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素养提升课五 动力学中的连接体问题和临界问题
第四章 牛顿运动定律
1．学会用整体法和隔离法分析连接体问题。
2．掌握常见连接体问题的特点和解题方法。
3．掌握动力学中临界问题的分析方法。
4．会分析几种典型临界问题的临界条件。
素养目标
提升点一 动力学中的连接体问题
1．连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫作连接体。如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
2．整体法与隔离法的选择
(1)整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
(2)涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
(3)若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(4)若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
如图所示，两物块P、Q置于水平地面上，其质量分别为m、2m，两者之间用水平轻绳连接。两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，现对Q施加一水平向右的拉力F，使两物块做匀加速直线运动，则轻绳的张力大小为
例1
√
将两物块看作一个整体，竖直方向上两物块受重力和支持力，这两个力平衡，有FN＝3mg，水平方向受拉力F和摩擦力f，f＝μFN＝3μmg，由
牛顿第二定律得F－f＝3ma，则a＝ ；对于物块P，根据牛顿第二定律得T－μmg＝ma，整理得轻绳张力T＝ ，选项D正确，A、B、C错误。
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力T的大小遵守以下力的“分配协议”：
(1)若外力F作用于m1上，则F12＝T＝ ；
(2)若外力F作用于m2上，则F12＝T＝ 。
注意：①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)；
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关；
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时，此“协议”都成立。
针对练．如图所示，质量分别为M和m的物块由相同的材料制成，且M ＞m，将它们用一根跨过光滑的定滑轮的轻细线连接。如果按图甲放置在水平桌面上，两物块刚好做匀速运动。如果互换两物块位置按图乙放置在同一水平桌面上，它们的共同加速度大小为
D．上述均不对
√
按题图甲连接时，两物块做匀速运动，故T＝mg，T＝μMg，联立解得μ＝ ；按题图乙连接时，对质量为M的物体，有Mg－T′＝Ma，对质量为m的物体，有T′－μmg＝ma，联立解得a＝ g，故C正确。
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提升点二 动力学中的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
角度1 分离临界问题
如图所示，质量m＝2 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝4 kg、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2。若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F(图中未画出)不能超过多少？
答案：80 N
例2
小球不离开斜面体，两者加速度相同，临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0。对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得 ＝ma
解得a＝ m/s2
对整体由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝80 N。
变式拓展．在[例2]中，若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面向上滑动，推力F′不能超过多少？
答案：45 N
小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线
