湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·望城期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·望城期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．的图象关于直线对称
B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称
C．方程在区间有5个不等实根
D．在上单调递增
3．（2025高二下·望城期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·望城期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·望城期末）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·望城期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2025高二下·望城期末）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是( ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·望城期末）在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ）
A．9 B．12 C． D．27
二、多选题
9．（2025高二下·望城期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
10．（2025高二下·望城期末）已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（ ）
A．若数列为等差数列，则
B．若数列为等差数列，则
C．若数列为等比数列，则
D．若数列为等比数列，则
11．（2025高二下·望城期末）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数的单调减区间是
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若则
三、填空题
12．（2025高二下·望城期末）已知函数有唯一零点，则
13．（2025高二下·望城期末）在中，，，，，记，，用，表示 ；若，则的最小值为 ．
14．（2025高二下·望城期末）在锐角三角形 中，已知 ，则角B的取值范围是 ， 的取值范围是 .
四、解答题
15．（2025高二下·望城期末）已知函数.
（1）求的单调性；
（2）证明：.
16．（2025高二下·望城期末）已知函数在区间上的最小值为－2．
（1）求a；
（2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值；
（ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切 （只需写出结论）
17．（2025高二下·望城期末）某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求图中a，b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；
（3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？
18．（2025高二下·望城期末）已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
19．（2025高二下·望城期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：C.
【分析】观察两个角与的关系，发现它们的和为，可利用三角函数的诱导公式，将转化为与相关的形式来求解.
2．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意相邻对称轴间的距离为，可得，因此，当时，，故．由可得，由函数最大值为2可得，因此．
A：，非最值，故不是的对称轴，A错误．
B：图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误．
C：令，可得或，解得或，在上，实根为，共5个，C正确．
D：的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象求出的表达式，依据三角函数的性质（对称轴、平移变换、方程解的个数、单调区间等 ），对每个选项逐一进行分析判断.求出函数表达式，结合三角函数相关性质进行推理.
3．【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：联立得出交点坐标为，
因为两直线与的交点在圆的内部，
则，所以，实数k的取值范围是。
故答案为：B.
【分析】联立两直线方程得出交点坐标，再结合点与圆的位置关系判断方法，再结合代入法和圆的标准方程，进而得出实数k的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，所以.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量判断即可.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，又因为，
所以，所以在上单调递增，
又，，，
因为，所以，所以.
故答案为：C．
【分析】构造新函数，用导数判断其单调性，将、、转化为新函数在特定点的函数值，根据单调性比较大小.构造合适的新函数，通过导数分析其单调性，建立已知条件与新函数的联系.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线 ，所以即
故答案为：A.
【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，根据题意建立不等式进行求解即可.
7．【答案】D
【知识点】等比数列的性质；圆的标准方程
【解析】【解答】即表示圆心在（5，0)，半径为3的圆位于y轴上方的部分。其上面的点到原点距离最大为8，最小为2，所以等比数列的公比q2，只有>2，
故选D。
【分析】小综合题，利用数形结合思想，认识到圆上点到原点距离最大为8，最小为2，结合选项进行定量地分析，达到解题目的。
8．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；三角形五心；解三角形
【解析】【解答】解：因为，所以在上，又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，又的中垂线和的角平分线重合，
所以平分，即，
因为，所以，所以，在与中，由正弦定理可得①，②，
因为，所以，又，
两式相除可得，由，所以，
设，则，
在与中，
由余弦定理可得，
即，解得（负值舍去），
则，
在中，
所以.
故答案为：C.
【分析】围绕等腰三角形外心性质、正弦定理、向量数量积展开.根据确定在上，结合等腰三角形外心特性（在中垂线且与角平分线重合 ），得出平分.在和中，用正弦定理，结合角相等关系，建立与的联系求出.用余弦定理求出，代入向量数量积公式计算.用几何性质（外心、角平分线 ）和定理（正弦、余弦 ），将几何关系转化为向量运算所需条件.
