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素养提升课四 整体法和隔离法、动态平衡问题
第三章 相互作用
1．会用整体法和隔离法分析多个物体的受力。
2．能灵活运用整体法和隔离法处理多个物体的平衡问题。
3．会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题。
素养目标
提升点一 应用整体法和隔离法处理
平衡问题
1．问题界定：一个平衡系统中涉及两个或两个以上的物体，即为多物体的平衡问题。
2．处理方法：整体法和隔离法
(1)如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便。
(2)如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，对有关物体单独分析。
把A、B看成一个系统，对其运用整体法，该系统在竖直方向上受到竖直向下的重力(M＋m)g和地面的支持力FN的作用，二力平衡，所以FN＝(M＋m)g，由牛顿第三定律得物体A对地面的压力大小为(M＋m)g。
如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的
柱状物体A，A与竖直墙壁之间放一光滑半圆球B，整个装
置处于平衡状态。已知A、B的质量分别为m和M，半圆球
B与柱状物体A半径均为R，半圆球B的球心到水平地
面的竖直距离为 ，重力加速度为g。求：
审题指导：(1)选取B为研究对象，可求墙壁对B的弹力。
(2)选取A、B组成的整体为研究对象，可求地面对A的支持力和摩擦力。
(1)物体A对地面的压力大小；
答案：(M＋m)g
例1
在水平方向上，A、B组成的系统肯定受到竖直墙壁水
平向右的弹力的作用，那么一定也受到地面水平向左
的摩擦力，并且摩擦力的大小等于弹力的大小；再选
取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所
示。
(2)物体A对地面的摩擦力。
答案：Mg，方向水平向右
由平衡条件可得FN1＝ ，FN2＝Mg tan θ
半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为 ，由几何关系知θ＝45°
所以FN2＝Mg
根据受力分析及牛顿第三定律知，物体A对地面的摩擦力大小等于FN2，所以物体A对地面的摩擦力大小为Mg，方向水平向右。
对小球1和2整体分析有Ta cos 37°＝2mg，Tc＝2mg tan 37°
解得Ta＝2.5mg，Tc＝1.5mg。
针对练1.用三根细线a、b、c将质量均为m的两
个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球
处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为
37°，细线c水平。求：
(1)细线a、c分别对小球1和2的拉力大小；
答案：2.5mg 1.5mg
对小球2进行分析有Tb＝
解得Tb＝
(2)细线b对小球2的拉力大小。
针对练2.如图所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平力Fb＝5 N、Fc＝10 N分别作用于物体b、c上，a、b和c仍保持静止。以f1、f2、f3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小，则
A．f1＝5 N，f2＝0、f3＝5 N
B．f1＝5 N，f2＝5 N、f3＝0
C．f1＝0，f2＝5 N、f3＝5 N
D．f1＝0，f2＝10 N、f3＝5 N
√
以物体a为研究对象，如图甲所示，通过受力分析得到a与b之间没有摩擦力的作用，所以f1＝0；以物体a、b整体为研究对象，如图乙所示
在水平方向上，通过受力分析知b受c向右的静摩擦力f2，f2与Fb平衡，故f2＝Fb＝5 N；以物体a、b、c整体为研究对象，如图丙所示
通过受力分析知c受向左的静摩擦力f3与Fc－Fb平衡，故f3＝Fc－Fb＝5 N，故C正确。故选C。
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提升点二 物体的动态平衡问题
1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。
2．基本方法：解析法、图解法和相似三角形法。
角度1 解析法
1．列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
2．根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。
