湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·开福期末）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·开福期末）为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2025高二下·开福期末）某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2025高二下·开福期末） 已知数列满足且，则（ ）
A．3 B． C．-2 D．
5．（2025高二下·开福期末）在 中， ， ，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为（ ）
A．17 B．10 C． D．
6．（2025高二下·开福期末）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
7．（2025高二下·开福期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·开福期末）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2025高二下·开福期末）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
10．（2025高二下·开福期末）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．若方程有3个不同的实数根，则
C．直线是曲线的切线
D．点是曲线的对称中心
11．（2025高二下·开福期末）已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2025高二下·开福期末）已知，则 .
13．（2025高二下·开福期末）已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为 的垂心，若 ，且三棱锥 的外接球半径为3，则 的最大值为 ．
14．（2025高二下·开福期末）已知实数，当取得最小值时，则的值为 ．
四、解答题
15．（2025高二下·开福期末）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
（3）视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．
16．（2025高二下·开福期末）给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.
17．（2025高二下·开福期末）已知函数．
（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围．
18．（2025高二下·开福期末）已知函数的定义域为且满足，当时，.
（1）判断在上的单调性并加以证明；
（2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围.
19．（2025高二下·开福期末）设函数，，，的极大值点为.
（1）求；
（2）若曲线，上分别存在两点，使得四边形为边平行于坐标轴的矩形，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由得，所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若，则，即，由，即，得或，综上：或或.
故答案为：B.
【分析】求出函数在给定点处的切线方程，分情况讨论切线与二次曲线的公共点个数.用导数求切线斜率，结合点斜式得切线方程；对曲线方程中的参数分类（和 ），时曲线为一次函数，直接判断交点；时曲线为二次函数，联立方程，用判别式判断方程解的个数（即公共点 ）.
2．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：所有分组的方式种，若甲和乙安装相同的展板，包含甲和乙两人安装一个展板，另外三人安装另一个展板，以及从甲和乙之外的3人挑1人和甲，乙三人，安装一个展板，共有4种不合题意，故共有种分配方式.
故答案为：C
【分析】先算不考虑限制时的分组总数（ ）；找出甲乙同组的违规分组（分“甲乙2人组”和“甲乙+1人组”两类 ），用总数减去违规数得合法分组；最后将合法分组分配到两个校区（排列数 ），相乘得总方案数.
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意，，，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，利润最大.
故选：A
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数可得：，进而可得函数的单调性，根据单调性可求出函数的最值，进而可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故答案为：B
【分析】先将数列递推式进行变形可得：，再求出，据此可推出数列的周期为4，利用数列的周期性可求出.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的外心， ，
，
，
，
同理可得 ，
故答案为：D.
【分析】将 用向量 和 表示出来，再代入 得， ，求出 代入即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：结合函数图象可知中，令，则，故，结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；故有3个解，故；中，令，则有2个根，不妨设，当，即，此时有2个解，当，即，此时有2个解，故有4个解，即，综上，.
故答案为：B
【分析】用函数的奇偶性以及函数图象，通过换元法将复合函数方程转化为简单函数方程，解两个复合函数方程和的实根个数，根据内外层函数的图象确定换元后方程的解，回代求出原方程的实根个数.
7．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此；令，求导得，当时，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】比较、、的大小，由于都是指数形式且底数、指数均不同，直接比较困难.通过取对数将指数运算转化为乘法运算，构造函数，用函数的单调性来比较对数的大小，得出原数的大小关系.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得，恒成立等价于恒成立，令，则恒成立，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有恒成立，即对于任意恒成立，令，则，令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，从而，所以的取值范围为，即实数m的最大值为，
故答案为：B.
【分析】对给定不等式进行变形，借助同构思想转化为函数单调性问题，通过构造新函数，用导数求其最小值，确定实数的最大值.不等式变形与函数构造，利用导数分析函数单调性和最值.