9．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：A、事件为“第一枚正面朝上”，满足事件的基本事件是（正，正）、（正，反），共种，
则，，A正确；
B、事件表示“第一枚正面朝上且第二枚正面朝上”，满足的基本事件只有（正，正），共种 ，由古典概型概率公式，，B正确；
C、事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；
D、事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先列举所有可能的基本事件，再结合各概念的定义，分别计算概率、判断事件关系.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：令，易知在R上单调递减，
且，
所以为奇函数，
又，所以，
由题意可知，
AB、若数列为等差数列，则，
且A正确，B错误；
CD、若数列为等比数列，设公比，易知
则同号，
所以，C正确，
若，与前提矛盾，D错误.
故答案为：AC.
【分析】构造特殊函数，分析其性质后，把数列中项的关系转化为函数值的关系，再结合等差、等比数列的求和、积公式及项的性质判断选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
由得，；由得，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，A正确；
B、令，
则显然恒成立；
所以函数在上单调递减；
又，，
所以函数有且仅有一个零点，B正确；
C、若，可得，
令，则，
令，则，
由得；由得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，
所以函数无最小值；
因此，不存在正实数，使得成立，C错；
D、令，则，则；
令，
则，
所以在上单调递减，则，即，
令，由，得，则，
当时，显然成立，
所以对任意两个正实数，，且，若则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A：通过求导，解导数小于的不等式，确定单调减区间，依据是“导数符号决定函数单调性”.
B：构造新函数，求导判断单调性，再结合零点存在定理（端点函数值异号 ），判断零点个数，利用“单调函数至多一个零点 + 端点异号必存在一个零点”逻辑.
C：分离参数转化为与函数的大小关系，通过多次求导分析单调性与最值，若无下界，则不存在正实数满足不等式，核心是“参数分离 + 导数研究函数趋势”.
D：构造对称变量，定义并求导分析单调性，结合函数单调性与函数值相等条件，推导，利用“对称构造 + 导数判断单调性 + 函数值传递”证明不等式.
12．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，设，则，定义域为，，所以为偶函数，所以的图像关于成轴对称，要使有唯一零点，则只能，即，解得，
故答案为：.
【分析】解函数有唯一零点时的值.通过变量代换，将函数转化为关于新变量的形式，用函数的奇偶性和对称性，结合唯一零点的条件来确定的值.
13．【答案】；
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：因为为的中点，
则，可得，
两式相加，可得到，
即，所以；
因为，则，可得，
得到，即，
即．
于是．
记，
则，
在中，根据余弦定理：，即，
于是，
由和基本不等式可得，
故，当且仅当取得等号，可得，
所以时，有最小值．
故答案为：．
【分析】用向量线性运算，结合中点性质，将用、表示；表示出，再通过向量数量积运算，结合已知条件和基本不等式求的最小值.
14．【答案】；
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，解得 ，
由正弦定理可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故答案为： ；
【分析】由 是锐角三角形可知三个内角均是锐角，进而求解即可；利用正弦定理可得 ，进而根据 的范围求解即可
15．【答案】（1）解：定义域为，
，
当或时，，当 时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：令，
当时，，当 时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
故当时，， 即，
当时，，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先写出f (x)的定义域，求导分析f' (x)的符号，即可求出 的单调性；
(2) 令， 求导分析函数单调性，进而可得函数g (x))的最小值，则 ， 即 ， 又 ， 利用放缩法，即可证出 .
16．【答案】（1）解： 由题意，，令，解得，在和上，则单调递增，在上，则单调递减.当时，在区间上单调递减，则，解得，不满足题意；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减，则，即，或，即；综上所述，.
（2）解：（ⅰ）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”，，与的情况如下：
0 2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以，是的极大值，是的极小值，当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或.
（ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切；过点存在1条直线与曲线相切；过点存在3条直线与曲线相切.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过求导分析函数单调性，结合区间对参数分类讨论，利用最小值建立方程求解；
（2）（ⅰ）设切点，根据导数几何意义写出切线方程，代入点坐标转化为函数零点问题，通过导数研究函数单调性和零点个数确定；
（ⅱ）基于（ⅰ）的方法直接得出结论.
（1）由题意，，令，解得，
在和上，则单调递增，
在上，则单调递减.