一足球爱好者踢完足球后把足球挂在墙上。如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为T，墙壁对足球的支持力为FN，细绳与墙壁间的夹角小于45°，忽略足球与墙壁之间的摩擦，则
A．TG
C．轻绳越长，T越大 D．轻绳越长，FN越大
例2
√
对网兜和足球受力分析，设轻绳与竖直墙面夹角为θ<45°，由平衡条件T＝ ＝ ，解得FN＝G tan θ，可知T>G，T>FN，故A错误，B正确；轻绳越长，θ越小，cos θ越大，tan θ越小，则T越小，FN越小，故C、D错误。故选B。
角度2 图解法
1．适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
2．一般步骤：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出，构成一个矢量三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，根据题意改变方向变化的力的方向，由动态图解可知力的大小变化情况。
(多选)用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上，悬点A固定不动，将悬点B从图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是
A．OA绳上的拉力逐渐减小
B．OA绳上的拉力先减小后增大
C．OB绳上的拉力逐渐增大
D．OB绳上的拉力先减小后增大
例3
√
√
对节点O受力分析，受AO、BO绳的拉力FA、FB及竖直绳的拉力，竖直绳的拉力大小等于重物的重力G，将表示这三个力的有向线段依次画出，构成一个矢量三角形，如图所示，将力FB逆时针旋转至竖直的过程中，由图可知FA逐渐减小，FB先减小后增大，故选AD。
角度3 相似三角形法
1．适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直；
2．解题技巧：找到物体受力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化。
如图所示，光滑半球面上的小球(可视为质点)被一绕过光滑定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。
答案：减小 不变
例4
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随堂演练
猴子匀速下滑，滑杆和底座静止，整体合力为零，可以看作整体，对整体受力分析，受到重力和支持力作用，根据二力平衡，有 FN＝Mg＋mg，则底座对地面的压力为FN′＝FN＝Mg＋mg，方向竖直向下，故选D。
1．如图所示，滑杆和底座静止在水平地面上，质量为M，一质量为m的猴子沿杆匀速下滑，则底座对地面的压力为
A．mg
B．Mg
C．(M－m)g
D．(M＋m)g
√
2．(多选)如图，质量为M、倾角为30°的斜面体静置于粗糙水平地面上，其斜面部分光滑。一质量为m的小物块在不可伸长的轻绳作用下静止在斜面体上，此时轻绳的方向与斜面间的夹角也为30°，重力加速度为g，则
A．M受地面摩擦力的方向向左
B．M受地面支持力的值大于(M＋m)g
C．m受到M支持力的值为
D．m受到轻绳拉力的值为
√
√
对整体受力分析，如图甲所示，
M受地面摩擦力的方向向左，竖直方向FN＋T sin 2θ＝(M＋m)g，M受地面支持力的值小于(M＋m)g，A正确，B错误；对小物块受力分析，如图乙所示，垂直斜面方向FN′＋T sin θ＝mg cos θ，沿斜面方向T cos θ＝mg sin θ，m受到轻绳拉力为T＝ ，m受到M支持力的值为FN′＝ ，C错误，D正确。
设蚂蚁所在位置的切线与水平方向夹角为θ，对蚂蚁受力分析，得静摩擦力和支持力分别为f＝mg sin θ，F＝mg cos θ；蚂蚁缓慢上爬的过程中θ变大，可知蚂蚁受到的支持力减小，静摩擦力增大，即f1F2，故选A。
3．如图所示，可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部经a点爬到b点，蚂蚁经过这两点所受摩擦力f1、f2和弹力F1、F2的情况是
A．f1F2 B．f1C．f1>f2，F1>F2 D．f1>f2，F1√
4．(多选)(2024·河北沧州高一统考期中)如图所示，将一个质量为m的光滑小球放在倾角为θ的斜面上，并用装有转轴的竖直挡板挡住，小
球处于静止状态。在挡板绕转轴O逆时针缓慢转过90°的过程中，若斜面对小球的作用力为F1，挡板对小球的作用力为F2，则下列判断正确的是
A．挡板竖直时，F1＝mg sin θ
B．挡板竖直时，F2＝mg tan θ