对小球的拉力恰好为0。对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得mg tan 37°＝ma′
解得a′＝7.5 m/s2
对整体由牛顿第二定律得F′＝(M＋m)a′＝45 N。
角度2 滑动临界问题
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg。现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动。求拉力F的最大值。
答案：3μmg
例3
A、B恰好不相对滑动时，由牛顿第二定律，对A有μmg＝ma
对A、B系统有F＝(m＋2m)a
解得F＝3μmg。
变式拓展．在[例3]中，在拉力F作用在A上的基础上，再改为：B与水平面间的动摩擦因数为 μ(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，使A、B以同一加速度运动。求拉力F的最大值。
答案： μmg
A、B恰好不相对滑动时，由牛顿第二定律，对B有μmg－ μ(m＋2m)g＝2ma′
对A、B系统有F－ μ(m＋2m)g＝(m＋2m)a′
解得F＝ μmg。
针对练1．如图所示，在水平面上运动的小车内，用轻绳AB、BC拴住一个重力为G的小球，轻绳AB、BC与水平方向夹角分别为30°和45°，绳AB的拉力为T1，绳BC的拉力为T2，重力加速度为g，下列叙述正确的是
A．小车向右以加速度g匀加速运动时T1＝G
B．小车向右以加速度g匀加速运动时T2＝ G
C．小车向右以加速度g匀减速运动时T2＝0
D．小车向右以加速度 g匀减速运动时T1＝ G
√
小车向右做匀加速运动，当AB绳拉力恰好为0时，mg tan 45°＝ma1，解得a1＝g，T2＝ G，A错误，B正确；小车向右做匀减速运动，当BC绳拉力恰好为0时，对小球有mg tan 60°＝ma2，解得a＝ g，T1＝ ＝2G，CD错误。故选B。
针对练2．(2024·广州市高一期末)如图所示，已知长方体物块A、B 的质量分别为3m、m，A、B 间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑。在水平力F 的推动下，要使A、B一起运动而B 不下滑，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则力F 至少为
A．μmg B．3μmg
√
由于物块A、B一起向右运动，具有相同的加速度，以B为研究对象，竖直方向根据平衡条件有mg＝f＝μFN，水平方向根据牛顿第二定律得FN
＝ma，联立得a＝ ；再以A、B整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律得F＝4ma，解得F＝ ，故选D。
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随堂演练
1．(2024·深圳市高一校考期末)如图所示，水平面上放置两物块A、B，A的质量为m，B的质量为2m，A、B和水平面间的动摩擦系数均为μ，中间用劲度系数不变的轻弹簧连接，现用水平向右的力F推A，使A、B一起加速运动，则稳定时弹簧的弹力为
A．F B． F
C．F－μmg D．2μmg
√
稳定时对B有F弹－2μmg＝2ma，对整体有F－3μmg＝3ma，解得F弹＝
F，故选B。
2．(多选)(2024·汕头市高一期末)如图所示，光滑水平面上，水平恒力F拉小车和木块一起做匀加速直线运动，它们的加速度都等于a。已知小车质量为M，木块质量为m，木块与小车间的动摩擦因数为μ。则在运动过程中
A．木块受到的摩擦力向左
B．木块受到的摩擦力大小为μmg
C．木块受到的合力大小为ma
D．恒力F大小为Ma
√
√
把小车和木块看成一个整体，根据牛顿第二定律得F＝(M＋m)a，则a
＝ ；木块所受合外力等于其水平方向所受的静摩擦力，根据牛顿第二定律得f＝ma＝ ，方向向左，故选AC。
3．如图所示，一辆货车载着一些相同的圆柱形光滑空油桶，底部一层油桶平整排列且相互紧贴，上一层只有一只桶C自由摆放在A、B桶之间。当向左行驶的货车紧急刹车时，桶C有可能脱离桶B而撞向驾驶室造成危险。取重力加速度大小g＝10 m/s2，为了安全，货车刹车时加速度最大不能超过
A．5.0 m/s2
B．5.8 m/s2
C．8.7 m/s2
D．17.3 m/s2
√
对桶C进行受力分析，当C刚脱离B时，只受到重力和A对C的支持力，由于C的加速度方向向后，故C的合外力方向水平向后，根据几何关系
及牛顿第二定律有F合＝mg tan 30°＝ma，解得a＝ g≈5.8 m/s2。选项B正确。
4．如图所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与壁间的动摩擦因数为μ，要使物体不下滑，车厢前进的加速度至少应为(重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