当时，在区间上单调递减，则，
解得，不满足题意；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减，
则，即，或，即；
综上所述，.
（2）设过点的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”，，
与的情况如下：
0 2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以，是的极大值，是的极小值，
当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或.
（ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在3条直线与曲线相切.
17．【答案】（1）解：由题意得，
解得，．
（2）解：企业生产的该批产品的质量的平均数约为
g．
（3）解：等级达到C及以上的占比为，
设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得，
则，
解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【分析】（1）频率分布直方图中，所有矩形的频率和为（频率 = 组距×，组距为 ），结合已知，列方程组求解.
（2）利用频率分布直方图平均数公式，每组中点值×对应频率（频率 = 组距× ），求和得到平均数.
（3）先算C等级及以上占比，再在频率分布直方图中找对应分位数，通过线性插值求质量最小值.
（1）由题意，得，
解得，．
（2）企业生产的该批产品的质量的平均数约为
g．
（3）等级达到C及以上的占比为，
设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得，
则，
解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．
18．【答案】（1）解：由函数是偶函数，所以，
即，
即，又恒成立，即恒成立，
所以，即.
（2）解法一(参变分离)：解：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于，
令，方程可化为，
①当，即时，方程可化为，显然矛盾，故不是方程的根，
②当时，方程可化为，即，
令，方程可化为，
即化为在上仅有一个实根，
等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点，
由函数图象可得或，解得或，
综上所述，实数m的取值范围为.
解法二(根的分布)：解：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于有且只有一解，
即只有一解，整理得，
令，可化为方程④在上仅有一个实根，
①当，即时，此时，显然不满足题意，
②当，即时，此时恒成立，
由此可设方程④的两个实根为，及二次方程根与系数的关系可得，
此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意，
③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根，
若满足，故此时方程④必有两个同号的实根，故不可能在上仅有一个实根，
则只需要满足，解得，即.
综上所述，实数m的取值范围为：.
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，通过对进行对数运算和化简，将其与对比，根据等式恒成立的条件来确定的值 .
（2）解法一：把方程转化为，参变分离，转化为两函数有一个交点问题，数形结合求解即可.
解法二：把问题化为方程在上仅有一个实根，分类讨论，根据二次函数根的分布列不等式求解即可.
（1）由函数是偶函数，所以，
即，
即，又恒成立，即恒成立，
所以，即得；
（2）解法一(参变分离)：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于，
令，方程可化为，
①当，即时，方程可化为，显然矛盾，故不是方程的根，
②当时，方程可化为，即，
令，方程可化为，
即化为在上仅有一个实根，
等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点，
由函数图象可得或，解得或，
综上所述，实数m的取值范围为.
解法二(根的分布)：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于有且只有一解，
即只有一解，整理得，
令，可化为方程④在上仅有一个实根，
①当，即时，此时，显然不满足题意，
②当，即时，此时恒成立，
由此可设方程④的两个实根为，及二次方程根与系数的关系可得，
此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意，
③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根，
若满足，故此时方程④必有两个同号的实根，故不可能在上仅有一个实根，
则只需要满足，解得，即.
综上所述，实数m的取值范围为：.
19．【答案】解：（1）证明：取BC的中点O，连结AO，，，
为等腰直角三角形，所以，；侧面为菱形，，所以三角形为为等边三角形，所以，又，所以，又，满足，所以；因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）解：由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.
则，，，，若存在点M，则点M在上，不妨设，则有，则，有，，设平面的法向量为，则解得：平面的法向量为，则解得：或（舍）.故存在点M，.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）找面的垂线，通过取中点构造辅助线，用等腰三角形性质、勾股定理证明线线垂直，得线面垂直，由面面垂直判定定理证明.“线面垂直 面面垂直”的逻辑，构造辅助线并证明线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，求两个平面的法向量，用二面角的向量公式列方程求解参数.空间向量在二面角中的应用，将几何角度转化为向量夹角计算.
1 / 1湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·望城期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可得：.
故答案为：C.
【分析】观察两个角与的关系，发现它们的和为，可利用三角函数的诱导公式，将转化为与相关的形式来求解.