9．【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ，
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导，根据图象可得，即，解得，故A正确；
则，由图可知，，，根据有个不同的实数根，则，故B正确；
设切点坐标，则，故，解得，当时，，切线方程，当时，，切线方程，故C错误；
由，则，则，故点是曲线的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】围绕三次函数展开，用导数的性质（极值点处导数为 ）求参数、，结合函数单调性、极值分析方程根的个数，通过导数几何意义判断切线，依据函数对称中心的性质确定对称中心.运用导数与函数性质的关系，逐步推导各选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：AB、因为函数有两个不同零点，且
所以有两个不同实数根，且，
令，
由于，故为偶函数，
，
当时，，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递减，
所以，，
因为当趋近于时，也趋近于，
所以，有两个不同实数根，则，且，A错误，B正确；
C、因为，
所以，
由基本不等式：
所以，C正确；
D、由得等价于，
由在单调递增，，，
所以，等价于 ，
由于显然成立，
故只需考虑是否成立即可；
令，则
所以，令，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时取最小值，，故成立，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题核心思路是通过构造函数，利用奇偶性、单调性转化零点问题：
1. 零点转化：将 的零点转化为 的交点，简化问题；
2. 函数性质：分析 的奇偶性（偶函数）与单调性（对称区间单调性相反 ），确定 ；
3. 不等式验证：对选项C利用基本不等式放缩，对选项D通过构造新函数、求导分析单调性与最值，验证不等式成立.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式以及二倍角公式，结合二次函数进行求解即可得到结果.
13．【答案】18
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】连 交 于 ，顶点 在底面的射影 为 的垂心，
，又 平面 ， ，
， 平面 ，
同理可证 ，
由 ，得 ，
，
，又 平面 ，
，又 平面 ，
两两互相垂直，
三棱锥 的外接球为 为棱的长方体的外接球，
又三棱锥 的外接球半径为3，
，
，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：18.
【分析】连 交 于 ，由顶点 在底面的射影 为 的垂心，得 ，进而证明 ，由 。得 ，根据三角形相似可得， ，进而证明 两两互相垂直，将三棱锥拓展为以 为棱的长方体，可得 ，再由基本不等式，即可求出结论.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，因，所以，，所以，即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则．
故答案为：.
【分析】对式子求最小值，通过式子变形，构造出能用基本不等式的形式.基本不等式（，当且仅当时等号成立 ），把原式拆分成可以应用基本不等式的几个部分，根据等号成立的条件求出、的关系，进而得到的值.
15．【答案】（1）解：因为男生10500人，女生4500人，
所以抽取女生占总人数的比例为．
又因为分层抽样收集300位学生，
所以女生样本数据应收集为．
（2）解：由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.
（3）解：由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先算女生占全校总人数的比例，再用样本总数乘以该比例，得到女生样本数量；
（2）利用样本频率估计总体概率，先确定超过4小时的区间，计算对应区间的频率和，以此估计总体概率；
（3）运动时间超过4小时的概率为，结合分布列和数学期望的定义求解即可.
（1）因为男生10500人，女生4500人，
所以抽取女生占总人数的比例为．
又因为分层抽样收集300位学生，
所以女生样本数据应收集为．
（2）由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.
（3）由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则．
16．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上，所以，解得，，椭圆方程为，
因为，圆心为原点，
所以卫星圆的方程为.
（2）证明：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，，
②当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
联立方程，
消去得到，
则，
，满足条件的两直线、垂直，
此时线段应为“卫星圆”的直径，，
综合①②可知，为定值，.
即 弦长为定值.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用离心率公式、椭圆上点的坐标满足方程，联立 的关系，解出椭圆参数，进而得到“卫星圆”方程（依托圆的定义 ）.
（2）分类讨论直线斜率（无斜率、有斜率 ），无斜率时直接利用椭圆顶点与圆的直径性质；有斜率时，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式 结合韦达定理，证明两直线垂直，从而得出 是圆的直径，弦长为定值.
17．【答案】（1）解： 由题意，可得，则或.
（2）解： 由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得.当的图象开口向下时，，所以，解得；综上，的取值范围为.
法二：的零点和的零点相同，则，所以，解得.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）确定函数有两个零点时实数的取值范围，据二次函数零点存在的条件.二次函数有两个零点，先是二次函数（即二次项系数不为 ），判别式要大于，不等式组求解.
（2）函数的两个零点分别在和内，函数是二次函数（ ），据二次函数的图象性质，当时抛物线开口向上，时开口向下，结合零点所在区间，函数在区间端点处的函数值会呈现相应的正负情况，列出关于的不等式组来求解取值范围；用函数零点与对应方程零点的等价性，构造新函数列不等式组求解（这里用开口方向讨论的方法 ）.
（1）由题意，可得，则或.
（2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得.
当的图象开口向下时，，所以，解得；
综上，的取值范围为.
法二：的零点和的零点相同，则，
所以，解得.
综上，的取值范围为.
18．【答案】（1）解：令，则，∵当时，，∴，
∴在上单调递减，又∵，
∴，
∴为奇函数，∴在上单调递减.
又∵在上单调递减，
∴在上单调递减.
（2）解：由（1）可知，在上单调递减.
∵，∴，
∴，故.