A．μg B．
C． D．g
√
设物体的质量为m，物体刚好不下滑时，在竖直方向上有mg＝f，f为最大静摩擦力，f＝μFN，FN为物体所受的水平弹力，根据牛顿第二定律
得FN＝ma，联立解得a＝ ，故B正确。
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课 时 测 评
1．如图所示，光滑的水平面上两个质量分别为m1＝2 kg、m2＝3 kg的物体，中间用轻质弹簧测力计连接，在两个大小分别为F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力作用下一起做匀加速运动，则弹簧测力计的示数是
A．10 N B．20 N
C．26 N D．52 N
√
以两物体组成的整体为研究对象，由牛顿第二定律得F1－F2＝(m1＋m2)a，解得a＝2 m/s2；对物体m1，由牛顿第二定律得F1－F弹＝m1a，解得F弹＝26 N，则弹簧测力计示数为26 N。故选C。
2．如图所示，物体A重20 N，物体B重5 N，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为(重力加速度g＝10 m/s2)
A．6 m/s2，8 N B．10 m/s2，8 N
C．8 m/s2，6 N D．6 m/s2，9 N
√
由静止释放后，物体A将加速下降，物体B将加速上升，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，对A有mAg－T＝mAa，对B有T－mBg＝mBa，代入数据解得a＝6 m/s2，T＝8 N，A正确。
3．如图所示的三个装置，(a)中桌面光滑，(b)、(c)中桌面粗糙程度相同，(c)用大小为F＝Mg的力替代重物M进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是
A．装置(a)中绳上张力Ta＝0
B．装置(a)中物块m的加速度为g
C．装置(b)、(c)中物块m的加速度相同
D．装置(a)中绳上的张力Ta小于装置(b)中绳上的张力Tb
√
对于装置(a)，根据牛顿第二定律分别对M、m分析可得Mg－Ta＝Maa，
Ta＝maa，解得物块m的加速度大小为aa＝ ，绳上张力Ta＝ ，故A、B错误；对于装置(b)，根据牛顿第二定律分别对M、m分析可得Mg－Tb＝Mab，Tb－f＝mab，解得物块m的加速度大小为ab＝ ，绳上张力Tb＝ ＞Ta，故D正确；对于装置(c)，根据牛顿第二定律对m分析可得Mg－f＝mac，解得物块m的加速度大小为ac＝ ，故C错误。
4．(2024·山西高一统考期末)3个完全相同的小推车按图示方式摆放在超市的水平地板上。一顾客用水平恒力推动1号小推车时，3个小推车在水平地板上一起做匀加速直线运动。假设每个小推车与地板间的摩擦力均相等。则1号小推车对2号与2号小推车对3号的作用力之比为
A．3∶1
B．2∶1
C．1∶1
D．1∶2
√
设外力大小为F，每个小推车所受摩擦力为f，每个小推车的质量为m，根据牛顿第二定律对3个小推车整体有F－3f＝3ma；设1号小推车对2号的作用力为F2，根据牛顿第二定律对2、3号小推车整体有F2－2f＝2ma；设2号小推车对3号的作用力为F3，根据牛顿第二定律对3号小推车有F3－f＝ma，联立可得F2∶F3＝2∶1，故选B。
5．(2024·北京东城高一期末)如图所示，某幼儿园要做一个儿童滑梯，设计时根据场地大小确定滑梯的水平跨度为L，滑梯和儿童之间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使儿童在滑梯中能沿滑梯无初速滑下，则滑梯高度至少为
√
儿童恰好能匀速下滑时，有mg sin θ＝μmg cos θ，故μ＝tan θ，由几何关系可得tan θ＝ ，解得H＝μL，故选A。
6．如图所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质量分别是m1和m2，A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B从A下面拉出来，则拉力的大小F必须满足
A．F＞μ(m1＋m2)g B．F＞μ(m1－m2)g
C．F＞μm1g D．F＞μm2g
√
以木块A为研究对象，则刚要发生相对滑动时，有μm1g＝m1a；以A、B整体为研究对象，则刚要发生相对滑动时，有F0＝(m1＋m2)a，解得F0＝μ(m1＋m2)g，则拉力F必须满足F＞μ(m1＋m2)g，故选A。
