24.1 圆的有关性质课件（110张ppt）2025-2026学年数学人教版九年级上册

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第四单元
24.1.1 圆
1 理解并掌握圆的有关概念.
2 能灵活运用圆的有关概念解决相关的实际问题.
3 通过解决圆的有关问题，发展学生有条理的思考能力及解决实际问题的能力.
复习巩固
情景引入
探究新知
新知讲解
探究新知
典例分析
针对训练
知识归纳
课堂练习
知识归纳
课堂练习
知识归纳
能力提升
直击中考
归纳小结
布置作业
【提问】小学阶段我们学习了圆的哪些性质？
周长：????=????????或????=2????????.
?
面积：????=????????2.
?
d
r
观察这些图片，你认识图片中的图形吗？
【提问】用什么办法可以画出一个圆？
方法一
方法二
方法三
·
O
利用图钉画圆
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
其中，固定的端点O叫做圆心.
线段OA叫做半径,一般用r表示.
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
[问题一]圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
[问题二]到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
圆的另一定义（静态）：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
一是圆心，圆心确定其位置；
二是半径，半径确定其大小．
【问题三】以定长为半径能画几个圆，以定点为圆心能画几个圆？
【问题四】确定一个圆的要素是？
以定长为半径能画无数个圆，以定点为圆心能画无数个圆.
【问题五】观察车轮形状，你发现了什么？
车轮的形状均为圆形
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，假如车轮变了形，不成圆形了，到轴的距离不相等了，车就不会再平稳.
【问题六】你知道车轮均为圆形的原因吗？
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=????????AC，OB=OD= ?????????BD，AC=BD.
?
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
例1 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
1．下列条件中，能确定一个圆的是（???????）
A．以点????为圆心 B．以10cm长为半径
C．以点????为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点????





2．画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（　　）
A．直径 B．半径 C．周长 D．面积

?
【详解】A.只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B.只确定圆的半径，不可以确定圆；
C.既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D.既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
（圆的有关概念-弦）
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.
1.弦和直径都是线段.
【提问】直径和弦是什么关系呢？
2.凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
1 判断下列说法的正误：
1)弦是直径（ ）
2)直径是弦（ ）
3)半径是弦（ ）
4)直径是圆中最长的弦（ ）
5)过圆心的线段是直径（ ）
6)过圆心的直线是直径（ ）
√
√
2 如图，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．
A.2 B.3 C.4 D.5
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
●
●
●
●
●
A
B
O
D
C
3. 如图,点A、B、C、D在⊙O上,试在图中画出以这4点中的2点为端点的弦,这样的弦共有多少条？
（圆的有关概念-弧、半圆、优弧、劣弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
⌒
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧（如图中的AB）叫做劣弧
⌒
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB）叫做优弧.
⌒
【提问】弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢？
1.弧分为是优弧、劣弧、半圆，
2.半圆是弧，但弧不一定是半圆，
3.半圆既不是劣弧，也不是优弧.
1 判断下列说法的正误：
(1)半圆是弧（ ）
(2)圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分（ ）
(3)大于半圆的弧叫做劣弧（ ）
√
2.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
⌒
⌒
解：优弧：ACD、ACF、ADE、ADC

