第2课时 力的合成
【素养目标】 1.掌握同一直线上的力的合成。2.掌握互成角度的力的合成遵循平行四边形定则。3.会用作图法和直角三角形的知识求共点力的合力。
知识点一 合力与分力的关系
【情境导入】 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55公里，其主体工程由6.7公里的海底沉管隧道、长达22.9公里的桥梁、逾20万平方米的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°。根钢索中的拉力都是3×104 N。
(1)这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
(2)两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
提示：(1)不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。
(2)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，这两个邻边间的对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
【教材梳理】 (阅读教材P79—P80完成下列填空)
1．力的合成：求几个力的合力的过程叫作力的合成。
2．平行四边形定则：如果以表示两个分力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图所示。
【师生互动】 自制一个平行四边形模型(如图)，结合模型讨论以下问题：
任务1.合力的大小和方向怎样随两个分力夹角的改变而改变？
任务2.合力是否总是大于两个分力？合力何时达到最大值？何时达到最小值？
任务3.当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时，它们的合力如何计算？
提示：任务1.在两个分力的大小不变的情况下，两分力的夹角越小，合力的大小就越大；两分力的夹角越大，合力的大小越小。
任务2.在两个分力的夹角为钝角时，合力的大小可能比分力小；当两个分力的夹角为0°时，合力最大；两个分力的夹角为180°时，合力最小。
任务3.当两分力的夹角为0°时，F合＝F1＋F2；当两个分力的夹角为180°时，F合＝|F1－F2|。可见，当两个分力间夹角变化时，合力F合的大小和方向也会随之变化。
在力的合成中，下列关于两个分力(大小为定值)与它们的合力的关系的说法正确的是( )
A．合力一定大于每一个分力
B．合力一定小于分力C.合力的方向一定与分力的方向相同
D．两个分力的夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越小
答案：D
解析：根据平行四边形定则知，合力可能大于分力，可能小于分力，可能等于分力，A、B错误。当两分力的方向相同时，合力方向与两个分力的方向相同；当两分力的方向相反时，合力方向与较大力的方向相同；当两分力有一定夹角时，合力在两分力之间，与分力方向不相同，C错误。两个分力的夹角在0°～180°之间时，合力随着夹角增大而减小，D正确。
针对练．作用在同一物体上的力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是( )
A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝2 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝7 N
答案：A
解析：选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能。
知识点二 合力的计算
1．作图法
2．计算法
(1)两分力共线时
①若F1、F2两力同向，则合力大小F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向。
(2)两分力不共线时
可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况。
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为(当θ＝120°时，F＝F1＝F2)
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
岸边两人同时用力拉小船，两力的大小和方向如图所示。请分别用作图法和计算法求出这两个力的合力。
答案：见解析
解析：法一 作图法
选定合适的标度，如用5.0 mm长的线段表示150 N的力，用O点代表船。依据题意作出力的平行四边形，如图所示。
用刻度尺量出表示合力F的对角线长为20.0 mm，可求得合力的大小F＝20.0× N＝600 N
用量角器量出F与F1的夹角为60°。
故这两个力的合力大小为600 N，方向与F1成60°。
法二 计算法
如图所示，平行四边形的对角线AB、OD交于C点，由于OA＝OB，所以平行四边形OADB是菱形，OD与AB互相垂直平分，OD是∠AOB的角平分线，∠AOB＝120°，则∠AOD＝60°，OD＝2OC＝2OA cos 60°
因此，合力的大小F＝2F1cos 60°＝600 N
方向与F1成60°。
针对练1.杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。如图所示，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