7．如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球。现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角。重力加速度为g，则下列说法正确的是
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．F＝(M＋m)g tan α
C．系统的加速度为a＝g sin α
D．F＝mg tan α
√
对小铁球受力分析，结合牛顿第二定律得F合＝mg tan α＝ma，合外力方向水平向右，故小铁球的加速度为g tan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为g tan α，A、C错误；对系统受力分析，结合牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝(M＋m)g tan α，故B正确，D错误。
8．如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，在光滑的水平面上运动，若汽车A的牵引力为F，两车以相同的加速度a1向右做匀加速直线运动，此时两车之间的相互作用力为F1；若将此装置放在倾角为θ的斜面上，设两车与斜面之间的动摩擦因数均为μ，汽车A的牵引力F大小不变，两车以相同的加速度a2沿斜面向上做匀加速直线运动，此时它们之间的相互作用力为F2，关于F1、F2和a1、a2的大小关系，下列说法正确的是
A．F1＞F2，a1＞a2
B．F1＝F2，a1＞a2
C．F1＞F2，a1＜a2
D．F1＝F2，a1＝a2
√
在水平面上的情况，对整体有F＝(mA＋mB)a1，对B有F1＝mBa1；在斜面上的情况，对整体有F－(mA＋mB)g sin θ－μ(mA＋mB)g cos θ＝(mA＋mB)a2，对B有F2－mBg sin θ－μmBg cos θ＝mBa2，联立解得a1＞a2，F1
＝F2＝ ，故选B。
9．(2024·深圳市高一校考期末)某列车由30节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为
√
把后28节车厢看成整体，由牛顿第二定律有F－28f＝28ma，设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F′，对最后两节车厢，由牛顿第二
定律有F′－2f＝2ma，解得F′＝ F，故选A。
10．(多选)(2024·广州市高一期末)两块叠放的长方体滑块A和B，置于固定的倾角为θ的斜面上，如图所示。滑块A和B的质量分别为M和m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2。当两滑块都同时从静止释放以相同的加速度从斜面滑下的过程中，滑块B受到的摩擦力
A．方向沿斜面向上
B．方向沿斜面向下
C．大小等于μ1mg cos θ
D．大小等于μ2mg cos θ
√
√
对滑块A和B整体分析有(M＋m)g sin θ－μ1(M＋m)g cos θ＝(M＋m)a，解得a＝g sin θ－μ1g cos θ＜g sin θ，可知，A对B的静摩擦力方向沿斜面向上，A正确，B错误；对滑块B分析有mg sin θ－f＝ma，解得f＝μ1mg cos θ，C正确，D错误。故选AC。
11．(10分)(2024·广州市高一期末)如图所示，将两个物块A、B放在水平地面上，已知A的质量为2m，B的质量为m，A与地面间的动摩擦因数为μ，B与地面间的摩擦不计。现用大小为F，水平向右的推力推A，使两个物块A、B一起向右做匀加速直线运动，重力加速度大小为g。
(1)求物块A、B运动的加速度大小a；
答案：
对物块A、B整体，根据牛顿第二定律有F－μ·2mg＝3ma
解得a＝ 。
(2)求物块A对B的作用力大小F1。
答案：
对物块B，根据牛顿第二定律有F1＝ma
解得F1＝ 。
12．(10分)如图所示，小车沿水平方向做匀变速直线运动，车厢中悬挂小球A的悬线偏离竖直方向60°角，球和车厢相对静止。已知球的质量为1 kg。另外有质量均为1 kg的物块B和C分别位于车厢侧壁与底板上，都与车厢保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(g取10 m/s2)求：
(1)悬线上拉力的大小；
答案：20 N
对小球受力分析得T cos 60°＝mg
解得T＝20 N。
(2)车厢侧壁与物体B之间的动摩擦因数μ应满足的条件；
答案：μ≥
对小球分析有mg tan 60°＝ma
解得a＝ g
对B分析，有FN＝mBa
对B竖直方向受力平衡，有f＝mBg≤μFN
解得μ≥ 。
(3)车厢底板对物体C的作用力的大小。
答案：20 N
对C分析，竖直方向有FN′＝mCg
水平方向有f′＝mCa
车厢底板对C的作用力大小为F＝
解得F＝20 N。