C．在挡板缓慢转动过程中，F1逐渐减小
D．在挡板缓慢转动过程中，F2先增大后减小
√
√
挡板竖直时，根据平衡条件有F1＝ ，F2＝mg tan θ，故A错误、B正确；在挡板缓慢转动过程中，画出力的矢量三角形如图所示，由图可知F1逐渐减小，F2先减小后增大，故C正确、D错误。故选BC。
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课 时 测 评
1．如图所示，一同学在水平桌面上将三个形状不规则的石块成功叠放在一起，保持平衡，下列说法正确的是
A．石块b对a一定只有支持力
B．石块c对b的支持力一定等于b受到的重力
C．石块c受到水平桌面向左的摩擦力
D．石块c对b的作用力一定竖直向上
石块b对a的支持力与其对a的静摩擦力的合力，跟a受到的重力是平衡力，故A错误；石块c对b的支持力与其对b的静摩擦力的合力大小等于a与b的重力的和，故B错误；以三块石块作为整体研究，则石块c不会受到水平桌面的摩擦力，故C错误；选取a、b作为整体研究，根据平衡条件，则石块c对b的作用力与a、b的重力平衡，则石块c对b的作用力一定竖直向上，故D正确。故选D。
√
2．如图所示，M、N两物体叠放在一起，在恒力F作用下，一起沿竖直墙向上做匀速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是
A．物体M一定受到6个力
B．物体N可能受到4个力
C．物体M与墙之间一定有弹力和摩擦力
D．物体M与N之间一定有摩擦力
M、N两物体一起向上做匀速直线运动，合力为零，对M、N整体进行受力分析，受到重力和F，墙对M没有弹力，否则水平方向合力不为零。物体M受到重力、推力F、N对M的压力和摩擦力4个力，故A错误；对N进行受力分析，N受到重力、M对N的支持力和静摩擦力，共3个力，故B错误，D正确；墙对M没有弹力，也就没有摩擦力，故C错误。故选D。
√
3．如图所示，两个木块A和B，其质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳连接，A静止于水平地面上，不计一切摩擦，则A对绳的拉力大小与地面对A的作用力大小分别为
A．mg (M－m)g
B．mg Mg
C．(M－m)g Mg
D．Mg mg
对木块B受力分析，受重力mg和轻绳的拉力T，物块B处于平衡状态，由平衡条件可得T＝mg；对木块A受力分析，受重力Mg、地面支持力FN和轻绳的拉力T′，由平衡条件可得T′＋FN＝Mg，又T＝T′，联立解得FN＝(M－m)g，A正确，BCD错误。故选A。
√
4．(2024·湖南长沙高一期中)a、b为两个质量不同的木块，叠放于水平桌面上，水平向右的恒力F作用于木块a，两木块以共同速度v沿水平桌面匀速向右移动，如图所示。则在运动过程中
A．b作用于a的静摩擦力为零
B．b作用于a的静摩擦力大小为 ，方向水平向左
C．桌面作用于b的滑动摩擦力大小为 ，方向水平向左
D．b作用于桌面的滑动摩擦力大小为F，方向水平向右
√
两木块以共同速度v沿水平桌面匀速向右移动，根据二力平衡条件知，b作用于a的静摩擦力为F，水平向左，故A、B错误；对整体进行分析，根据二力平衡条件知桌面作用于b的滑动摩擦力大小为F，水平向左，故C错误；b作用于桌面的滑动摩擦力大小为F，方向水平向右，故D正确。故选D。
5．如图所示，质量为m的木块A放在水平面上质量为M的斜面体B上，现用大小相等方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动。则
A．A与B之间一定存在摩擦力
B．B与地面之间一定存在摩擦力
C．B对A的支持力一定等于mg
D．地面对B的支持力大小一定等于(m＋M)g
√
A在斜面体上处于静止状态，对A受力分析如图甲所示
若Fx＝GAx，则f＝0；若Fx≠GAx，则f≠0，A错误。由
图甲知FN＝Fy＋GAy，C错误；对A、B整体受力分析，
如图乙所示
水平推力的合力为0，与地面间无摩擦力，竖直方向
上FN地＝GA＋GB＝(m＋M)g，B错误，D正确。故选D。
6．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示，用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
√
以O点为研究对象，受力分析如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，由共点力的平衡条件知T＝ ，F＝mg tan θ，所以F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确。
7．如图所示，一光滑的半圆面固定于水平地面上，用水平力F将一小球沿着圆弧面从底端逐渐拉到顶端的过程中，水平力F大小的变化为
