 m/s2，试求：小球受到竖直墙面和A点的弹力F1和F2。
对小球进行受力分析：受重力mg、竖直墙壁的弹力F1和A点的弹力F2，如图所示。
答案： ，方向水平向左 200 N，方向沿AO斜向上
可知小球受到竖直墙面的弹力大小为 ，方向水平向左；受到A点的弹力大小为200 N，方向沿AO斜向上。
根据平衡条件得mg sin θ＝μmg cos θ
解得μ＝
针对练2.(2024·黑龙江齐齐哈尔高一期中)一质量m＝2 kg
的木块放在倾角为θ＝30°的固定斜面上时，木块恰能
沿斜面匀速下滑。现用与斜面夹角α＝37°的拉力F拉着
木块使木块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知g＝10 N/kg，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求(结果可带根号)：
(1)木块与斜面间的动摩擦因数μ；
如图所示，画出受力
将重力G和拉力F分解到沿着斜面和垂直于斜面的
方向，由平衡条件得F cos α－mg sin θ－μ(mg cos θ
－F sin α)＝0
解得F＝
(2)F的大小。
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随堂演练
上抛的小球在最高点，小球的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故A错误；漂浮在水中的杯子，杯子静止，处于平衡状态，故B正确；做自由落体运动的石块，石块的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故C错误；沿斜面加速下滑的木块，木块的加速度沿斜面向下，不是处于平衡状态，故D错误。故选B。
1．(2024·上海静安高一期中)下列物体处于平衡状态的是
A．上抛的小球在最高点 B．漂浮在水中的杯子
C．做自由落体运动的石块 D．沿斜面加速下滑的木块
√
物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。
2．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
√
√
因为足球静止，足球所受合力的大小为0，C错误；根据平衡条件，悬绳对足球的拉力大小为 ，A错误；根据平衡条件，墙壁对足球的弹力大小为mg tan α，B正确；根据平衡条件，悬绳和墙壁对足球的合力大小为mg，方向竖直向上，D正确。故选BD。
3．(多选)(人教版P79T2改编)如图所示，在竖直光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法中正确的是
A．悬绳对足球的拉力大小为mg cos α
B．墙壁对足球的弹力大小为mg tan α
C．足球所受合力的大小为
D．悬绳和墙壁对足球的合力大小为mg
√
√
4．重40 N的物体在斜面上匀速下滑，斜面倾角为37°，则下列正确的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
A．物体对斜面的压力为40 N
B．物体与斜面间的摩擦力为32 N
C．物体与斜面间的动摩擦因数为0.6
D．要使物体沿斜面匀速上滑，应平行斜面向上施加一大小为48 N的推力
√
物体受重力mg、支持力FN和滑动摩擦力f，由平
衡条件得知，支持力大小为FN＝mg cos θ＝40×
0.8＝32 N，则物体对斜面的压力大小为32 N，A
错误；匀速下滑时，沿斜面方向根据共点力的平
衡条件可得f＝mg sin θ＝40×0.6＝24 N，B错误；
动摩擦因数为μ＝ ＝ ＝0.75，C错误；当
对物体施加一个沿着斜面向上的推力时恰能匀速上滑，则有F＝mg sin θ＋μmg cos θ＝48 N，D正确。故选D。
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课 时 测 评
1．下列说法正确的是
A．物体处于平衡状态时，合外力可以不为零
B．物体只有受到两个力的作用时才能处于平衡状态
C．物体做匀减速直线运动速度减为零时合力为零
D．无论物体受到几个力，只要做匀速直线运动，这几个力的合力一定为零
物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动状态)时，所受力的合力一定为零，故A错误，D正确；物体受两个或两个以上的力作用时都有可能处于平衡状态，故B错误；物体做匀减速直线运动速度减为零时速度为零，但加速度不一定为零，所以合力不一定为零，故C错误。故选D。
√
2．物体处于平衡状态的条件是
A．物体只有受到大小相等、方向相反、作用在同一直线上的两个力作用时，才处于平衡状态
B．物体只受一个力的作用，也可能处于平衡状态
C．物体所受的摩擦力为零，一定处于平衡状态
D．在共点力作用下的物体，如果所受合力为零，一定处于平衡状态
√