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【素养目标】 1.学会用整体法和隔离法分析连接体问题。2.掌握常见连接体问题的特点和解题方法。3.掌握动力学中临界问题的分析方法。4.会分析几种典型临界问题的临界条件。
提升点一 动力学中的连接体问题
1．连接体
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫作连接体。如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法。
2．整体法与隔离法的选择
(1)整体法的研究对象少、受力少、方程少，所以连接体问题优先采用整体法。
(2)涉及物体间相互作用的内力时，必须采用隔离法。
(3)若连接体内各物体具有相同的加速度且需要求解物体间的相互作用力，就可以先用整体法求出加速度，再用隔离法分析其中一个物体的受力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(4)若已知某个物体的受力情况，可先隔离该物体求出加速度，再以整体为研究对象求解外力。
如图所示，两物块P、Q置于水平地面上，其质量分别为m、2m，两者之间用水平轻绳连接。两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，现对Q施加一水平向右的拉力F，使两物块做匀加速直线运动，则轻绳的张力大小为( )
A．F－2μmg B．F＋μmg
C．F－μmg D．F
答案：D
解析：将两物块看作一个整体，竖直方向上两物块受重力和支持力，这两个力平衡，有FN＝3mg，水平方向受拉力F和摩擦力f，f＝μFN＝3μmg，由牛顿第二定律得F－f＝3ma，则a＝；对于物块P，根据牛顿第二定律得T－μmg＝ma，整理得轻绳张力T＝，选项D正确，A、B、C错误。
“串接式”连接体中弹力的“分配协议”
如图所示，对于一起做加速运动的物体系统，m1和m2间的弹力F12或中间绳的拉力T的大小遵守以下力的“分配协议”：
(1)若外力F作用于m1上，则F12＝T＝；
(2)若外力F作用于m2上，则F12＝T＝。
注意：①此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)；
②此“协议”与两物体间有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关；
③物体系统处于水平面、斜面或竖直方向上一起加速运动时，此“协议”都成立。
针对练．如图所示，质量分别为M和m的物块由相同的材料制成，且M >m，将它们用一根跨过光滑的定滑轮的轻细线连接。如果按图甲放置在水平桌面上，两物块刚好做匀速运动。如果互换两物块位置按图乙放置在同一水平桌面上，它们的共同加速度大小为( )
A．g B．g
C．g D．上述均不对
答案：C
解析：按题图甲连接时，两物块做匀速运动，故T＝mg，T＝μMg，联立解得μ＝；按题图乙连接时，对质量为M的物体，有Mg－T′＝Ma，对质量为m的物体，有T′－μmg＝ma，联立解得a＝g，故C正确。
提升点二 动力学中的临界问题
1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力FN＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
分离临界问题
如图所示，质量m＝2 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝4 kg、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2。若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F(图中未画出)不能超过多少？
答案：80 N
解析：小球不离开斜面体，两者加速度相同，临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0。对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得＝ma
解得a＝ m/s2
对整体由牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝80 N。
变式拓展．在[例2]中，若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面向上滑动，推力F′不能超过多少？
答案：45 N
解析：小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0。对小球受力分析如图所示