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
设小球受到的支持力与竖直方向夹角为θ，由题知小球沿着圆弧面从底端逐渐拉到顶端的过程中，夹角θ逐渐减小，由平衡关系F＝mg tan θ知，水平力F逐渐减小。故选B。
√
8．如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮轴上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为
A．5μmg B．4μmg
C．3μmg D．2μmg
√
对物块Q，设轻绳拉力为T，两物块间的滑动摩擦力为f＝μmg，根据二力平衡，可知T＝f＝μmg；对物块P，水平方向受拉力F、Q对P的水平向左的滑动摩擦力f′、地面对P的水平向左的滑动摩擦力f地和水平向左的轻绳拉力T，根据共点力平衡可得F＝T＋f′＋f地，其中f地＝μ×2mg＝2μmg，联立可得F＝4μmg，故选B。
9．如图所示，放在水平地面上的斜面体M上叠放物体m，两者之间用一条伸长状态的轻质弹簧相连。装置整体相对水平地面静止，下列说法正确的是
A．m所受的重力和支持力大小相等
B．m受到的摩擦力一定沿斜面向下
C．地面与M间没有摩擦力
D．地面对M的摩擦力方向向左
√
根据题意可知物体m受重力、支持力、沿斜面向上的弹簧的弹力和可能存在的摩擦力，根据平衡条件可知FN＝mg cos α，故A、B错误；以m、M和弹簧整体为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件得到，地面对M没有摩擦力，故D错误，C正确。
10．(2024·阳江市高一统考期末)可调节角度的散热底座上放着一本笔记本电脑，如图所示，对比底座处于卡位1和卡位4时
A．电脑处于卡位4时受到的支持力小
B．电脑处于卡位4时受到的摩擦力大
C．底座对电脑的作用力始终不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力大小之和等于其重力
√
设底座与水平面的倾角为θ，电脑的质量为m，底
座对电脑的摩擦力大小为f，支持力大小为FN，根
据受力平衡可得FN＝mg cos θ，f＝mg sin θ。由于
卡位4的倾角θ较小，则处于卡位4时电脑受到的摩
擦力小，电脑受到的支持力大，故A、B错误；根据平衡条件可知，底座对电脑的作用力大小等于电脑的重力，方向竖直向上，即底座对电脑的作用力始终不变，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力大小之和为FN＋f＝mg cos θ＋mg sin θ＝mg(cos θ＋sin θ)，不一定等于mg，故D错误。故选C。
11．一档电视节目通过洪水自救模拟实验为大众普及洪水中的生存指南，实验发现：大家平行于洪水流向紧挨着站成一纵列，可以有效抵抗水对身体的冲击力(如图甲所示)。建立如图乙所示的物理模型：某时刻用力F推物块1，五个质量相等的物块恰好未推动，已知物块与地面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
A．物块2、3、4、5受到前一物块的弹力大小相等
B．物块2对物块3的弹力大小为
C．物块2与3、3与4间的弹力之比为2∶3
D．若仅增大物块与地面间的动摩擦因数，则物块间的弹力可能为0
√
对A受力分析得T sin 37°＝f1＝μFN1
T cos 37°＋FN1＝mAg
联立以上两式可得T＝50 N。
12．(16分)如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA＝10 kg，mB＝20 kg，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今用外力将物体B匀速向右拉出的过程中(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)绳子对A物体的拉力大小；
答案：50 N
对A、B整体受力分析得F＝T sin 37°＋f2
FN2＋T cos 37°＝(mA＋mB)g
f2＝μFN2
联立以上三式可得F＝160 N。
(2)所加水平拉力F的大小。
答案：160 N
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【素养目标】 1.会用整体法和隔离法分析多个物体的受力。2.能灵活运用整体法和隔离法处理多个物体的平衡问题。3.会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题。
提升点一 应用整体法和隔离法处理平衡问题