劣弧：AC、AE、AF、AD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
3．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.
【详解】根据优弧、劣弧的概念，优弧有：AEC、AEB、ABC，共3条；劣弧有：AB、AC、AE，共3条.
?
（圆的有关概念-同心圆、等圆）
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.
能够互相重合的两个圆叫做等圆.
[补充]1）半径相等的两个圆是等圆；
2）同圆或等圆的半径相等.
B
A
（圆的有关概念-等弧）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
[结论]1）等弧的长度一定相等.
2）长度相等的弧不一定是等弧.
3）等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
【提问】长度相等的弧是等弧？
可见这两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
D
C
A
B
︵
︵
1.如图,一根3m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
2.如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
不公平，应该站成圆形.
1．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（????）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积=122????2=2x2，
∴9πx2÷2x2=92????≈14，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
?
1.什么是圆？
2.关于圆你了解哪些概念？
P81：练习.
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
第四单元
1 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
【提问】简述轴对称图形的概念？说出常见的轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形.
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
【活动一】将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
【活动二】在圆形纸片上作?O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？
观察发现：
点A与点B重合，AE与BE重合,
AC?与 BC重合，A?????与 B????重合.
?
所以AE=BE, AC?= BC?， A?????= BD
?
【证明一】已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE.
证明：连接OA、OB,
在△OAB中，
∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形
又∵ CD⊥AB,
∴AE=BE
即CD是AB的垂直平分线.
这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称.
【提问】由此你觉得垂直于弦的直径有什么特点呢？
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理：
符号语言：
∵CD是直径，CD⊥AB
∴ AE=BE， AC?= BC?， A?????= BD.
?
【提问】下列图形是否具备垂径定理的条件？为什么？
×
√
×
√
√
√
垂径定理的基本图形：
垂径定理的解题思路：
弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在Rt△OEB中，由勾股定理得：弦心距2+半弦2=半径2
?
垂径定理的解题技巧：
见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．