由牛顿第二定律得mg tan 37°＝ma′
解得a′＝7.5 m/s2
对整体由牛顿第二定律得F′＝(M＋m)a′＝45 N。
滑动临界问题
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg。现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动。求拉力F的最大值。
答案：3μmg
解析：A、B恰好不相对滑动时，由牛顿第二定律，对A有μmg＝ma
对A、B系统有F＝(m＋2m)a
解得F＝3μmg。
变式拓展．在[例3]中，在拉力F作用在A上的基础上，再改为：B与水平面间的动摩擦因数为μ(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，使A、B以同一加速度运动。求拉力F的最大值。
答案：μmg
解析：A、B恰好不相对滑动时，由牛顿第二定律，对B有μmg－μ(m＋2m)g＝2ma′
对A、B系统有F－μ(m＋2m)g＝(m＋2m)a′
解得F＝μmg。
针对练1.如图所示，在水平面上运动的小车内，用轻绳AB、BC拴住一个重力为G的小球，轻绳AB、BC与水平方向夹角分别为30°和45°，绳AB的拉力为T1，绳BC的拉力为T2，重力加速度为g，下列叙述正确的是( )
A．小车向右以加速度g匀加速运动时T1＝G
B．小车向右以加速度g匀加速运动时T2＝G
C．小车向右以加速度g匀减速运动时T2＝0
D．小车向右以加速度g匀减速运动时T1＝G
答案：B
解析：小车向右做匀加速运动，当AB绳拉力恰好为0时，mg tan 45°＝ma1，解得a1＝g，T2＝＝G，A错误，B正确；小车向右做匀减速运动，当BC绳拉力恰好为0时，对小球有mg tan 60°＝ma2，解得a＝g，T1＝＝2G，CD错误。故选B。
针对练2.(2024·广州市高一期末)如图所示，已知长方体物块A、B 的质量分别为3m、m，A、B 间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑。在水平力F 的推动下，要使A、B一起运动而B 不下滑，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则力F 至少为( )
A．μmg B．3μmg C． D．
答案：D
解析：由于物块A、B一起向右运动，具有相同的加速度，以B为研究对象，竖直方向根据平衡条件有mg＝f＝μFN，水平方向根据牛顿第二定律得FN＝ma，联立得a＝；再以A、B整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律得F＝4ma，解得F＝，故选D。
1．(2024·深圳市高一校考期末)如图所示，水平面上放置两物块A、B，A的质量为m，B的质量为2m，A、B和水平面间的动摩擦系数均为μ，中间用劲度系数不变的轻弹簧连接，现用水平向右的力F推A，使A、B一起加速运动，则稳定时弹簧的弹力为( )
A．F B．F C．F－μmg D．2μmg
答案：B
解析：稳定时对B有F弹－2μmg＝2ma，对整体有F－3μmg＝3ma，解得F弹＝F，故选B。
2．(多选)(2024·汕头市高一期末)如图所示，光滑水平面上，水平恒力F拉小车和木块一起做匀加速直线运动，它们的加速度都等于a。已知小车质量为M，木块质量为m，木块与小车间的动摩擦因数为μ。则在运动过程中( )
A．木块受到的摩擦力向左
B．木块受到的摩擦力大小为μmg
C．木块受到的合力大小为ma
D．恒力F大小为Ma
答案：AC
解析：把小车和木块看成一个整体，根据牛顿第二定律得F＝(M＋m)a，则a＝；木块所受合外力等于其水平方向所受的静摩擦力，根据牛顿第二定律得f＝ma＝，方向向左，故选AC。
3．如图所示，一辆货车载着一些相同的圆柱形光滑空油桶，底部一层油桶平整排列且相互紧贴，上一层只有一只桶C自由摆放在A、B桶之间。当向左行驶的货车紧急刹车时，桶C有可能脱离桶B而撞向驾驶室造成危险。取重力加速度大小g＝10 m/s2，为了安全，货车刹车时加速度最大不能超过( )
A．5.0 m/s2 B．5.8 m/s2
C．8.7 m/s2 D．17.3 m/s2
答案：B
解析：对桶C进行受力分析，当C刚脱离B时，只受到重力和A对C的支持力，由于C的加速度方向向后，故C的合外力方向水平向后，根据几何关系及牛顿第二定律有F合＝mg tan 30°＝ma，解得a＝g≈5.8 m/s2。选项B正确。
4．如图所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与壁间的动摩擦因数为μ，要使物体不下滑，车厢前进的加速度至少应为(重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A．μg B． C． D．g