∵正数为函数上的一个不动点，∴方程在上有解，
即方程在上有解，
整理得：.
令，，
设，，则，
∴在上单调递增，又，
∴，∴，
∴在上单调递减，
∴（或），
即的取值范围是（或）.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）核心思路是构造辅助函数，利用导数和函数奇偶性分析单调性，通过构造，将的单调性转化为与二次函数的单调性组合，结合奇偶性传递单调性，最终判断的单调性.
（2）通过的单调性，将的不等式转化为的范围；把转化为关于的函数，构造；通过二次求导（分析 ）确定的单调性；根据单调性确定在范围内的最小值，即为的下限，从而得到取值范围.
19．【答案】（1）解：.
当在上递增，在上递减.
故，即.
（2）解：由题意得，存在.
令，则，
由在上递增，
在上存在唯一零点.
由题意，.
令.
对于，
故条件即在上有零点.
.
（i），即，也即.
这等价于，即.
此时，在上存在在上递增，故.
而，故由零点存在定理，
在上存在零点，满足条件.
（ii）若，即，也即.
令，，又，
故，，在上递减，
则，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）利用导数求极值点的条件，结合极大值点，建立方程解出 ，依托“极值点处导数为”的性质。
（2）转化矩形存在条件为函数 有两个零点；利用 的单调性，结合换元法构造新函数；通过分析 的零点存在性（导数判断单调性 + 端点值符号 ），确定 的范围，体现“等价转化 + 函数零点分析”的思想。
（1）.
当在上递增，在上递减.
故，即.
（2）由题意，存在.
令，则，
由在上递增，
在上存在唯一零点.
由题意，.
令.
对于，
故条件即在上有零点.
.
（i），即，也即.
这等价于，即.
此时，在上存在在上递增，故.
而，故由零点存在定理，
在上存在零点，满足条件.
（ii）若，即，也即.
令，，又，
故，，在上递减，
则，不满足题意.
综上，的取值范围为.
1 / 1湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·开福期末）已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由得，所以切线方程是，
①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若，则，即，由，即，得或，综上：或或.
故答案为：B.
【分析】求出函数在给定点处的切线方程，分情况讨论切线与二次曲线的公共点个数.用导数求切线斜率，结合点斜式得切线方程；对曲线方程中的参数分类（和 ），时曲线为一次函数，直接判断交点；时曲线为二次函数，联立方程，用判别式判断方程解的个数（即公共点 ）.
2．（2025高二下·开福期末）为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：所有分组的方式种，若甲和乙安装相同的展板，包含甲和乙两人安装一个展板，另外三人安装另一个展板，以及从甲和乙之外的3人挑1人和甲，乙三人，安装一个展板，共有4种不合题意，故共有种分配方式.
故答案为：C
【分析】先算不考虑限制时的分组总数（ ）；找出甲乙同组的违规分组（分“甲乙2人组”和“甲乙+1人组”两类 ），用总数减去违规数得合法分组；最后将合法分组分配到两个校区（排列数 ），相乘得总方案数.
3．（2025高二下·开福期末）某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意，，，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，利润最大.
故选：A
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数可得：，进而可得函数的单调性，根据单调性可求出函数的最值，进而可求出答案.
4．（2025高二下·开福期末） 已知数列满足且，则（ ）
A．3 B． C．-2 D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故答案为：B
【分析】先将数列递推式进行变形可得：，再求出，据此可推出数列的周期为4，利用数列的周期性可求出.
5．（2025高二下·开福期末）在 中， ， ，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为（ ）
A．17 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的外心， ，
，
，
，
同理可得 ，
故答案为：D.
【分析】将 用向量 和 表示出来，再代入 得， ，求出 代入即可得出答案.
6．（2025高二下·开福期末）奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：结合函数图象可知中，令，则，故，结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；故有3个解，故；中，令，则有2个根，不妨设，当，即，此时有2个解，当，即，此时有2个解，故有4个解，即，综上，.
故答案为：B
【分析】用函数的奇偶性以及函数图象，通过换元法将复合函数方程转化为简单函数方程，解两个复合函数方程和的实根个数，根据内外层函数的图象确定换元后方程的解，回代求出原方程的实根个数.
7．（2025高二下·开福期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此；令，求导得，当时，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】比较、、的大小，由于都是指数形式且底数、指数均不同，直接比较困难.通过取对数将指数运算转化为乘法运算，构造函数，用函数的单调性来比较对数的大小，得出原数的大小关系.