答案：5.2×104 N 竖直向下
解析：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计算这个合力的大小：
法一 作图法
如图甲所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
法二 计算法
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC，∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N。
针对练2.(多选)如图所示，是两个共点力的合力F跟两个分力的夹角的关系图像，下面的分析中正确的是( )
A．F的取值范围是2 N≤F≤10 N
B．F的取值范围是2 N≤F≤14 N
C．两个分力分别是6 N和8 N
D．两个分力分别是2 N和10 N
答案：BC
解析：由题图可知，两个力夹角为90°时合力为10 N，夹角为180°时合力为2 N，设较大的力为F1，较小的力为F2，则 ＝10 N，F1－F2＝2 N，联立解得F1＝8 N，F2＝6 N，合力F的取值范围是(8－6) N≤F≤(8＋6) N，即2 N≤F≤14 N，故选BC。
知识点三 多力的合成
1．多个力的合成方法：将力两两合成，再将合力与第三个力合成，直到将所有的力合进去，即可求解最后的合力。注意优先合成共线的力、对称的力、垂直的力。
2．三个力合力范围的确定
(1)最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①若一个力在另外两个力的大小之和与大小之差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力不在另外两个力的大小和与大小之差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力的大小减去另外两个力的大小。
如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是( )
A．F1＝0，F2＝2F，F2方向与5F方向相同
B．F1＝0，F2＝2F，F2方向与2F方向相同
C．F1＝2F，F2＝0，F1方向与5F方向相同
D．F1＝2F，F2＝0，F1方向与2F方向相同
答案：A
解析：求六个共点力的合力时，先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为3F且相邻两合力间的夹角都为120°，再求其中两个力的合力，作出平行四边形为菱形，由几何关系知合力也为3F，且方向与另一个3F的力反向，故F1＝0。若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力与2F的力等大反向，即与5F的力方向相同。故选A。
针对练1.(2024·珠海市期中)如图所示，三个大小相等的力F作用于同一点O，合力最小的是( )
答案：C
解析：A项合力大小FA＝(－1)F；B项合力大小等于F；C项合力大小等于0；D项合力大小FD＝2F cos 30°－F＝(－1)F，故选C。
针对练2.(2024·湛江市期末)物体受共点力F1、F2、F3作用且三个力的合力为零，则这三个力可能选取的数值为( )
A．15 N、5 N、6 N B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、8 N
答案：B
解析：三个力的合力为零，则以三个力为边，可以构成一个三角形，而在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。由于5 N＋6 N<15 N，合力不可能为零，A错误；由于3 N＋4 N>6 N>4 N－3 N，合力可能为零，B正确；由于1 N＋2 N<10 N，合力不可能为零，C错误；由于1 N＋6 N<8 N，合力不可能为零，D错误。
1．关于合力与其分力的关系，下列说法中错误的是( )
A．合力至少比某一个分力大
B．合力可以比任意分力都小
C．合力可以和两个分力的大小相等
D．两个分力大小一定，夹角越大，合力越小
答案：A
解析：合力可能比任何一个分力都大，也可能比任何一个分力都小，或者可以和分力的大小相等，A错误，B、C正确；根据平行四边形定则可知，两个分力大小一定，夹角越大，合力越小，D正确。故选A。
2．(2024·深圳市高一统考开学考)某物体受到以下哪组共点力后可以做匀速直线运动( )
A．3 N、5 N、10 N B．4 N、6 N、8 N
C．12 N、7 N、4 N D．1 N、3 N、5 N
答案：B
解析：做匀速直线运动的物体所受合力为零。由合力的范围≤F合≤F1＋F2可知，3 N、5 N的合力范围是2 N～8 N，10 N不在合力范围之内，所以3 N、5 N、10 N三个力的合力不可能是0，故A错误；4 N、6 N的合力范围是2 N～10 N，8 N在合力范围之内，所以4 N、6 N、8 N三个力的合力可能是0，故B正确；4 N、7 N的合力范围是3 N～11 N，12 N不在合力范围之内，所以12 N、7 N、4 N三个力的合力不可能是0，故C错误；1 N、3 N的合力范围是2 N～4 N，5 N不在合力范围之内，所以1 N、3 N、5 N三个力的合力不可能是0，故D错误。故选B。