2．（2025高二下·望城期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．的图象关于直线对称
B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称
C．方程在区间有5个不等实根
D．在上单调递增
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意相邻对称轴间的距离为，可得，因此，当时，，故．由可得，由函数最大值为2可得，因此．
A：，非最值，故不是的对称轴，A错误．
B：图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误．
C：令，可得或，解得或，在上，实根为，共5个，C正确．
D：的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象求出的表达式，依据三角函数的性质（对称轴、平移变换、方程解的个数、单调区间等 ），对每个选项逐一进行分析判断.求出函数表达式，结合三角函数相关性质进行推理.
3．（2025高二下·望城期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：联立得出交点坐标为，
因为两直线与的交点在圆的内部，
则，所以，实数k的取值范围是。
故答案为：B.
【分析】联立两直线方程得出交点坐标，再结合点与圆的位置关系判断方法，再结合代入法和圆的标准方程，进而得出实数k的取值范围。
4．（2025高二下·望城期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，，所以.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量判断即可.
5．（2025高二下·望城期末）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，
则，又因为，
所以，所以在上单调递增，
又，，，
因为，所以，所以.
故答案为：C．
【分析】构造新函数，用导数判断其单调性，将、、转化为新函数在特定点的函数值，根据单调性比较大小.构造合适的新函数，通过导数分析其单调性，建立已知条件与新函数的联系.
6．（2025高二下·望城期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线 ，所以即
故答案为：A.
【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，根据题意建立不等式进行求解即可.
7．（2025高二下·望城期末）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是( ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的性质；圆的标准方程
【解析】【解答】即表示圆心在（5，0)，半径为3的圆位于y轴上方的部分。其上面的点到原点距离最大为8，最小为2，所以等比数列的公比q2，只有>2，
故选D。
【分析】小综合题，利用数形结合思想，认识到圆上点到原点距离最大为8，最小为2，结合选项进行定量地分析，达到解题目的。
8．（2025高二下·望城期末）在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ）
A．9 B．12 C． D．27
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；三角形五心；解三角形
【解析】【解答】解：因为，所以在上，又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上，又的中垂线和的角平分线重合，
所以平分，即，
因为，所以，所以，在与中，由正弦定理可得①，②，
因为，所以，又，
两式相除可得，由，所以，
设，则，
在与中，
由余弦定理可得，
即，解得（负值舍去），
则，
在中，
所以.
故答案为：C.
【分析】围绕等腰三角形外心性质、正弦定理、向量数量积展开.根据确定在上，结合等腰三角形外心特性（在中垂线且与角平分线重合 ），得出平分.在和中，用正弦定理，结合角相等关系，建立与的联系求出.用余弦定理求出，代入向量数量积公式计算.用几何性质（外心、角平分线 ）和定理（正弦、余弦 ），将几何关系转化为向量运算所需条件.
二、多选题
9．（2025高二下·望城期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：A、事件为“第一枚正面朝上”，满足事件的基本事件是（正，正）、（正，反），共种，
则，，A正确；
B、事件表示“第一枚正面朝上且第二枚正面朝上”，满足的基本事件只有（正，正），共种 ，由古典概型概率公式，，B正确；
C、事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；
D、事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先列举所有可能的基本事件，再结合各概念的定义，分别计算概率、判断事件关系.
10．（2025高二下·望城期末）已知数列的前n项和为，前n项积为，，且．（ ）
A．若数列为等差数列，则
B．若数列为等差数列，则
C．若数列为等比数列，则
D．若数列为等比数列，则
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：令，易知在R上单调递减，
且，
所以为奇函数，
又，所以，
由题意可知，
AB、若数列为等差数列，则，
且A正确，B错误；
CD、若数列为等比数列，设公比，易知
则同号，
所以，C正确，
若，与前提矛盾，D错误.
故答案为：AC.
【分析】构造特殊函数，分析其性质后，把数列中项的关系转化为函数值的关系，再结合等差、等比数列的求和、积公式及项的性质判断选项.