8．（2025高二下·开福期末）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得，恒成立等价于恒成立，令，则恒成立，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有恒成立，即对于任意恒成立，令，则，令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，从而，所以的取值范围为，即实数m的最大值为，
故答案为：B.
【分析】对给定不等式进行变形，借助同构思想转化为函数单调性问题，通过构造新函数，用导数求其最小值，确定实数的最大值.不等式变形与函数构造，利用导数分析函数单调性和最值.
二、多选题
9．（2025高二下·开福期末）设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C． 面积的最大值为
D．以线段 为直径的圆与直线 相切
【答案】A,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ，
根据椭圆的定义 ，所以A符合题意；
椭圆的离心率为 ，所以B不符合题意；
其中 面积的最大值为 ，所以C不符合题意；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意由椭圆的 a、b 、c 三者的关系，结合题意计算出a、b、c的值，由此得出焦点的坐标，由椭圆的定义即可判断出选项A正确；由椭圆的简单性质即可判断出选项B错误；根据题意由三角形的面积公式代入数值计算出面积，由此判断出选项C错误；由点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离，结合已知条件由直线与圆的位置关系即可判断出选项D正确，由此得出答案。
10．（2025高二下·开福期末）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．若方程有3个不同的实数根，则
C．直线是曲线的切线
D．点是曲线的对称中心
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：求导，根据图象可得，即，解得，故A正确；
则，由图可知，，，根据有个不同的实数根，则，故B正确；
设切点坐标，则，故，解得，当时，，切线方程，当时，，切线方程，故C错误；
由，则，则，故点是曲线的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】围绕三次函数展开，用导数的性质（极值点处导数为 ）求参数、，结合函数单调性、极值分析方程根的个数，通过导数几何意义判断切线，依据函数对称中心的性质确定对称中心.运用导数与函数性质的关系，逐步推导各选项.
11．（2025高二下·开福期末）已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：AB、因为函数有两个不同零点，且
所以有两个不同实数根，且，
令，
由于，故为偶函数，
，
当时，，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递减，
所以，，
因为当趋近于时，也趋近于，
所以，有两个不同实数根，则，且，A错误，B正确；
C、因为，
所以，
由基本不等式：
所以，C正确；
D、由得等价于，
由在单调递增，，，
所以，等价于 ，
由于显然成立，
故只需考虑是否成立即可；
令，则
所以，令，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时取最小值，，故成立，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题核心思路是通过构造函数，利用奇偶性、单调性转化零点问题：
1. 零点转化：将 的零点转化为 的交点，简化问题；
2. 函数性质：分析 的奇偶性（偶函数）与单调性（对称区间单调性相反 ），确定 ；
3. 不等式验证：对选项C利用基本不等式放缩，对选项D通过构造新函数、求导分析单调性与最值，验证不等式成立.
三、填空题
12．（2025高二下·开福期末）已知，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式以及二倍角公式，结合二次函数进行求解即可得到结果.
13．（2025高二下·开福期末）已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为 的垂心，若 ，且三棱锥 的外接球半径为3，则 的最大值为 ．
【答案】18
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】连 交 于 ，顶点 在底面的射影 为 的垂心，
，又 平面 ， ，
， 平面 ，
同理可证 ，
由 ，得 ，
，
，又 平面 ，
，又 平面 ，
两两互相垂直，
三棱锥 的外接球为 为棱的长方体的外接球，
又三棱锥 的外接球半径为3，
，
，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：18.
【分析】连 交 于 ，由顶点 在底面的射影 为 的垂心，得 ，进而证明 ，由 。得 ，根据三角形相似可得， ，进而证明 两两互相垂直，将三棱锥拓展为以 为棱的长方体，可得 ，再由基本不等式，即可求出结论.
14．（2025高二下·开福期末）已知实数，当取得最小值时，则的值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，因，所以，，所以，即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则．
故答案为：.
【分析】对式子求最小值，通过式子变形，构造出能用基本不等式的形式.基本不等式（，当且仅当时等号成立 ），把原式拆分成可以应用基本不等式的几个部分，根据等号成立的条件求出、的关系，进而得到的值.
四、解答题
15．（2025高二下·开福期末）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
（3）视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）解：因为男生10500人，女生4500人，
所以抽取女生占总人数的比例为．
又因为分层抽样收集300位学生，
所以女生样本数据应收集为．
（2）解：由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.
（3）解：由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先算女生占全校总人数的比例，再用样本总数乘以该比例，得到女生样本数量；
（2）利用样本频率估计总体概率，先确定超过4小时的区间，计算对应区间的频率和，以此估计总体概率；
（3）运动时间超过4小时的概率为，结合分布列和数学期望的定义求解即可.