3．(课后习题P81T3改编)两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时，合力大小为20 N。那么当它们间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N
答案：B
解析：设F1＝F2＝F0，当它们间的夹角为90°时，如图甲所示，
根据平行四边形定则知，其合力为F0，即F0＝20 N，故F0＝10 N。当它们间的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则，其合力与F0大小相等，B正确。
4．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为( )
A．100 N B．50 N C．50 N D．20 N
答案：A
解析：对滑轮B进行受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N。由平行四边形定则可知，由于拉力F1和F2的夹角为120 °，则有合力F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30 °角斜向下。故选A。
课时测评20 力的合成
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－10题，每题4分，共40分)
1．(多选)对作用在同一物体上大小不等的两个力进行合成，则( )
A．合力一定大于每个分力
B．合力可能同时垂直于两个分力
C．合力的方向可能与一个分力的方向相反
D．两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
答案：CD
解析：不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个边，故B错误；当两分力方向相反时，合力可以与较小的分力方向相反，故C正确；两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。
2．(多选)如图所示，一轻绳连接一物块绕过定滑轮，绳的另一端分别在位置1、2、3时，绳的拉力分别为T1、T2、T3，绳对滑轮的压力分别为FN1、FN2、FN3。若物体始终保持静止，不计一切阻力，则( )
A．T1＝T2＝T3 B．T1C．FN1＝FN2＝FN3 D．FN1答案：AD
解析：定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，则物体保持静止时，绳子的拉力无论方向怎么变化，大小始终和物体的重力相等，则三个拉力大小的关系为T1＝T2＝T3，A正确、B错误；根据合力与分力的关系可知，分力大小不变时，分力间夹角越小，合力越大，所以压力的关系为FN13．关于两个大小不变的分力与其合力的关系，下列说法正确的是( )
A．合力大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小一定大于分力中最大者
C．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角增大而减小
D．合力的大小不能小于分力中最小者
答案：C
解析：如图所示，
F1、F2为两个大小不变的分力，根据平行四边形定则对几种情况求合力。根据图中三种情况可知A、B、D错误，故C正确。故选C。
4．物体共受到两个力，大小分别为6 N和7 N，则关于这两个力的合力，说法正确的是( )
A．合力的最小值为0 N B．合力一定为13 N
C．合力不可能为10 N D．合力可能为3 N
答案：D
解析：6 N和7 N这两个力的合力介于1 N到13 N之间，故选D。
5．下列各组共点力中合力不可能为零的是( )
A．2 N、3 N、4 N B．4 N、5 N、10 N
C．10 N、12 N、21 N D．10 N、10 N、10 N
答案：B
解析：2 N和3 N的力的合力取值范围是1 N≤F≤5 N，当两力的合力为4 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故A错误；4 N和5 N的力合成时最大值为9 N，故不可能与10 N的力合成为零，故B正确；10 N和12 N的力的合力取值范围是2 N≤F≤22 N，当两力的合力为21 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故C错误；10 N和10 N的力的合力取值范围是0≤F≤20 N，当两力的合力为10 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故D错误。故选B。
6．研究两共点力的合成实验中，求出合力F随夹角θ变化的规律如图所示，则( )
A．两个分力为8 N、10 N
B．两个分力为6 N、8 N
C．2 N≤F≤18 N
D．2 N≤F≤16 N
答案：B
解析：当两个力方向垂直时，两个力合力为F合＝＝10 N，当两个方向相反时，合力最小，为两个力大小之差即|F1－F2|＝2 N，所以解得这两个分力为8 N、6 N，选项A错误，B正确；当两个力方向相同时，合力最大，为两个力大小之和，则有2 N≤F≤14 N，故C、D错误；故选B。
7．(2024·东莞市期中)两个共点力同向时合力大小为a，反向时合力大小为b，当两个力垂直时，合力大小为( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：两个共点力同向时有F1＋F2＝a，两力反向时有F1－F2＝b，解得F1＝，F2＝，两个力垂直时有F＝，解得F＝，故B正确，A、C、D错误。