1．问题界定：一个平衡系统中涉及两个或两个以上的物体，即为多物体的平衡问题。
2．处理方法：整体法和隔离法
(1)如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便。
(2)如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，对有关物体单独分析。
如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙壁之间放一光滑半圆球B，整个装置处于平衡状态。已知A、B的质量分别为m和M，半圆球B与柱状物体A半径均为R，半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，重力加速度为g。求：
(1)物体A对地面的压力大小；
(2)物体A对地面的摩擦力。
审题指导：(1)选取B为研究对象，可求墙壁对B的弹力。
(2)选取A、B组成的整体为研究对象，可求地面对A的支持力和摩擦力。
答案：(1)(M＋m)g (2)Mg，方向水平向右
解析：(1)把A、B看成一个系统，对其运用整体法，该系统在竖直方向上受到竖直向下的重力(M＋m)g和地面的支持力FN的作用，二力平衡，所以FN＝(M＋m)g，由牛顿第三定律得物体A对地面的压力大小为(M＋m)g。
(2)在水平方向上，A、B组成的系统肯定受到竖直墙壁水平向右的弹力的作用，那么一定也受到地面水平向左的摩擦力，并且摩擦力的大小等于弹力的大小；再选取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所示。
由平衡条件可得FN1＝，FN2＝Mg tan θ
半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，由几何关系知θ＝45°
所以FN2＝Mg
根据受力分析及牛顿第三定律知，物体A对地面的摩擦力大小等于FN2，所以物体A对地面的摩擦力大小为Mg，方向水平向右。
针对练1.用三根细线a、b、c将质量均为m的两个小球1和2连接，并悬挂如图所示。两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为37°，细线c水平。求：
(1)细线a、c分别对小球1和2的拉力大小；
(2)细线b对小球2的拉力大小。
答案：(1)2.5mg 1.5mg (2)mg
解析：(1)对小球1和2整体分析有Ta cos 37°＝2mg，Tc＝2mg tan 37°
解得Ta＝2.5mg，Tc＝1.5mg。
(2)对小球2进行分析有Tb＝
解得Tb＝mg。
针对练2.如图所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平力Fb＝5 N、Fc＝10 N分别作用于物体b、c上，a、b和c仍保持静止。以f1、f2、f3分别表示a与b、b与c、c与桌面间的静摩擦力的大小，则( )
A．f1＝5 N，f2＝0、f3＝5 N
B．f1＝5 N，f2＝5 N、f3＝0
C．f1＝0，f2＝5 N、f3＝5 N
D．f1＝0，f2＝10 N、f3＝5 N
答案：C
解析：以物体a为研究对象，如图甲所示，通过受力分析得到a与b之间没有摩擦力的作用，所以f1＝0；以物体a、b整体为研究对象，如图乙所示
在水平方向上，通过受力分析知b受c向右的静摩擦力f2，f2与Fb平衡，故f2＝Fb＝5 N；以物体a、b、c整体为研究对象，如图丙所示
通过受力分析知c受向左的静摩擦力f3与Fc－Fb平衡，故f3＝Fc－Fb＝5 N，故C正确。故选C。
提升点二 物体的动态平衡问题
1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。
2．基本方法：解析法、图解法和相似三角形法。
解析法
1．列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
2．根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。
一足球爱好者踢完足球后把足球挂在墙上。如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为T，墙壁对足球的支持力为FN，细绳与墙壁间的夹角小于45°，忽略足球与墙壁之间的摩擦，则( )
A．TG
C．轻绳越长，T越大 D．轻绳越长，FN越大
答案：B
解析：对网兜和足球受力分析，设轻绳与竖直墙面夹角为θ<45°，由平衡条件T＝＝，解得FN＝G tan θ，可知T>G，T>FN，故A错误，B正确；轻绳越长，θ越小，cos θ越大，tan θ越小，则T越小，FN越小，故C、D错误。故选B。
图解法