物体处于平衡状态时，可以受到两个或两个以上的共点力作用，故A错误；物体只受到一个力作用时，合力不为0，一定不处于平衡状态，故B错误；物体所受的摩擦力为零，合外力不一定为零，例如在光滑水平面上对物体施加一外力，此时物体不是处于平衡状态，故C错误；根据平衡条件知，在共点力作用下的物体，如果所受合力为零，一定处于平衡状态，故D正确。故选D。
3．如图所示，某物体在三个共点力的作用下保持平衡，若将其中F2＝5 N的力顺时针旋转60°，则此时物体所受的合力为
A．5 N
B．10 N
C．
D．0
物体在三个共点力的作用下保持平衡，其他两个力的合力F与F2等大反向，即F＝5 N，若将其中F2＝5 N的力顺时针旋转60°，则F2与F夹角为120°，根据平行四边形定则，合力大小F合＝5 N，故选A。
√
4．如图所示，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向
A．沿斜面向上
B．垂直于斜面向上
C．竖直向上
D．无法判断
物体受重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力等大反向，则方向竖直向上，故选C。
√
5．如图所示，质量为m的手机静置在支架斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，手机与接触面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。若手机始终静止在支架上，则下列说法正确的是
A．手机对支架的压力大小为mg cos θ，方向垂直于斜面向上
B．手机受到的摩擦力大小为μmg cos θ，方向沿斜面向上
C．若使θ减小，支架对手机的作用力减小
D．若使θ减小，支架对手机的作用力始终不变
手机对支架的压力大小为mg cos θ，方向垂直于斜面向下，选项A错误；手机受到的摩擦力为静摩擦力，大小等于mg sin θ，方向沿斜面向上，选项B错误；支架对手机的作用力与手机的重力等大反向，则若使θ减小，支架对手机的作用力不变，选项C错误，D正确。
√
6．(多选)如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下沿天花板匀速滑动，F与水平方向的夹角为θ，物体与天花板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体受到的摩擦力大小是
A．F cos θ
B．F sin θ
C．μ(F sin θ＋mg)
D．μ(F sin θ－mg)
√
√
将恒力F沿水平和竖直方向正交分解，如图所示，因物体沿天花板匀速运动，则水平方向上有F cos θ－f＝0，即物体受到的摩擦力大小为f＝F cos θ，A正确，B错误；竖直方向上有F sin θ－mg＝FN，则摩擦力大小为f＝μFN＝μ(F sin θ－mg)，C错误，D正确。
7．如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体质量都为m，且均处于静止状态，有关角度如图中所示。弹簧测力计示数为FA、FB、FC、FD，则
A．FD＞FB＞FA＞FC B．FD＞FC＞FB＞FA
C．FB＞FD＞FA＞FC D．FC＞FD＞FB＞FA
√
对题图A中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得2FA cos 45°＝mg，解得FA＝ ；对题图B中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得FB＝mg；对题图C中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条
件得FC＝mg sin 30°＝ ；对题图D中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得2FD cos 75°＝mg，解得FD＝ ＝ ，
所以有FD>FB>FA>FC，故A正确。
8．(10分)如图所示，一质量m＝0.7 kg的物体放在一固定斜面上。当斜面倾角为37°时物体恰能沿斜面匀速下滑；对物体施加一个水平向右的恒力F，物体恰好可沿斜面匀速向上滑行。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
答案：0.75
斜面倾角为37°时，物体恰能沿斜面匀速下滑，满足mg sin 37°＝μmg cos 37°
解得μ＝0.75。
(2)水平向右的恒力F的大小。
答案：24 N
恒力F作用时，物体受力情况如图所示
由平衡条件有
F cos 37°＝mg sin 37°＋f
FN＝mg cos 37°＋F sin 37°
又f＝μFN
代入数据解得F＝24 N。
物体在斜面上匀速下滑，即合力为0，物体受的滑动摩擦力与相对运动方向相反，在平行于斜面方向，物体受重力分力、推力、滑动摩擦力，则有μmg cos α＝ ，代入数据解得μ＝ ，故选A。
9．(10分)如图所示，一质量m＝10 kg的箱子先从倾角θ＝37°的斜面上匀速滑下来，到地面后立即由一女旅客用与水平方向成θ＝37°的斜向上的力拉着继续做匀速直线运动，已知箱子与斜面及地面的滑动摩擦因数相同，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)箱子与斜面间的动摩擦因数；