答案：B
解析：设物体的质量为m，物体刚好不下滑时，在竖直方向上有mg＝f，f为最大静摩擦力，f＝μFN，FN为物体所受的水平弹力，根据牛顿第二定律得FN＝ma，联立解得a＝，故B正确。
课时测评31 动力学中的连接体问题和临界问题
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－10题，每题4分，共40分)
1．如图所示，光滑的水平面上两个质量分别为m1＝2 kg、m2＝3 kg的物体，中间用轻质弹簧测力计连接，在两个大小分别为F1＝30 N、F2＝20 N的水平拉力作用下一起做匀加速运动，则弹簧测力计的示数是( )
A．10 N B．20 N C．26 N D．52 N
答案：C
解析：以两物体组成的整体为研究对象，由牛顿第二定律得F1－F2＝(m1＋m2)a，解得a＝2 m/s2；对物体m1，由牛顿第二定律得F1－F弹＝m1a，解得F弹＝26 N，则弹簧测力计示数为26 N。故选C。
2．如图所示，物体A重20 N，物体B重5 N，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为(重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．6 m/s2，8 N B．10 m/s2，8 N
C．8 m/s2，6 N D．6 m/s2，9 N
答案：A
解析：由静止释放后，物体A将加速下降，物体B将加速上升，二者加速度大小相等，由牛顿第二定律，对A有mAg－T＝mAa，对B有T－mBg＝mBa，代入数据解得a＝6 m/s2，T＝8 N，A正确。
3．如图所示的三个装置，(a)中桌面光滑，(b)、(c)中桌面粗糙程度相同，(c)用大小为F＝Mg的力替代重物M进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是( )
A．装置(a)中绳上张力Ta＝0
B．装置(a)中物块m的加速度为g
C．装置(b)、(c)中物块m的加速度相同
D．装置(a)中绳上的张力Ta小于装置(b)中绳上的张力Tb
答案：D
解析：对于装置(a)，根据牛顿第二定律分别对M、m分析可得Mg－Ta＝Maa，Ta＝maa，解得物块m的加速度大小为aa＝，绳上张力Ta＝，故A、B错误；对于装置(b)，根据牛顿第二定律分别对M、m分析可得Mg－Tb＝Mab，Tb－f＝mab，解得物块m的加速度大小为ab＝，绳上张力Tb＝>Ta，故D正确；对于装置(c)，根据牛顿第二定律对m分析可得Mg－f＝mac，解得物块m的加速度大小为ac＝，故C错误。
4．(2024·山西高一统考期末)3个完全相同的小推车按图示方式摆放在超市的水平地板上。一顾客用水平恒力推动1号小推车时，3个小推车在水平地板上一起做匀加速直线运动。假设每个小推车与地板间的摩擦力均相等。则1号小推车对2号与2号小推车对3号的作用力之比为( )
A．3∶1 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶2
答案：B
解析：设外力大小为F，每个小推车所受摩擦力为f，每个小推车的质量为m，根据牛顿第二定律对3个小推车整体有F－3f＝3ma；设1号小推车对2号的作用力为F2，根据牛顿第二定律对2、3号小推车整体有F2－2f＝2ma；设2号小推车对3号的作用力为F3，根据牛顿第二定律对3号小推车有F3－f＝ma，联立可得F2∶F3＝2∶1，故选B。
5．(2024·北京东城高一期末)如图所示，某幼儿园要做一个儿童滑梯，设计时根据场地大小确定滑梯的水平跨度为L，滑梯和儿童之间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使儿童在滑梯中能沿滑梯无初速滑下，则滑梯高度至少为( )
A．μL B．
C． D． L
答案：A
解析：儿童恰好能匀速下滑时，有mg sin θ＝μmg cos θ，故μ＝tan θ，由几何关系可得tan θ＝，解得H＝μL，故选A。
6．如图所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质量分别是m1和m2，A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B从A下面拉出来，则拉力的大小F必须满足( )
A．F>μ(m1＋m2)g B．F>μ(m1－m2)g
C．F>μm1g D．F>μm2g
答案：A
解析：以木块A为研究对象，则刚要发生相对滑动时，有μm1g＝m1a；以A、B整体为研究对象，则刚要发生相对滑动时，有F0＝(m1＋m2)a，解得F0＝μ(m1＋m2)g，则拉力F必须满足F>μ(m1＋m2)g，故选A。