（1）因为男生10500人，女生4500人，
所以抽取女生占总人数的比例为．
又因为分层抽样收集300位学生，
所以女生样本数据应收集为．
（2）由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.
（3）由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
则．
16．（2025高二下·开福期末）给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上，所以，解得，，椭圆方程为，
因为，圆心为原点，
所以卫星圆的方程为.
（2）证明：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，，
②当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
联立方程，
消去得到，
则，
，满足条件的两直线、垂直，
此时线段应为“卫星圆”的直径，，
综合①②可知，为定值，.
即 弦长为定值.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）利用离心率公式、椭圆上点的坐标满足方程，联立 的关系，解出椭圆参数，进而得到“卫星圆”方程（依托圆的定义 ）.
（2）分类讨论直线斜率（无斜率、有斜率 ），无斜率时直接利用椭圆顶点与圆的直径性质；有斜率时，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式 结合韦达定理，证明两直线垂直，从而得出 是圆的直径，弦长为定值.
17．（2025高二下·开福期末）已知函数．
（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解： 由题意，可得，则或.
（2）解： 由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得.当的图象开口向下时，，所以，解得；综上，的取值范围为.
法二：的零点和的零点相同，则，所以，解得.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）确定函数有两个零点时实数的取值范围，据二次函数零点存在的条件.二次函数有两个零点，先是二次函数（即二次项系数不为 ），判别式要大于，不等式组求解.
（2）函数的两个零点分别在和内，函数是二次函数（ ），据二次函数的图象性质，当时抛物线开口向上，时开口向下，结合零点所在区间，函数在区间端点处的函数值会呈现相应的正负情况，列出关于的不等式组来求解取值范围；用函数零点与对应方程零点的等价性，构造新函数列不等式组求解（这里用开口方向讨论的方法 ）.
（1）由题意，可得，则或.
（2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得.
当的图象开口向下时，，所以，解得；
综上，的取值范围为.
法二：的零点和的零点相同，则，
所以，解得.
综上，的取值范围为.
18．（2025高二下·开福期末）已知函数的定义域为且满足，当时，.
（1）判断在上的单调性并加以证明；
（2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：令，则，∵当时，，∴，
∴在上单调递减，又∵，
∴，
∴为奇函数，∴在上单调递减.
又∵在上单调递减，
∴在上单调递减.
（2）解：由（1）可知，在上单调递减.
∵，∴，
∴，故.
∵正数为函数上的一个不动点，∴方程在上有解，
即方程在上有解，
整理得：.
令，，
设，，则，
∴在上单调递增，又，
∴，∴，
∴在上单调递减，
∴（或），
即的取值范围是（或）.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）核心思路是构造辅助函数，利用导数和函数奇偶性分析单调性，通过构造，将的单调性转化为与二次函数的单调性组合，结合奇偶性传递单调性，最终判断的单调性.
（2）通过的单调性，将的不等式转化为的范围；把转化为关于的函数，构造；通过二次求导（分析 ）确定的单调性；根据单调性确定在范围内的最小值，即为的下限，从而得到取值范围.
19．（2025高二下·开福期末）设函数，，，的极大值点为.
（1）求；
（2）若曲线，上分别存在两点，使得四边形为边平行于坐标轴的矩形，求的取值范围.
【答案】（1）解：.
当在上递增，在上递减.
故，即.
（2）解：由题意得，存在.
令，则，
由在上递增，
在上存在唯一零点.
由题意，.
令.
对于，
故条件即在上有零点.
.
（i），即，也即.
这等价于，即.
此时，在上存在在上递增，故.
而，故由零点存在定理，
在上存在零点，满足条件.
（ii）若，即，也即.
令，，又，
故，，在上递减，
则，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）利用导数求极值点的条件，结合极大值点，建立方程解出 ，依托“极值点处导数为”的性质。
（2）转化矩形存在条件为函数 有两个零点；利用 的单调性，结合换元法构造新函数；通过分析 的零点存在性（导数判断单调性 + 端点值符号 ），确定 的范围，体现“等价转化 + 函数零点分析”的思想。
（1）.
当在上递增，在上递减.
故，即.
（2）由题意，存在.
令，则，
由在上递增，
在上存在唯一零点.
由题意，.
令.
对于，
故条件即在上有零点.
.
（i），即，也即.
这等价于，即.
此时，在上存在在上递增，故.
而，故由零点存在定理，
在上存在零点，满足条件.
（ii）若，即，也即.
令，，又，
故，，在上递减，
则，不满足题意.
综上，的取值范围为.
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