11．（2025高二下·望城期末）（多选）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数的单调减区间是
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若则
【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
由得，；由得，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，A正确；
B、令，
则显然恒成立；
所以函数在上单调递减；
又，，
所以函数有且仅有一个零点，B正确；
C、若，可得，
令，则，
令，则，
由得；由得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，
所以函数无最小值；
因此，不存在正实数，使得成立，C错；
D、令，则，则；
令，
则，
所以在上单调递减，则，即，
令，由，得，则，
当时，显然成立，
所以对任意两个正实数，，且，若则，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A：通过求导，解导数小于的不等式，确定单调减区间，依据是“导数符号决定函数单调性”.
B：构造新函数，求导判断单调性，再结合零点存在定理（端点函数值异号 ），判断零点个数，利用“单调函数至多一个零点 + 端点异号必存在一个零点”逻辑.
C：分离参数转化为与函数的大小关系，通过多次求导分析单调性与最值，若无下界，则不存在正实数满足不等式，核心是“参数分离 + 导数研究函数趋势”.
D：构造对称变量，定义并求导分析单调性，结合函数单调性与函数值相等条件，推导，利用“对称构造 + 导数判断单调性 + 函数值传递”证明不等式.
三、填空题
12．（2025高二下·望城期末）已知函数有唯一零点，则
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，设，则，定义域为，，所以为偶函数，所以的图像关于成轴对称，要使有唯一零点，则只能，即，解得，
故答案为：.
【分析】解函数有唯一零点时的值.通过变量代换，将函数转化为关于新变量的形式，用函数的奇偶性和对称性，结合唯一零点的条件来确定的值.
13．（2025高二下·望城期末）在中，，，，，记，，用，表示 ；若，则的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：因为为的中点，
则，可得，
两式相加，可得到，
即，所以；
因为，则，可得，
得到，即，
即．
于是．
记，
则，
在中，根据余弦定理：，即，
于是，
由和基本不等式可得，
故，当且仅当取得等号，可得，
所以时，有最小值．
故答案为：．
【分析】用向量线性运算，结合中点性质，将用、表示；表示出，再通过向量数量积运算，结合已知条件和基本不等式求的最小值.
14．（2025高二下·望城期末）在锐角三角形 中，已知 ，则角B的取值范围是 ， 的取值范围是 .
【答案】；
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，解得 ，
由正弦定理可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故答案为： ；
【分析】由 是锐角三角形可知三个内角均是锐角，进而求解即可；利用正弦定理可得 ，进而根据 的范围求解即可
四、解答题
15．（2025高二下·望城期末）已知函数.
（1）求的单调性；
（2）证明：.
【答案】（1）解：定义域为，
，
当或时，，当 时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：令，
当时，，当 时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
故当时，， 即，
当时，，
因为，
所以，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先写出f (x)的定义域，求导分析f' (x)的符号，即可求出 的单调性；
(2) 令， 求导分析函数单调性，进而可得函数g (x))的最小值，则 ， 即 ， 又 ， 利用放缩法，即可证出 .
16．（2025高二下·望城期末）已知函数在区间上的最小值为－2．
（1）求a；
（2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值；
（ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切 （只需写出结论）
【答案】（1）解： 由题意，，令，解得，在和上，则单调递增，在上，则单调递减.当时，在区间上单调递减，则，解得，不满足题意；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减，则，即，或，即；综上所述，.
（2）解：（ⅰ）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”，，与的情况如下：
0 2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以，是的极大值，是的极小值，当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或.
（ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切；过点存在1条直线与曲线相切；过点存在3条直线与曲线相切.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过求导分析函数单调性，结合区间对参数分类讨论，利用最小值建立方程求解；
（2）（ⅰ）设切点，根据导数几何意义写出切线方程，代入点坐标转化为函数零点问题，通过导数研究函数单调性和零点个数确定；
（ⅱ）基于（ⅰ）的方法直接得出结论.
（1）由题意，，令，解得，
在和上，则单调递增，
在上，则单调递减.
当时，在区间上单调递减，则，
解得，不满足题意；
当时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减，
则，即，或，即；
综上所述，.
（2）设过点的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在2条直线与曲线相切”等价于“有2个不同零点”，，
与的情况如下：
0 2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以，是的极大值，是的极小值，
当或即或时，过点存在2条直线与曲线相切，故或.