解：过圆心O作OE⊥AB于点E，
∵OE⊥AB
∴AE=12?AB=12?×8=4,而OE=3
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2=42+32=25
∴OA=5,即?O的半径为5cm.
?
A
B
.
O
E
4
3
1. 如图，在?O中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ．
2.如图，在?O中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= .
?
?
?
?
2
3
3
4
3
2
3
8
3.如图，在?O中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= .
?
?
r － 2
r
3
5
r2 = (r － 2)2 + 42
5
3
[结论]半径、弦长、弦心距、弓形高中，知二求二.
4.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是 .
2
3
(0,5)
?
5 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为（ ）．
A. 5? B.2 3? C.2 5? D.2
?
【详解】
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴OH=12?OP=2
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴????????=????????2?????????2=32?22=5
∴AB=2AH=2 5故选C
?
H
例2 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
【解题关键】将实际问题转化为几何问题.
37
18.5
r
r-7.23
例2 1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
37
18.5
r
r-7.23
思路：通过垂径定理，构造直角三角形，结合勾股定理，建立方程.
解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为r．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，点D是弦AB的中点，点C是AB的中点，CD就是拱高．
?
在Rt△ADO中，由勾股定理得????????2+????????2= ????????2，解得r≈27.3m
答：桥拱的半径约为27.3m
?
1 如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（ ）
A.2m B.2.5m C.3m D.5m
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r?1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC2+OB2=OC2 ,即22 +(r?1) 2 =r2，解得r=2.5 .
故选B.
2.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽
为（　　）
A.4m B.5m C.6m D.8m
【详解】连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8?5=3(m)，
∴AD=????????2?????????2=52?32=4 (m)
∴AB=2AD=2×4=8(m),故选D.
?
【提问】平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
情况二：弦不是直径
O
C
D
A
B
平分弦的直径不一定垂直于这条弦
【提问】如图，AB是?O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AD与B????相等吗？????????与BC相等吗？为什么？
（3）你发现了什么？
?
解：（1）CD⊥AB.
∵ ?AEO≌?BEO(证明过程略)
∴ ∠ AEO =∠ BEO=90° ∴ CD⊥AB
（2）相等.理由：垂径定理.
【提问】如图，AB是?O的一条弦，直径CD交AB点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AD与B????相等吗？????????与BC相等吗？为什么？
（3）你发现了什么？
?
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论：
符号语言：
∵CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥AB ， AC?= BC?， A?????= BD.
?
例3 下列说法正确的是（　　）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
D
1.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为????????中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（???）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
?
【详解】∵弦AB的长是半径OA的3倍，C为????????的中点，OC为半径，
∴????????=12????????=32????????，????????⊥????????，
∴????????=????????2?????????2=12????????=12????????，
∴????????=12????????，即????????=????????，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵????????⊥????????，
∴四边形OACB是菱形. 故选C
?
2.如图，????????为⊙????直径，交弦????????于点E，若E点为????????中点，则说法错误的是（???）
A．????????⊥???????? B．????????=???????? C．????????=???????? D．????????=????????
?
【详解】解：如图，连接????????,????????，
∵????????为⊙????直径，????点为????????中点，
∴????????⊥????????，
∴????????=????????，????????=????????，
∴????????=????????，????????=????????
故选：D．
?
1．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37????，拱高约为7????，则赵州桥主桥拱半径R约为________________m
?
【详解】解：如图，由题意可知，????????=37????，????????=7????，主桥拱半径R，
∴????????=?????????????????=?????7????，
∵OC是半径，且????????⊥????????，
∴????????=????????=12????????=372????，
在????????△????????????中，????????2+????????2=????????2，
∴3722+?????72=????2，解得：????=156556≈28????，
?
2．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．????????是⊙????的一部分，????是????????的中点，连接????????，与弦????????交于点????，连接????????，????????．已知????????=24cm，碗深????????=8cm，则⊙????的半径????????为（???）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
?
【详解】解：∵ ????????是⊙????的一部分，????是??????的中点，????????=24cm，
∴????????⊥????????，????????=????????=12????????=12cm．
设⊙????的半径????????为????cm，则????????=?????????????????=(?????8)cm．
在Rt△????????????中，∵∠????????????=90°，∴????????2=????????2+????????2，
∴????2=122+(?????8)2，∴????=13，
即⊙????的半径????????为13cm．故选：A．
?
3．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦????????长20厘米，弓形高????????为2厘米，则镜面半径为 厘米．
?
【详解】解：如图由题意得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
1.垂径定理的内容？
2.垂径定理推论的内容？
P89~90：习题24.1 第8题、第10题、第11题.
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
第四单元
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算.
3.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题.
复习巩固
探究新知
典例分析
针对训练
探究新知
知识归纳
典例分析
针对训练
直击中考
归纳小结
布置作业
【提问】简述中心对称图形的概念？说出常见的中心对称图形？
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.
【问题一】圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
【问题二】你发现了什么？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
【问题三】把圆绕着圆心旋转60°，90°，120°，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？
【问题四】你发现了什么？
圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形重合.
【提问】观察下图，它们有什么共同点？
顶点是圆心
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：　　　　　　　　　　　　　
顶点在圆心的角叫做圆心角.
观察顶点是否在圆心.　
例1 回答下面问题：
1.找出⊙Ｏ中的圆心角？
2.∠ABC是不是圆心角？并说明原因？
Ａ
Ｏ·
Ｂ
Ｃ
∠AOC、∠BOC
不是，顶点不在圆心.
1. 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
4）是圆心角，其它三个顶点不在圆心.
【问题】任意圆心角，对应会出现哪几个量？
【猜想】你觉得这几个量会有什么关系呢？
圆心角、弧、弦
【探究一】如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
B
A
A1
B1
● O
由∠AOB＝∠A1OB1得到AB=A1B1 ?????????= ????????????????
?
∵∠AOB＝∠A1OB1
∴射线OB与OB1重合
又 OA=OA1，OB=OB1
∴点A与A1重合，B与B1重合．
因此AB?与A1B1重合，弦AB与A1B1重合，
即AB=A1B1 ，AB?= A1B1
?
【探究二】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A'O'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
由∠AOB＝∠A'O'B'得到AB=A' B' ,AB?=A′B′
?
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
【提问】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不能少，理由：如图，已知∠COD= ∠AOB，但是线段CD不等于线段AB ，CD也不等于AB.
?
【探究三】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？你发现了什么？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等.
【探究四】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弧呢？你发现了什么？
·
O
A
B
B1
A1
∵△AOB≌△A1OB1（证明过程略）
∴∠AOB＝∠A1OB1
∴ ?????????= ???????????????? ??????????????????= ????????????????????
?
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等
【提问】简述同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等.
【总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
·
C
A
B
D
E
F
O
例2 AB、CD是⊙O的两条弦．
1）如果AB=CD，那么 ___________，_________________．
2）如果AB=CD?，那么 ____________，_____________．
3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________， _____________ ．
4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
?
AB=CD
?
∠AOB=∠COD
?
AB=CD
∠AOB=∠COD
?
AB=CD
AB=CD
?
∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD．
∵AO=CO，BO=DO，则△AOB ≌ △COD．
而OE、OF是AB与CD对应边上的高，
∴OE=OF．
1.如图1，AB是⊙O的直径，?????????=?????????=???????? ，∠AOE=66°，则∠COD的度数是( )
A．108° B．72° C．48° D．38°
2.如图2，已知AB是⊙O的直径，点C和点D是半圆上两个三等分点，则∠COD= .
3.如图3，在⊙O中，点C是????????的中点，∠A=70°，则∠BOC=_____.
?
60°
20°
4.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，????????=????????，∠BAO=37°，则∠AOC的度数是（　　）度.
A．74 B．106 C．117 D．127