1．适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
2．一般步骤：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出，构成一个矢量三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，根据题意改变方向变化的力的方向，由动态图解可知力的大小变化情况。
(多选)用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上，悬点A固定不动，将悬点B从图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是( )
A．OA绳上的拉力逐渐减小
B．OA绳上的拉力先减小后增大
C．OB绳上的拉力逐渐增大
D．OB绳上的拉力先减小后增大
答案：AD
解析：对节点O受力分析，受AO、BO绳的拉力FA、FB及竖直绳的拉力，竖直绳的拉力大小等于重物的重力G，将表示这三个力的有向线段依次画出，构成一个矢量三角形，如图所示，将力FB逆时针旋转至竖直的过程中，由图可知FA逐渐减小，FB先减小后增大，故选AD。
相似三角形法
1．适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直；
2．解题技巧：找到物体受力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化。
如图所示，光滑半球面上的小球(可视为质点)被一绕过光滑定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。
答案：减小 不变
解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直。设半球面半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得＝＝，得绳的拉力F＝mg，半球面对小球的支持力FN＝mg，由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变。
1．如图所示，滑杆和底座静止在水平地面上，质量为M，一质量为m的猴子沿杆匀速下滑，则底座对地面的压力为( )
A．mg B．Mg
C．(M－m)g D．(M＋m)g
答案：D
解析：猴子匀速下滑，滑杆和底座静止，整体合力为零，可以看作整体，对整体受力分析，受到重力和支持力作用，根据二力平衡，有 FN＝Mg＋mg，则底座对地面的压力为FN′＝FN＝Mg＋mg，方向竖直向下，故选D。
2．(多选)如图，质量为M、倾角为30°的斜面体静置于粗糙水平地面上，其斜面部分光滑。一质量为m的小物块在不可伸长的轻绳作用下静止在斜面体上，此时轻绳的方向与斜面间的夹角也为30°，重力加速度为g，则( )
A．M受地面摩擦力的方向向左
B．M受地面支持力的值大于(M＋m)g
C．m受到M支持力的值为mg
D．m受到轻绳拉力的值为mg
答案：AD
解析：对整体受力分析，如图甲所示，
M受地面摩擦力的方向向左，竖直方向FN＋T sin 2θ＝(M＋m)g，M受地面支持力的值小于(M＋m)g，A正确，B错误；对小物块受力分析，如图乙所示，垂直斜面方向FN′＋T sin θ＝mg cos θ，沿斜面方向T cos θ＝mg sin θ，m受到轻绳拉力为T＝mg，m受到M支持力的值为FN′＝mg，C错误，D正确。
3．如图所示，可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部经a点爬到b点，蚂蚁经过这两点所受摩擦力f1、f2和弹力F1、F2的情况是( )
A．f1F2 B．f1C．f1>f2，F1>F2 D．f1>f2，F1答案：A
解析：设蚂蚁所在位置的切线与水平方向夹角为θ，对蚂蚁受力分析，得静摩擦力和支持力分别为f＝mg sin θ，F＝mg cos θ；蚂蚁缓慢上爬的过程中θ变大，可知蚂蚁受到的支持力减小，静摩擦力增大，即f1F2，故选A。
4．(多选)(2024·河北沧州高一统考期中)如图所示，将一个质量为m的光滑小球放在倾角为θ的斜面上，并用装有转轴的竖直挡板挡住，小球处于静止状态。在挡板绕转轴O逆时针缓慢转过90°的过程中，若斜面对小球的作用力为F1，挡板对小球的作用力为F2，则下列判断正确的是( )
A．挡板竖直时，F1＝mg sin θ
B．挡板竖直时，F2＝mg tan θ
C．在挡板缓慢转动过程中，F1逐渐减小
D．在挡板缓慢转动过程中，F2先增大后减小
答案：BC
解析：挡板竖直时，根据平衡条件有F1＝，F2＝mg tan θ，故A错误、B正确；在挡板缓慢转动过程中，画出力的矢量三角形如图所示，由图可知F1逐渐减小，F2先减小后增大，故C正确、D错误。故选BC。