7．如图所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球。现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角。重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．F＝(M＋m)g tan α
C．系统的加速度为a＝g sin α
D．F＝mg tan α
答案：B
解析：对小铁球受力分析，结合牛顿第二定律得F合＝mg tan α＝ma，合外力方向水平向右，故小铁球的加速度为g tan α，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为g tan α，A、C错误；对系统受力分析，结合牛顿第二定律得F＝(M＋m)a＝(M＋m)g tan α，故B正确，D错误。
8．如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，在光滑的水平面上运动，若汽车A的牵引力为F，两车以相同的加速度a1向右做匀加速直线运动，此时两车之间的相互作用力为F1；若将此装置放在倾角为θ的斜面上，设两车与斜面之间的动摩擦因数均为μ，汽车A的牵引力F大小不变，两车以相同的加速度a2沿斜面向上做匀加速直线运动，此时它们之间的相互作用力为F2，关于F1、F2和a1、a2的大小关系，下列说法正确的是( )
A．F1>F2，a1>a2 B．F1＝F2，a1>a2
C．F1>F2，a1
答案：B
解析：在水平面上的情况，对整体有F＝(mA＋mB)a1，对B有F1＝mBa1；在斜面上的情况，对整体有F－(mA＋mB)g sin θ－μ(mA＋mB)g cos θ＝(mA＋mB)a2，对B有F2－mBg sin θ－μmBg cos θ＝mBa2，联立解得a1>a2，F1＝F2＝，故选B。
9．(2024·深圳市高一校考期末)某列车由30节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为( )
A．F B．F C．F D．F
答案：A
解析：把后28节车厢看成整体，由牛顿第二定律有F－28f＝28ma，设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F′，对最后两节车厢，由牛顿第二定律有F′－2f＝2ma，解得F′＝F，故选A。
10．(多选)(2024·广州市高一期末)两块叠放的长方体滑块A和B，置于固定的倾角为θ的斜面上，如图所示。滑块A和B的质量分别为M和m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2。当两滑块都同时从静止释放以相同的加速度从斜面滑下的过程中，滑块B受到的摩擦力( )
A．方向沿斜面向上 B．方向沿斜面向下
C．大小等于μ1mg cos θ D．大小等于μ2mg cos θ
答案：AC
解析：对滑块A和B整体分析有(M＋m)g sin θ－μ1(M＋m)g cos θ＝(M＋m)a，解得a＝g sin θ－μ1g cos θ11．(10分)(2024·广州市高一期末)如图所示，将两个物块A、B放在水平地面上，已知A的质量为2m，B的质量为m，A与地面间的动摩擦因数为μ，B与地面间的摩擦不计。现用大小为F，水平向右的推力推A，使两个物块A、B一起向右做匀加速直线运动，重力加速度大小为g。
(1)求物块A、B运动的加速度大小a；
(2)求物块A对B的作用力大小F1。
答案：(1) (2)
解析：(1)对物块A、B整体，根据牛顿第二定律有F－μ·2mg＝3ma
解得a＝。
(2)对物块B，根据牛顿第二定律有F1＝ma
解得F1＝。
12．(10分)如图所示，小车沿水平方向做匀变速直线运动，车厢中悬挂小球A的悬线偏离竖直方向60°角，球和车厢相对静止。已知球的质量为1 kg。另外有质量均为1 kg的物块B和C分别位于车厢侧壁与底板上，都与车厢保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(g取10 m/s2)求：
(1)悬线上拉力的大小；
(2)车厢侧壁与物体B之间的动摩擦因数μ应满足的条件；
(3)车厢底板对物体C的作用力的大小。
答案：(1)20 N (2)μ≥ (3)20 N
解析：(1)对小球受力分析得T cos 60°＝mg
解得T＝20 N。
(2)对小球分析有mg tan 60°＝ma
解得a＝g
对B分析，有FN＝mBa
对B竖直方向受力平衡，有f＝mBg≤μFN
解得μ≥。
(3)对C分析，竖直方向有FN′＝mCg
水平方向有f′＝mCa
车厢底板对C的作用力大小为F＝
解得F＝20 N。
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