5．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 ????????旋转n°得到????????，则????????的度数是______度．

?
【详解】解：
∵将????????旋转n°得到????????,∴????????=????????
∴∠DOC=∠AOB=20°，∴????????的度数为20度．
故答案为20．
?
6. 如图，已知∠????????????=∠????????????，下列结论不一定成立的是（ ）
A．????????=???????? B．????????=????????
C．△????????????≌△???????????? D．△????????????,△????????????都是等边三角形
7.如图，在⊙O中，AC＝BD．求证：AB＝CD
?
证明：
∵AC＝BD，∴????????=????????．
∴????????+????????=????????+????????
∴????????=????????．∴AB＝CD．
?
8.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列结论正确的个数是（ ）
①AB=CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
?
【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴????????=????????，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．
?
9．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD的度数为35°，则BE的度数是_____．
?
【详解】解：连接OD、OE，
∵AD的度数为35°，∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴BE的度数是105°．
?
10．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为????????的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A．22 B．2 C．1 D．2
?
【详解】作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接AO，OB，OQ，
∵B为????????中点，∴∠BON=∠AMN=30°，
∴∠QON=2∠QMN=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直径MN=2，∴OB=1，∴BQ=12+12=2．
则PA+PB的最小值为2．故选B．
?
1．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P=30°，∠AOC=80°，则BD的度数是（????）??
A．30° B．25° C．20° D．10°
?
1.圆具有怎样的对称性？
2.圆心角的概念？
3.在同圆与等圆中，圆心角、弧、弦之间有何关系？
P89~90：习题24.1 第3题、第12题.
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
第一课时 圆周角定理
第四单元
1 理解圆周角的定义.
2 掌握圆周角定理及推论.
3 结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法．
复习巩固
探究新知
典例分析
针对训练
探究新知
典例分析
针对训练
探究新知
典例分析
针对训练
能力提高
直击中考
归纳小结
布置作业
【提问】简述圆心角的定义？说出圆心角的判断方法？
圆心角的定义：
圆心角的判断方法：　　　　　　　　　　　　　
顶点在圆心的角叫做圆心角.
观察顶点是否在圆心.　
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
【问题一】∠ACB有什么特征？它与∠AOB有何异同？
【问题二】你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？
特征：顶点在圆上，两边都与圆相交.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
共同点
不同点
∠AOB
1.两边都与圆相交
2.两个角都是与圆有关的角
顶点在圆心
∠ACB
顶点在圆上
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
例1 下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
1.你能指出右图中的圆周角吗？
∠ADB、 ∠ACB、 ∠AEB、 ∠DAE、 ∠DBE、 ∠DAC、 ∠CAE、 ∠CBD、 ∠CBE、
【提问一】在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你发现了什么？
经过测量∠BDC=12∠BAC
?
【提问二】在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
?
圆心在圆周角一边上
圆心在圆周角内部
圆心在圆周角外部
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角一边上
证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C
又∵∠BOC＝∠A ＋∠C
∴∠????????????=12∠????????????
?
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角一边上
=>
证明：
OA=OC=>∠A＝∠C
∠BOC＝∠A ＋∠C
∠BAC=12∠BOC
?
符号“=>”读作“推出”，
“A =>B”表示由A条件推出结论B.
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角内部
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
∴∠BAD＝12∠BOD
同理∠CAD＝12∠COD
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=12∠BOC
?
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角内部
证明：连接AO并延长交⊙O于点D．
OA＝OB?∠BAD＝∠B
∠BOD＝∠BAD＋∠B
同理，∠CAD＝12∠COD．
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝12∠BOD＋12∠COD＝12∠BOC．
?
=>
∠BAD=12∠BOD
?
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角外部
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
又∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，
∴∠OAB＝12∠BOD ①
同理∠CA0＝12∠COD ②
由②?①得∠BAC=12∠BOC
?
【探究】尝试分以下三种情况验证：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
圆心在圆周角外部
证明：连接AO并延长交⊙O于点D．
OA＝OB?∠OAB=∠OBA
∠BOD＝∠OAB＋∠OBA
同理，∠CAO＝12∠COD．
∴∠BAC＝∠CAO- ∠BAO?＝12∠COD-12∠BOD＝12∠BOC．
?
=>
∠BAO=12∠BOD
?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
例2．如图，⊙O中弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【解析】
∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选D．
1.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°