课时测评23 整体法和隔离法、动态平衡问题
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1．如图所示，一同学在水平桌面上将三个形状不规则的石块成功叠放在一起，保持平衡，下列说法正确的是( )
A．石块b对a一定只有支持力
B．石块c对b的支持力一定等于b受到的重力
C．石块c受到水平桌面向左的摩擦力
D．石块c对b的作用力一定竖直向上
答案：D
解析：石块b对a的支持力与其对a的静摩擦力的合力，跟a受到的重力是平衡力，故A错误；石块c对b的支持力与其对b的静摩擦力的合力大小等于a与b的重力的和，故B错误；以三块石块作为整体研究，则石块c不会受到水平桌面的摩擦力，故C错误；选取a、b作为整体研究，根据平衡条件，则石块c对b的作用力与a、b的重力平衡，则石块c对b的作用力一定竖直向上，故D正确。故选D。
2．如图所示，M、N两物体叠放在一起，在恒力F作用下，一起沿竖直墙向上做匀速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是( )
A．物体M一定受到6个力
B．物体N可能受到4个力
C．物体M与墙之间一定有弹力和摩擦力
D．物体M与N之间一定有摩擦力
答案：D
解析：M、N两物体一起向上做匀速直线运动，合力为零，对M、N整体进行受力分析，受到重力和F，墙对M没有弹力，否则水平方向合力不为零。物体M受到重力、推力F、N对M的压力和摩擦力4个力，故A错误；对N进行受力分析，N受到重力、M对N的支持力和静摩擦力，共3个力，故B错误，D正确；墙对M没有弹力，也就没有摩擦力，故C错误。故选D。
3．如图所示，两个木块A和B，其质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳连接，A静止于水平地面上，不计一切摩擦，则A对绳的拉力大小与地面对A的作用力大小分别为( )
A．mg (M－m)g B．mg Mg
C．(M－m)g Mg D．Mg mg
答案：A
解析：对木块B受力分析，受重力mg和轻绳的拉力T，物块B处于平衡状态，由平衡条件可得T＝mg；对木块A受力分析，受重力Mg、地面支持力FN和轻绳的拉力T′，由平衡条件可得T′＋FN＝Mg，又T＝T′，联立解得FN＝(M－m)g，A正确，BCD错误。故选A。
4．(2024·湖南长沙高一期中)a、b为两个质量不同的木块，叠放于水平桌面上，水平向右的恒力F作用于木块a，两木块以共同速度v沿水平桌面匀速向右移动，如图所示。则在运动过程中( )
A．b作用于a的静摩擦力为零
B．b作用于a的静摩擦力大小为，方向水平向左
C．桌面作用于b的滑动摩擦力大小为，方向水平向左
D．b作用于桌面的滑动摩擦力大小为F，方向水平向右
答案：D
解析：两木块以共同速度v沿水平桌面匀速向右移动，根据二力平衡条件知，b作用于a的静摩擦力为F，水平向左，故A、B错误；对整体进行分析，根据二力平衡条件知桌面作用于b的滑动摩擦力大小为F，水平向左，故C错误；b作用于桌面的滑动摩擦力大小为F，方向水平向右，故D正确。故选D。
5．如图所示，质量为m的木块A放在水平面上质量为M的斜面体B上，现用大小相等方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动。则( )
A．A与B之间一定存在摩擦力
B．B与地面之间一定存在摩擦力
C．B对A的支持力一定等于mg
D．地面对B的支持力大小一定等于(m＋M)g
答案：D
解析：A在斜面体上处于静止状态，对A受力分析如图甲所示
若Fx＝GAx，则f＝0；若Fx≠GAx，则f≠0，A错误。由图甲知FN＝Fy＋GAy，C错误；对A、B整体受力分析，如图乙所示
水平推力的合力为0，与地面间无摩擦力，竖直方向上FN地＝GA＋GB＝(m＋M)g，B错误，D正确。故选D。
6．质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示，用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案：A
解析：以O点为研究对象，受力分析如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，由共点力的平衡条件知T＝，F＝mg tan θ，所以F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确。
7．如图所示，一光滑的半圆面固定于水平地面上，用水平力F将一小球沿着圆弧面从底端逐渐拉到顶端的过程中，水平力F大小的变化为( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案：B