（ⅱ）过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在1条直线与曲线相切；
过点存在3条直线与曲线相切.
17．（2025高二下·望城期末）某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求图中a，b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；
（3）用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？
【答案】（1）解：由题意得，
解得，．
（2）解：企业生产的该批产品的质量的平均数约为
g．
（3）解：等级达到C及以上的占比为，
设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得，
则，
解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【分析】（1）频率分布直方图中，所有矩形的频率和为（频率 = 组距×，组距为 ），结合已知，列方程组求解.
（2）利用频率分布直方图平均数公式，每组中点值×对应频率（频率 = 组距× ），求和得到平均数.
（3）先算C等级及以上占比，再在频率分布直方图中找对应分位数，通过线性插值求质量最小值.
（1）由题意，得，
解得，．
（2）企业生产的该批产品的质量的平均数约为
g．
（3）等级达到C及以上的占比为，
设该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为x g，易得，
则，
解得，所以该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为59g．
18．（2025高二下·望城期末）已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程有且仅有一个实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由函数是偶函数，所以，
即，
即，又恒成立，即恒成立，
所以，即.
（2）解法一(参变分离)：解：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于，
令，方程可化为，
①当，即时，方程可化为，显然矛盾，故不是方程的根，
②当时，方程可化为，即，
令，方程可化为，
即化为在上仅有一个实根，
等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点，
由函数图象可得或，解得或，
综上所述，实数m的取值范围为.
解法二(根的分布)：解：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于有且只有一解，
即只有一解，整理得，
令，可化为方程④在上仅有一个实根，
①当，即时，此时，显然不满足题意，
②当，即时，此时恒成立，
由此可设方程④的两个实根为，及二次方程根与系数的关系可得，
此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意，
③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根，
若满足，故此时方程④必有两个同号的实根，故不可能在上仅有一个实根，
则只需要满足，解得，即.
综上所述，实数m的取值范围为：.
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，通过对进行对数运算和化简，将其与对比，根据等式恒成立的条件来确定的值 .
（2）解法一：把方程转化为，参变分离，转化为两函数有一个交点问题，数形结合求解即可.
解法二：把问题化为方程在上仅有一个实根，分类讨论，根据二次函数根的分布列不等式求解即可.
（1）由函数是偶函数，所以，
即，
即，又恒成立，即恒成立，
所以，即得；
（2）解法一(参变分离)：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于，
令，方程可化为，
①当，即时，方程可化为，显然矛盾，故不是方程的根，
②当时，方程可化为，即，
令，方程可化为，
即化为在上仅有一个实根，
等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点，
由函数图象可得或，解得或，
综上所述，实数m的取值范围为.
解法二(根的分布)：由(1)有，
又方程可化为，
可化为，即等价于有且只有一解，
即只有一解，整理得，
令，可化为方程④在上仅有一个实根，
①当，即时，此时，显然不满足题意，
②当，即时，此时恒成立，
由此可设方程④的两个实根为，及二次方程根与系数的关系可得，
此时方程④必有一正根和一负根.故时，显然满足题意，
③当，即时，要使得方程④在上仅有一个实根，
若满足，故此时方程④必有两个同号的实根，故不可能在上仅有一个实根，
则只需要满足，解得，即.
综上所述，实数m的取值范围为：.
19．（2025高二下·望城期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）证明：取BC的中点O，连结AO，，，
为等腰直角三角形，所以，；侧面为菱形，，所以三角形为为等边三角形，所以，又，所以，又，满足，所以；因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）解：由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.
则，，，，若存在点M，则点M在上，不妨设，则有，则，有，，设平面的法向量为，则解得：平面的法向量为，则解得：或（舍）.故存在点M，.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）找面的垂线，通过取中点构造辅助线，用等腰三角形性质、勾股定理证明线线垂直，得线面垂直，由面面垂直判定定理证明.“线面垂直 面面垂直”的逻辑，构造辅助线并证明线线垂直.
（2）建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，求两个平面的法向量，用二面角的向量公式列方程求解参数.空间向量在二面角中的应用，将几何角度转化为向量夹角计算.
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