8．如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力围成封闭三角形。下列4个图中，这三个力的合力为零的是( )
答案：C
解析：在矢量三角形中，两分力首尾相接时，合力是由一个分力的箭尾指向另一个分力的箭头的，由此得题图中合力大小分别为2F2、2F1、0、2F3，故选C。
9．(多选)如图所示，质点M受到三个共点力F1、F2、F3的作用，F1、F2、F3是圆O上的三条弦，且F2通过圆心O，F1与F3末端的连线也通过圆心O。则下列说法正确的是( )
A．质点M受到的合力为F2
B．F1、F3的合力方向与F2方向相同
C．若将F2反向，质点M合力为F2
D．若将F2反向，质点M合力为零
答案：BD
解析：由圆的几何特性和力的平行四边形定则可知，F1、F3的合力等于F2，则质点M受到的合力为2F2，故A错误，B正确；若将F2反向，则质点M的合力为零，故C错误，D正确。故选BD。
10．小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是( )
A．当θ为120°时，F＝G
B．不管θ为何值，均有F＝
C．当θ＝60°时，F＝
D．θ越大时，F越小
答案：A
解析：两分力相等，由力的合成可知，θ＝120°时F＝F合＝G，当θ＝60°时，有2F cos ＝G，可求得F＝，故A正确，B、C错误；依题意，当两分力F相等，合力一定时，θ越大，则分力F越大，故D错误。
11．(10分)有两个大小不变的共点力F1、F2(已知F1>F2)，当它们同方向时，合力为14 N；当它们反向时，合力为2 N，求：
(1)F1、F2的大小；
(2)当F1、F2两力相互垂直时，求它们的合力大小及与F1的夹角。
答案：(1)8 N 6 N (2)10 N 37°
解析：(1)由题意知F1＋F2＝14 N
F1－F2＝2 N
解得F1＝8 N，F2＝6 N。
(2)当两力垂直时，它们的合力大小
F＝＝10 N
设合力与F1的夹角为θ，则有tan θ＝＝，则θ＝37°。
12．(10分)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为多少？
答案：kL
解析：根据胡克定律可知，两根橡皮条的弹力大小均为F1＝kx＝k(2L－L)＝kL
设此时两根橡皮条的夹角为θ，根据几何关系可得
sin ＝＝
则cos ＝
根据平行四边形定则可知，发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F＝2F1cos ＝kL。
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第四节 力的合成
第三章 相互作用
第2课时 力的合成
1．掌握同一直线上的力的合成。
2．掌握互成角度的力的合成遵循平行四边形定则。
3．会用作图法和直角三角形的知识求共点力的合力。
素养目标
知识点一 合力与分力的关系
情境导入 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55公里，其主体工程由6.7公里的海底沉管隧道、长达22.9公里的桥梁、逾20万平方米的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°。根钢索中的拉力都是3×104 N。
(1)这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？
提示：不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。
自主学习
(2)两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？
提示：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，这两个邻边间的对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
教材梳理 (阅读教材P79—P80完成下列填空)
1．力的合成：求几个力的______的过程叫作力的合成。
2．平行四边形定则：如果以表示两个分力的线段为_____作平行四边形，这两个邻边之间的________就表示合力的大小和方向，如图所示。
合力
邻边
对角线
师生互动 自制一个平行四边形模型(如图)，结合模型讨论以下问题：
任务1.合力的大小和方向怎样随两个分力夹角的改变而改变？
提示：在两个分力的大小不变的情况下，两分力的夹角越小，合力的大小就越大；两分力的夹角越大，合力的大小越小。
课堂探究
任务2.合力是否总是大于两个分力？合力何时达到最大值？何时达到最小值？
提示：在两个分力的夹角为钝角时，合力的大小可能比分力小；当两个分力的夹角为0°时，合力最大；两个分力的夹角为180°时，合力最小。
任务3.当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时，它们的合力如何计算？
提示：当两分力的夹角为0°时，F合＝F1＋F2；当两个分力的夹角为180°时，F合＝|F1－F2|。可见，当两个分力间夹角变化时，合力F合的大小和方向也会随之变化。
根据平行四边形定则知，合力可能大于分力，可能小于分力，可能等于分力，A、B错误。当两分力的方向相同时，合力方向与两个分力的方向相同；当两分力的方向相反时，合力方向与较大力的方向相同；当两分力有一定夹角时，合力在两分力之间，与分力方向不相同，C错误。两个分力的夹角在0°～180°之间时，合力随着夹角增大而减小，D正确。