2．如图，????????为⊙????直径，点????，????为⊙????上两点，若∠????+∠????????????=145?，则
∠????的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
?
【详解】∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，
∴∠D＝12∠BOC＝20°，故选A．
?
【详解】由题意得：∠DOB=2∠C，
∵∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOD+2∠C=180°，
∵∠C+∠AOD=145°，∴∠C=35°，故选B．
3.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（　　）
A．40° B．50° C．70° D．80°


4．如图，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=( )
A．90° B．180° C．270° D．360°
【详解】∵∠ABC=20°∴∠AOC=40°∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，故选：D．
【详解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
5．如图，????????????????内接于⊙????，∠????????????=30°，????????=6，则⊙????的直径等于多少？
?
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
【提问一】回顾同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
【提问二】想一想圆周角、弧、弦之间的关系吗？
【探究一】在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中，∠BAC与∠BDC同B????，∠BAC与∠BDC有什么关系？
?
证明：根据圆周角定理可知，
∠????????????=12∠????????????,?∠????????????=12∠????????????
∴∠????????????=∠????????????
?
同弧所对的圆周角相等．
【探究二】在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？
如图，在⊙O中BC?= CE ，则∠BDC与∠CAE有什么关系？
?
.
A
D
B
C
O
E
如图，作出两弧所对应的圆心角.
根据圆周角定理可知，∠????????????=12∠????????????,∠????????????=12∠????????????
又由BC?= CE可知，∠BOC=∠COE.
∴∠BDC=∠CAE
?
等弧所对的圆周角相等．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
【提问】你能归纳出圆周角的第一条推论吗？
【探究三】回答下面问题：
1.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆心角是多少？
2.如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？
3.如图2，AB为⊙O的直径，若改变点C的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？
4.如图1，在⊙O中若∠C=90°，弦AB经过圆心吗？为什么？
180°
90°
不变
∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°
∴弦AB过圆心
【提问】你能归纳出圆周角的第二条推论吗？
推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，?ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD.
∵　AB 是⊙O 的直径，
∴　?ACB=?ADB=90°．
在 Rt△ABC 中，
∵　CD 平分?ACB，∴　?ACD=?BCD，
∴　?AOD=?BOD ．∴　AD=BD．
在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2 ，
∴ AD=BD=22AB=52 cm
　
　
?
A
C
B
D
O
10
6
1.如图，????????为⊙????的直径，????,????为⊙????上两点，若∠????????????＝40°，则∠????????????的大小为（　　）．
A．60° B．50° C．40° D．20°
?
【详解】解：连接????????，
∵????????为⊙????的直径，
∴∠????????????=90°．
∵∠????????????=40°，
∴∠????=∠????????????=40°，
∴∠????????????=90°?40°=50°．
故选B．
?
2.如图，在⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等
于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°


3.如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．

65°
【详解】解:∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．
∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（　　）
A．55° B．45° C．35° D．25°