解析：设小球受到的支持力与竖直方向夹角为θ，由题知小球沿着圆弧面从底端逐渐拉到顶端的过程中，夹角θ逐渐减小，由平衡关系F＝mg tan θ知，水平力F逐渐减小。故选B。
8．如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮轴上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为( )
A．5μmg B．4μmg C．3μmg D．2μmg
答案：B
解析：对物块Q，设轻绳拉力为T，两物块间的滑动摩擦力为f＝μmg，根据二力平衡，可知T＝f＝μmg；对物块P，水平方向受拉力F、Q对P的水平向左的滑动摩擦力f′、地面对P的水平向左的滑动摩擦力f地和水平向左的轻绳拉力T，根据共点力平衡可得F＝T＋f′＋f地，其中f地＝μ×2mg＝2μmg，联立可得F＝4μmg，故选B。
9．如图所示，放在水平地面上的斜面体M上叠放物体m，两者之间用一条伸长状态的轻质弹簧相连。装置整体相对水平地面静止，下列说法正确的是( )
A．m所受的重力和支持力大小相等
B．m受到的摩擦力一定沿斜面向下
C．地面与M间没有摩擦力
D．地面对M的摩擦力方向向左
答案：C
解析：根据题意可知物体m受重力、支持力、沿斜面向上的弹簧的弹力和可能存在的摩擦力，根据平衡条件可知FN＝mg cos α，故A、B错误；以m、M和弹簧整体为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件得到，地面对M没有摩擦力，故D错误，C正确。
10．(2024·阳江市高一统考期末)可调节角度的散热底座上放着一本笔记本电脑，如图所示，对比底座处于卡位1和卡位4时( )
A．电脑处于卡位4时受到的支持力小
B．电脑处于卡位4时受到的摩擦力大
C．底座对电脑的作用力始终不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力大小之和等于其重力
答案：C
解析：设底座与水平面的倾角为θ，电脑的质量为m，底座对电脑的摩擦力大小为f，支持力大小为FN，根据受力平衡可得FN＝mg cos θ，f＝mg sin θ。由于卡位4的倾角θ较小，则处于卡位4时电脑受到的摩擦力小，电脑受到的支持力大，故A、B错误；根据平衡条件可知，底座对电脑的作用力大小等于电脑的重力，方向竖直向上，即底座对电脑的作用力始终不变，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力大小之和为FN＋f＝mg cos θ＋mg sin θ＝mg(cos θ＋sin θ)，不一定等于mg，故D错误。故选C。
11．一档电视节目通过洪水自救模拟实验为大众普及洪水中的生存指南，实验发现：大家平行于洪水流向紧挨着站成一纵列，可以有效抵抗水对身体的冲击力(如图甲所示)。建立如图乙所示的物理模型：某时刻用力F推物块1，五个质量相等的物块恰好未推动，已知物块与地面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．物块2、3、4、5受到前一物块的弹力大小相等
B．物块2对物块3的弹力大小为F
C．物块2与3、3与4间的弹力之比为2∶3
D．若仅增大物块与地面间的动摩擦因数，则物块间的弹力可能为0
答案：D
解析：设每个物块质量都是m，对五个物块整体进行分析，由于恰好未推动，可知所受摩擦力为最大静摩擦力，根据受力平衡可得F＝5μmg，对物块2、3、4、5构成的整体进行分析可得F12＝4μmg＝，同理可得F23＝3μmg＝，F34＝2μmg＝，F45＝μmg＝，故A、B、C错误；若仅增大物块与地面间的动摩擦因数，则用力F推物块1时，可能推不动物块1，此时物块间没有弹力，故D正确。
12．(16分)如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA＝10 kg，mB＝20 kg，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今用外力将物体B匀速向右拉出的过程中(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)绳子对A物体的拉力大小；
(2)所加水平拉力F的大小。
答案：(1)50 N (2)160 N
解析：(1)对A受力分析得T sin 37°＝f1＝μFN1
T cos 37°＋FN1＝mAg
联立以上两式可得T＝50 N。
(2)对A、B整体受力分析得F＝T sin 37°＋f2
FN2＋T cos 37°＝(mA＋mB)g
f2＝μFN2
联立以上三式可得F＝160 N。
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