在力的合成中，下列关于两个分力(大小为定值)与它们的合力的关系的说法正确的是
A．合力一定大于每一个分力
B．合力一定小于分力
C ．合力的方向一定与分力的方向相同
D．两个分力的夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越小
例1
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针对练．作用在同一物体上的力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是
A．F1＝2 N，F2＝9 N B．F1＝4 N，F2＝8 N
C．F1＝2 N，F2＝8 N D．F1＝2 N，F2＝7 N
选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能。
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知识点二 合力的计算
1．作图法
2．计算法
(1)两分力共线时
①若F1、F2两力同向，则合力大小F＝F1＋F2，方向与两力同向。
②若F1、F2两力反向，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向。
(2)两分力不共线时
可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况。
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直
类型 作图 合力的计算
两分力等大，夹角为θ
合力与其中一个分力垂直
岸边两人同时用力拉小船，两力的大小和方向如图所示。请分别用作图法和计算法求出这两个力的合力。
答案：见解析
例2
法一 作图法
选定合适的标度，如用5.0 mm长的线段表示150 N的
力，用O点代表船。依据题意作出力的平行四边形，
如图所示。
用刻度尺量出表示合力F的对角线长为20.0 mm，可
求得合力的大小F＝20.0× N＝600 N
用量角器量出F与F1的夹角为60°。
故这两个力的合力大小为600 N，方向与F1成60°。
法二 计算法
如图所示，平行四边形的对角线AB、OD交于C点，由
于OA＝OB，所以平行四边形OADB是菱形，OD与AB
互相垂直平分，OD是∠AOB的角平分线，∠AOB＝
120°，则∠AOD＝60°，OD＝2OC＝2OA cos 60°
因此，合力的大小F＝2F1cos 60°＝600 N
方向与F1成60°。
针对练1.杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。如图所示，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么这对钢索对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
答案：5.2×104 N 竖直向下
把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可
知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用两种方法计
算这个合力的大小：
法一 作图法
如图甲所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖
直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA
和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
法二 计算法
根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝ ，∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104×
≈5.2×104 N。
由题图可知，两个力夹角为90°时合力为10 N，夹角为180°时合力为
2 N，设较大的力为F1，较小的力为F2，则 ＝10 N，F1－F2＝2 N，联立解得F1＝8 N，F2＝6 N，合力F的取值范围是(8－6) N≤F≤(8＋6) N，即2 N≤F≤14 N，故选BC。
针对练2.(多选)如图所示，是两个共点力的合力F跟两个分力的夹角的关系图像，下面的分析中正确的是
A．F的取值范围是2 N≤F≤10 N
B．F的取值范围是2 N≤F≤14 N
C．两个分力分别是6 N和8 N
D．两个分力分别是2 N和10 N
√
√
返回
知识点三 多力的合成
1．多个力的合成方法：将力两两合成，再将合力与第三个力合成，直到将所有的力合进去，即可求解最后的合力。注意优先合成共线的力、对称的力、垂直的力。
2．三个力合力范围的确定
(1)最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①若一个力在另外两个力的大小之和与大小之差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力不在另外两个力的大小和与大小之差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力的大小减去另外两个力的大小。