答案：0.75
设箱子与斜面间的动摩擦因数为μ，箱子在斜面上匀速运动时，根据平衡条件有mg sin θ＝μmg cos θ
解得μ＝0.75。
(2)女旅客拉箱子的力的大小以及地面对箱子的摩擦力的大小。
答案：60 N 48 N
女旅客拉箱子做匀速运动时，根据平衡条件有
F cos θ＝μ(mg－F sin θ)
解得F＝60 N
则可知地面对箱子的摩擦力的大小为f＝F cos θ＝48 N。
10．(10分)如图所示，质量为m＝4 kg的物体用两根细线悬挂在两竖直墙上，请根据以下两种情况分别求出OC和OB两根绳子所受拉力的大小，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)当OC水平，OB与竖直墙成37°时，如图甲所示；
答案：30 N 50 N
对结点O受力分析，如图1所示
根据平衡条件可得FOC＝mg tan 37°＝40× ＝30 N，FOB＝
＝ ＝50 N。
(2)当OC与竖直墙成53°，OB与竖直墙成37°时，如图乙所示。
答案：24 N 32 N
对结点O受力分析，如图2所示
根据平衡条件可得FOC′＝mg sin 37°＝40×0.6 N＝24 N，FOB′＝mg cos 37°＝40×0.8 N＝32 N。
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【素养目标】 1.知道什么是共点力。知道共点力的平衡条件。2.在二力平衡的基础上，经过科学推理，得出共点力的平衡条件。3.会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
知识点一 共点力的平衡和平衡条件
【情境导入】 如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上。
(1)飞来石受哪些力作用？
(2)这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示：(1)受重力和悬崖对它的作用力。
(2)重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
【教材梳理】 (阅读教材P88—P89完成下列填空)
1．共点力的平衡
(1)共点力：如果几个力作用在物体的同一点上，或者几个力的作用线相交于同一点，这几个力就称为共点力。
(2)平衡状态：物体处于静止或者保持匀速直线运动的状态叫作平衡状态。
(3)共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态，就叫作共点力的平衡。
(4)共点力的平衡条件：为了使物体保持平衡状态，作用在物体上的力所必须满足的条件，叫作共点力的平衡条件。
2．共点力的平衡条件的理解
(1)二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小相等、方向相反，作用在同一直线上。
(2)多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是所受合力为零。
【师生互动】 一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
任务1.此时灯泡受几个力？
任务2.试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
任务3.上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示：任务1.受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
任务2.如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
任务3.可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
(多选)体育运动比赛项目中，下列运动员处于平衡状态的是( )
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
答案：ACD
解析：物体处于平衡状态的条件是所受合力为零，B项中运动员在最高点时虽然速度为零，但只受到重力作用，处于非平衡状态，A、C、D正确。
1．共点力平衡的条件
合外力等于0，即F合＝0→正交分解法表示，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．共点力平衡条件的推论
注意：在分析问题时，“静止”和“v＝0”表示的情况并不相同。
v＝0
针对练．物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
答案：(1)10 N 水平向左 (2)10 N