5．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）
A．10° B．14° C．16° D．26°
6.如图，在⊙A中，已知弦BC=8 DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则⊙A的半径长为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．8
【解析】作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，∴????????=????????，∴DE=BF=6，
∵CF是直径∴∠CBF=90°，
在Rt△CBF中，BC=8，BF=6，
∴CF=????????2+????????2=82+62=10
∴AC=AF=12CF=5.
故选C．
?
8. 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心？
O
7.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= .
80°
1．如图，????????为半圆????的直径，点????是弧????????上一动点（点????不与????、????重合），????是弧????????上的中点，设∠????????????=????，∠????????????=????．
1当????=50?时，求????的度数．
2猜想????与????之间的关系，并给与证明．
?
1．如图，????????是⊙????的直径，????是⊙????上一点．若∠????????????=66°，则∠????=（????）
A．66° B．33°??? C．24° D．30°
2．如图，已知点????、????、????在⊙????上，????为????????的中点．若∠????????????=35°，则∠????????????等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
?
3．如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 ．
?
【详解】解：如图，连接????????，
∵∠????????????=60°∴∠????????????=2∠????????????=120°，
∵????????⊥????????∴????????=????????，∠????????????=90°，
∴∠????????????=∠????????????=12∠????????????=60°，
∴∠????????????=90°?60°=30°
∴????????=12????????=12×2=1
故答案为：1．
?
4．如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是 ．
?
【详解】解：∵????????是⊙????的直径，∴∠????????????=90°，
∵????????=12,????????=5，∴????????=13，∴????????=12????????=132，
∵点D，M分别是弦????????，弧????????的中点，∴????????⊥????????，且????????=????????=6，
∴????????=????????2?????????2=52，∴????????=?????????????????=?????????????????=4，
故答案为：4．
?
1.圆周角的概念？
2.圆周角定理？
3.圆周角定理推论？
P88：练习第2题、第3题、第4题.
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
第二课时 圆内接四边形
第四单元
1 了解掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理．
2 结合圆内接四边形的学习，进一步培养推理论证能力．
复习巩固
探究新知
典例分析
针对训练
直击中考
归纳小结
布置作业
【提问】简述圆周角的定义？说出圆周角定理及推论内容？
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
圆周角定理推论：
【提问】回答下面问题
1）什么是圆内接三角形？
2）什么是圆内接四边形？
如果三角形的三个顶点均在同一个圆上，这个三角形叫做圆内接三角形.
如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
【提问】回答下面问题
3）什么是圆内接多边形？
如果多边形的所有顶点均在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.
这个圆叫做多边形的外接圆.
【提问】填空
如图所示，___________是⊙O的内接多边形，
_______是多边形ABCDE的外接圆.
多边形ABCDE
⊙O
【探究一】在纸上画出一个圆，再任意画一个圆内接四边形，测量四边形的度数，你发现了什么？
经过测量∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°,
【提问】圆内接四边形中，圆心与对角线有几种位置关系？
【探究】尝试分以下两种情况验证：圆内接四边形对角互补.
证明：∵BD是⊙O的直径
∴∠C=90°，∠A=90°
则∠A+∠C=180°，而四边形内角和为360°
∴∠ABC+∠ADC =180°
【探究】尝试分以下两种情况验证：圆内接四边形对角互补.
连接BO和DO
∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD
又∵ BCD和BAD所对圆心角的和为周角
∴∠A+∠C= 12 ×360°=180°
同理∠ABC+∠ADC =180°
即圆内接四边形的对角互补.
?
例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【详解】
∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝12∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
?
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE= ．
?
【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．
【详解】解：∵∠????????????=140°∴∠????????????=70°
∵四边形ABCD内接于⊙????∴∠????????????+∠????????????=180°
∴∠????????????=110°∴∠????????????=70°故答案为：70°．
?
3．若四边形????????????????是圆内接四边形，若它的内角∠A:∠C=2:3，则∠????= ．
4．如图，已知⊙O的半径为2，ΔABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．
?
72°
?
【详解】连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，∴AB=22，故答案为：22．
?
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,
∴∠A=∠E, ∴AD=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
5.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
解：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
6.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【详解】解：由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD=????????2?????????2=53，
∴∠1=60°，同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
?
1．如图，????????是⊙????的直径，D，C是⊙????上的点，∠????????????=115°，则∠????????????的度数是（????）
??A．25° B．30° C．35° D．40°
?
2．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC=2∠COD．则∠CBD的度数是（????）
?A．25° B．30°? C．35°? D．40°
?
1.圆内接多边形的概念？
2.圆内接四边形性质定理？
P88：练习第5题.
P89：习题24.1 第7题