求六个共点力的合力时，先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为3F且相邻两合力间的夹角都为120°，再求其中两个力的合力，作出平行四边形为菱形，由几何关系知合力也为3F，且方向与另一个3F的力反向，故F1＝0。若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力与2F的力等大反向，即与5F的力方向相同。故选A。
如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是
A．F1＝0，F2＝2F，F2方向与5F方向相同
B．F1＝0，F2＝2F，F2方向与2F方向相同
C．F1＝2F，F2＝0，F1方向与5F方向相同
D．F1＝2F，F2＝0，F1方向与2F方向相同
例3
√
针对练1.(2024·珠海市期中)如图所示，三个大小相等的力F作用于同一点O，合力最小的是
A项合力大小FA＝( )F；B项合力大小等于F；C项合力大小等于0；D项合力大小FD＝2F cos 30°－F＝( )F，故选C。
√
针对练2.(2024·湛江市期末)物体受共点力F1、F2、F3作用且三个力的合力为零，则这三个力可能选取的数值为
A．15 N、5 N、6 N B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、8 N
三个力的合力为零，则以三个力为边，可以构成一个三角形，而在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。由于5 N＋6 N<15 N，合力不可能为零，A错误；由于3 N＋4 N>6 N>4 N－3 N，合力可能为零，B正确；由于1 N＋2 N<10 N，合力不可能为零，C错误；由于1 N＋6 N<8 N，合力不可能为零，D错误。
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√
随堂演练
合力可能比任何一个分力都大，也可能比任何一个分力都小，或者可以和分力的大小相等，A错误，B、C正确；根据平行四边形定则可知，两个分力大小一定，夹角越大，合力越小，D正确。故选A。
1．关于合力与其分力的关系，下列说法中错误的是
A．合力至少比某一个分力大
B．合力可以比任意分力都小
C．合力可以和两个分力的大小相等
D．两个分力大小一定，夹角越大，合力越小
√
做匀速直线运动的物体所受合力为零。由合力的范围| F1－F2|≤F合≤F1＋F2可知，3 N、5 N的合力范围是2 N～8 N，10 N不在合力范围之内，所以3 N、5 N、10 N三个力的合力不可能是0，故A错误；4 N、6 N的合力范围是2 N～10 N，8 N在合力范围之内，所以4 N、6 N、8 N三个力的合力可能是0，故B正确；4 N、7 N的合力范围是3 N～11 N，12 N不在合力范围之内，所以12 N、7 N、4 N三个力的合力不可能是0，故C错误；1 N、3 N的合力范围是2 N～4 N，5 N不在合力范围之内，所以1 N、3 N、5 N三个力的合力不可能是0，故D错误。故选B。
2．(2024·深圳市高一统考开学考)某物体受到以下哪组共点力后可以做匀速直线运动
A．3 N、5 N、10 N B．4 N、6 N、8 N
C．12 N、7 N、4 N D．1 N、3 N、5 N
√
设F1＝F2＝F0，当它们间的夹角为90°时，如图甲所示，
根据平行四边形定则知，其合力为 F0，即 F0＝20 N，故F0＝ N。当它们间的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则，其合力与F0大小相等，B正确。
3．(课后习题P81T3改编)两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时，合力大小为20 N。那么当它们间的夹角为120°时，合力的大小为
A．40 N B． C． D．
√
4．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为
A．100 N B． C．50 N D．20 N
√
对滑轮B进行受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N。由平行四边形定则可知，由于拉力F1和F2的夹角为120 °，则有合力F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30 °角斜向下。故选A。
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课 时 测 评
1．(多选)对作用在同一物体上大小不等的两个力进行合成，则
A．合力一定大于每个分力
B．合力可能同时垂直于两个分力
C．合力的方向可能与一个分力的方向相反
D．两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，夹角越小，合力越大
√
√
不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，故A错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直于两个边，故B错误；当两分力方向相反时，合力可以与较小的分力方向相反，故C正确；两个大小不变的分力的夹角在0°到180°之间变化时，其合力随两分力夹角的减小而增大，故D正确。