解析：(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)如图所示，若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N。
知识点二 三力平衡的计算
计算三力平衡的方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反
效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件，即Fx合＝0，Fy合＝0
用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力大小。
答案：16.97 N 9.80 N
解析：法一：合成法
以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，作受力分析如图所示
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cos 30°＝19.6× N≈16.97 N
F2＝F sin 30°＝19.6× N＝9.80 N。
法二：正交分解法
如图所示，建立直角坐标系，将绳子OA和OB的拉力沿水平和竖直方向正交分解。
T＝G
由平衡条件可知
水平方向有F1cos 60°＝F2cos 30°
竖直方向有F1sin 60°＋F2sin 30°＝T
解得F1≈16.97 N，F2＝9.80 N。
变式拓展．若[例2]中两绳能承受的最大拉力相同，均为100 N，持续增大悬挂物的重力，为了保证两段绳子不被拉断，求悬挂物的最大质量。(g取10 m/s2)
答案： kg
解析：由题意知，绳子OA的拉力F1大于OB的拉力F2，为了保证两段绳子不被拉断，当绳子OA的拉力F1m＝100 N时，悬挂物的质量达到最大，则有F1m＝mg cos 30°，解得m＝ kg。
分析平衡问题的一般步骤
1．明确平衡状态(合力为零)。
2．巧选研究对象。
3．受力分析(画出规范的受力分析图)。
4．列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)。
5．求解或讨论(解的结果及物理意义)。
知识点三 多力平衡问题
多力平衡问题一般采用正交分解法，步骤如下：
如图所示，在倾角为37°的固定斜面有一质量为5 kg的物体正在匀速下滑。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)斜面对物体的支持力；
(2)物体与斜面间的动摩擦因数；
(3)若要使该物体斜面匀速上滑，则应沿斜面向上对物体施加多大的力？
答案：(1)40 N，垂直于斜面向上 (2)0.75 (3)60 N
解析：(1)物体沿斜面下滑时，受力分析如图甲所示：
则物体受到斜面的支持力为FN＝mg cos 37°＝5×10×0.8 N＝40 N，方向垂直斜面向上。
(2)根据二力平衡，物体受到的摩擦力为
f＝mg sin 37°＝30 N，方向沿斜面向上
又f＝μFN
解得μ＝0.75。
(3)当物体沿斜面向上匀速运动时，受力分析如图乙所示：
沿斜面方向F－mg sin 37°－f＝0
解得F＝60 N。
针对练1.如图所示，一个质量为10 kg的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦，取g＝10 m/s2，试求：小球受到竖直墙面和A点的弹力F1和F2。
答案：100 N，方向水平向左 200 N，方向沿AO斜向上
解析：对小球进行受力分析：受重力mg、竖直墙壁的弹力F1和A点的弹力F2，如图所示。
由平衡条件可得
F1＝mg tan θ＝10×10× N＝100 N
F2＝＝ N＝200 N
可知小球受到竖直墙面的弹力大小为100 N，方向水平向左；受到A点的弹力大小为200 N，方向沿AO斜向上。
针对练2.(2024·黑龙江齐齐哈尔高一期中)一质量m＝2 kg的木块放在倾角为θ＝30°的固定斜面上时，木块恰能沿斜面匀速下滑。现用与斜面夹角α＝37°的拉力F拉着木块使木块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知g＝10 N/kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求(结果可带根号)：
(1)木块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)F的大小。
答案：(1) (2) N
解析：(1)根据平衡条件得mg sin θ＝μmg cos θ
解得μ＝。
(2)木块受力分析如图所示
将重力G和拉力F分解到沿着斜面和垂直于斜面的方向，由平衡条件得F cos α－mg sin θ－μ(mg cos θ－F sin α)＝0
解得F＝ N。
1．(2024·上海静安高一期中)下列物体处于平衡状态的是( )
A．上抛的小球在最高点 B．漂浮在水中的杯子
C．做自由落体运动的石块 D．沿斜面加速下滑的木块
答案：B
解析：上抛的小球在最高点，小球的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故A错误；漂浮在水中的杯子，杯子静止，处于平衡状态，故B正确；做自由落体运动的石块，石块的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故C错误；沿斜面加速下滑的木块，木块的加速度沿斜面向下，不是处于平衡状态，故D错误。故选B。
2．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
答案：CD
解析：物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。
3．(多选)(人教版P79T2改编)如图所示，在竖直光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜的质量不计。下列说法中正确的是( )
A．悬绳对足球的拉力大小为mg cos α
B．墙壁对足球的弹力大小为mg tan α
C．足球所受合力的大小为
D．悬绳和墙壁对足球的合力大小为mg
答案：BD
解析：因为足球静止，足球所受合力的大小为0，C错误；根据平衡条件，悬绳对足球的拉力大小为，A错误；根据平衡条件，墙壁对足球的弹力大小为mg tan α，B正确；根据平衡条件，悬绳和墙壁对足球的合力大小为mg，方向竖直向上，D正确。故选BD。
4．重40 N的物体在斜面上匀速下滑，斜面倾角为37°，则下列正确的是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．物体对斜面的压力为40 N
B．物体与斜面间的摩擦力为32 N
C．物体与斜面间的动摩擦因数为0.6
D．要使物体沿斜面匀速上滑，应平行斜面向上施加一大小为48 N的推力
答案：D
解析：物体受重力mg、支持力FN和滑动摩擦力f，由平衡条件得知，支持力大小为FN＝mg cos θ＝40×0.8＝32 N，则物体对斜面的压力大小为32 N，A错误；匀速下滑时，沿斜面方向根据共点力的平衡条件可得f＝mg sin θ＝40×0.6＝24 N，B错误；动摩擦因数为μ＝＝＝0.75，C错误；当对物体施加一个沿着斜面向上的推力时恰能匀速上滑，则有F＝mg sin θ＋μmg cos θ＝48 N，D正确。故选D。
课时测评22 共点力的平衡条件及其应用
(时间：45分钟 满分：60分)
(选择题1－7题，每题4分，共28分)
1．下列说法正确的是( )
A．物体处于平衡状态时，合外力可以不为零
B．物体只有受到两个力的作用时才能处于平衡状态
C．物体做匀减速直线运动速度减为零时合力为零
D．无论物体受到几个力，只要做匀速直线运动，这几个力的合力一定为零
答案：D
解析：物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动状态)时，所受力的合力一定为零，故A错误，D正确；物体受两个或两个以上的力作用时都有可能处于平衡状态，故B错误；物体做匀减速直线运动速度减为零时速度为零，但加速度不一定为零，所以合力不一定为零，故C错误。故选D。
2．物体处于平衡状态的条件是( )
A．物体只有受到大小相等、方向相反、作用在同一直线上的两个力作用时，才处于平衡状态
B．物体只受一个力的作用，也可能处于平衡状态
C．物体所受的摩擦力为零，一定处于平衡状态
D．在共点力作用下的物体，如果所受合力为零，一定处于平衡状态
答案：D
解析：物体处于平衡状态时，可以受到两个或两个以上的共点力作用，故A错误；物体只受到一个力作用时，合力不为0，一定不处于平衡状态，故B错误；物体所受的摩擦力为零，合外力不一定为零，例如在光滑水平面上对物体施加一外力，此时物体不是处于平衡状态，故C错误；根据平衡条件知，在共点力作用下的物体，如果所受合力为零，一定处于平衡状态，故D正确。故选D。
3．如图所示，某物体在三个共点力的作用下保持平衡，若将其中F2＝5 N的力顺时针旋转60°，则此时物体所受的合力为( )
A．5 N B．10 N C．5 N D．0
答案：A
解析：物体在三个共点力的作用下保持平衡，其他两个力的合力F与F2等大反向，即F＝5 N，若将其中F2＝5 N的力顺时针旋转60°，则F2与F夹角为120°，根据平行四边形定则，合力大小F合＝5 N，故选A。
4．如图所示，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向( )
A．沿斜面向上 B．垂直于斜面向上
C．竖直向上 D．无法判断
答案：C
解析：物体受重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力等大反向，则方向竖直向上，故选C。
5．如图所示，质量为m的手机静置在支架斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，手机与接触面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。若手机始终静止在支架上，则下列说法正确的是( )