2．(多选)如图所示，一轻绳连接一物块绕过定滑轮，绳的另一端分别在位置1、2、3时，绳的拉力分别为T1、T2、T3，绳对滑轮的压力分别为FN1、FN2、FN3。若物体始终保持静止，不计一切阻力，则
A．T1＝T2＝T3
B．T1C．FN1＝FN2＝FN3
D．FN1√
√
定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，则物体保持静止时，绳子的拉力无论方向怎么变化，大小始终和物体的重力相等，则三个拉力大小的关系为T1＝T2＝T3，A正确、B错误；根据合力与分力的关系可知，分力大小不变时，分力间夹角越小，合力越大，所以压力的关系为FN13．关于两个大小不变的分力与其合力的关系，下列说法正确的是
A．合力大小随两力夹角增大而增大
B．合力的大小一定大于分力中最大者
C．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角增大而减小
D．合力的大小不能小于分力中最小者
如图所示，F1、F2为两个大小不变的分
力，根据平行四边形定则对几种情况求
合力。根据图中三种情况可知A、B、D
错误，故C正确。故选C。
√
4．物体共受到两个力，大小分别为6 N和7 N，则关于这两个力的合力，说法正确的是
A．合力的最小值为0 N B．合力一定为13 N
C．合力不可能为10 N D．合力可能为3 N
6 N和7 N这两个力的合力介于1 N到13 N之间，故选D。
√
5．下列各组共点力中合力不可能为零的是
A．2 N、3 N、4 N B．4 N、5 N、10 N
C．10 N、12 N、21 N D．10 N、10 N、10 N
2 N和3 N的力的合力取值范围是1 N≤F≤5 N，当两力的合力为4 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故A错误；
4 N和5 N的力合成时最大值为9 N，故不可能与10 N的力合成为零，故B正确；10 N和12 N的力的合力取值范围是2 N≤F≤22 N，当两力的合力为21 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故C错误；10 N和10 N的力的合力取值范围是0≤F≤20 N，当两力的合力为10 N，方向与第三个力方向相反时，它们三个力的合力可能为零，故D错误。故选B。
√
6．研究两共点力的合成实验中，求出合力F随夹角θ变化的规律如图所示，则
A．两个分力分别为8 N、10 N
B．两个分力分别为6 N、8 N
C．2 N≤F≤18 N
D．2 N≤F≤16 N
当两个力方向垂直时，两个力合力为F合＝ ＝10 N，当两个方向相反时，合力最小，为两个力大小之差即|F1－F2|＝2 N，所以解得这两个分力为8 N、6 N，选项A错误，B正确；当两个力方向相同时，合力最大，为两个力大小之和，则有2 N≤F≤14 N，故C、D错误；故选B。
√
7．(2024·东莞市期中)两个共点力同向时合力大小为a，反向时合力大小为b，当两个力垂直时，合力大小为
A． B． C． D．
√
8．如图所示，大小分别为F1、F2、F3的三个力围成封闭三角形。下列4个图中，这三个力的合力为零的是
在矢量三角形中，两分力首尾相接时，合力是由一个分力的箭尾指向另一个分力的箭头的，由此得题图中合力大小分别为2F2、2F1、0、2F3，故选C。
√
9．(多选)如图所示，质点M受到三个共点力F1、F2、F3的作用，F1、F2、F3是圆O上的三条弦，且F2通过圆心O，F1与F3末端的连线也通过圆心O。则下列说法正确的是
A．质点M受到的合力为F2
B．F1、F3的合力方向与F2方向相同
C．若将F2反向，质点M合力为
D．若将F2反向，质点M合力为零
由圆的几何特性和力的平行四边形定则可知，F1、F3的合力等于F2，则质点M受到的合力为2F2，故A错误，B正确；若将F2反向，则质点M的合力为零，故C错误，D正确。故选BD。
√
√
10．小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是
A．当θ为120°时，F＝G
B．不管θ为何值，均有F＝
C．当θ＝60°时，F＝
D．θ越大时，F越小
两分力相等，由力的合成可知，θ＝120°时F＝F合＝G，当θ＝60°时，有2F cos ＝G，可求得F＝ ，故A正确，B、C错误；依题意，当两分力F相等，合力一定时，θ越大，则分力F越大，故D错误。
√
11．(10分)有两个大小不变的共点力F1、F2(已知F1>F2)，当它们同方向时，合力为14 N；当它们反向时，合力为2 N，求：
(1)F1、F2的大小；
答案：8 N 6 N
由题意知F1＋F2＝14 N
F1－F2＝2 N
解得F1＝8 N，F2＝6 N。
当两力垂直时，它们的合力大小
F＝ ＝10 N
设合力与F1的夹角为θ，则有tan θ＝ ＝ ，则θ＝37°。
(2)当F1、F2两力相互垂直时，求它们的合力大小及与F1的夹角。
答案：10 N 37°
12．(10分)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为多少？
根据胡克定律可知，两根橡皮条的弹力大小均为F1＝kx＝k(2L－L)＝kL
设此时两根橡皮条的夹角为θ，根据几何关系可得
根据平行四边形定则可知，发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F＝
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