A．手机对支架的压力大小为mg cos θ，方向垂直于斜面向上
B．手机受到的摩擦力大小为μmg cos θ，方向沿斜面向上
C．若使θ减小，支架对手机的作用力减小
D．若使θ减小，支架对手机的作用力始终不变
答案：D
解析：手机对支架的压力大小为mg cos θ，方向垂直于斜面向下，选项A错误；手机受到的摩擦力为静摩擦力，大小等于mg sin θ，方向沿斜面向上，选项B错误；支架对手机的作用力与手机的重力等大反向，则若使θ减小，支架对手机的作用力不变，选项C错误，D正确。
6．(多选)如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下沿天花板匀速滑动，F与水平方向的夹角为θ，物体与天花板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体受到的摩擦力大小是( )
A．F cos θ B．F sin θ
C．μ(F sin θ＋mg) D．μ(F sin θ－mg)
答案：AD
解析：将恒力F沿水平和竖直方向正交分解，如图所示，因物体沿天花板匀速运动，则水平方向上有F cos θ－f＝0，即物体受到的摩擦力大小为f＝F cos θ，A正确，B错误；竖直方向上有F sin θ－mg＝FN，则摩擦力大小为f＝μFN＝μ(F sin θ－mg)，C错误，D正确。
7．如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体质量都为m，且均处于静止状态，有关角度如图中所示。弹簧测力计示数为FA、FB、FC、FD，则( )
A．FD＞FB＞FA＞FC B．FD＞FC＞FB＞FA
C．FB＞FD＞FA＞FC D．FC＞FD＞FB＞FA
答案：A
解析：对题图A中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得2FA cos 45°＝mg，解得FA＝；对题图B中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得FB＝mg；对题图C中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得FC＝mg sin 30°＝mg；对题图D中的m受力分析，m受力平衡，根据平衡条件得2FD cos 75°＝mg，解得FD＝＝，所以有FD>FB>FA>FC，故A正确。
8．(10分)如图所示，一质量m＝0.7 kg的物体放在一固定斜面上。当斜面倾角为37°时物体恰能沿斜面匀速下滑；对物体施加一个水平向右的恒力F，物体恰好可沿斜面匀速向上滑行。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)水平向右的恒力F的大小。
答案：(1)0.75 (2)24 N
解析：(1)斜面倾角为37°时，物体恰能沿斜面匀速下滑，满足mg sin 37°＝μmg cos 37°
解得μ＝0.75。
(2)恒力F作用时，物体受力情况如图所示
由平衡条件有
F cos 37°＝mg sin 37°＋f
FN＝mg cos 37°＋F sin 37°
又f＝μFN
代入数据解得F＝24 N。
9．(10分)如图所示，一质量m＝10 kg的箱子先从倾角θ＝37°的斜面上匀速滑下来，到地面后立即由一女旅客用与水平方向成θ＝37°的斜向上的力拉着继续做匀速直线运动，已知箱子与斜面及地面的滑动摩擦因数相同，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)箱子与斜面间的动摩擦因数；
(2)女旅客拉箱子的力的大小以及地面对箱子的摩擦力的大小。
答案：(1)0.75 (2)60 N 48 N
解析：(1)设箱子与斜面间的动摩擦因数为μ，箱子在斜面上匀速运动时，根据平衡条件有mg sin θ＝μmg cos θ
解得μ＝0.75。
(2)女旅客拉箱子做匀速运动时，根据平衡条件有
F cos θ＝μ(mg－F sin θ)
解得F＝60 N
则可知地面对箱子的摩擦力的大小为f＝F cos θ＝48 N。
10．(12分)如图所示，质量为m＝4 kg的物体用两根细线悬挂在两竖直墙上，请根据以下两种情况分别求出OC和OB两根绳子所受拉力的大小，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)当OC水平，OB与竖直墙成37°时，如图甲所示；
(2)当OC与竖直墙成53°，OB与竖直墙成37°时，如图乙所示。
答案：(1)30 N 50 N (2)24 N 32 N
解析：(1)对结点O受力分析，如图1所示
根据平衡条件可得FOC＝mg tan 37°＝40× N＝30 N，FOB＝＝ N＝50 N。
(2)对结点O受力分析，如图2所示
根据平衡条件可得FOC′＝mg sin 37°＝40×0.6 N＝24 N，FOB′＝mg cos 37°＝40×0.8 N＝32 N。
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