24.2 点和圆、直线和圆的位置关系课件（116张ppt）2025-2026学年数学人教版九年级上册

第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
第四单元
24.2.1 点和圆的位置关系
1 理解与掌握点与圆的位置关系及其运用；
2 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆；
3 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
情景引入
探究新知
新知讲解
典例分析
针对训练
探究新知
典例分析
针对训练
探究新知
典例分析
针对训练
直击中考
归纳小结
布置作业
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
射击点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，射击点离靶心越近，
它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.
【问题一】观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
点在圆外：
点在圆上：
点在圆内：
点A、点C
点B
点D、点E、点F
【问题二】设⊙O半径为r，你知道点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系吗？
点A在圆内，OA ________ r;
点B在圆上，OB ________ r;
点C在圆外，OC ________ r.
＜
=
＞
【问题三】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
r
·
O
A
P
P’
P’’
d＜r
d=r
d＞r
点P 在⊙O内
点P'在⊙O上
点P''在⊙O外
符号“<=>?”读作“等价于”，
“A<=>B”表示由A条件可推出结论B,B结论可推出条件A.
【问题四】通过今天的学习，你发现了什么？
1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，
反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
3）圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；.
圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
例1 ⊙O的半径为10cm，点A、点B、点C到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、点B、点C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
圆内
圆上
圆外
1.已知⊙O的面积为25π：
1）若PO=5.5，则点P在 ；
2）若PO= 4 ，则点P在 ；
3）若PO= ，则点P在圆上；
4）若点P不在圆外，则PO__________．
2.设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，
则点P在__________.
圆外
圆内
5
≤5
圆上
3.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）
A．E、F、G B．F、G、H
C．G、H、E D．H、E、F

4.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内?

小明和小丽投出的铅球分别落在图中④、③内
5.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= 3 ，则点P在（ ）
A.在大圆内 B.在小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
?
o
例2 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
1.在同一平面内，在⊙O外有一个定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【问题一】平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
【问题二】平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？圆心在哪里？
A
B
能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
【问题三】平面上有三点A、B、C，经过已知点A、B 、C的圆有几个？圆心在哪里？
A
B
C
0
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【提问一】通过预习，你能说出三角形的外接圆的概念吗？
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
【提问二】
1）如右图，⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
2）一个三角形的外接圆有几个？
3）一个圆的内接三角形有几个？
4）你知道三角形外心的性质吗？
外接圆　
内接三角形　
一个
无数个
三角形外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
【试一试】请做出.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？
三角形内
斜边中点
三角形外
A
B
C
O
A
B
C
C
A
B
O
O
例3 判断：
1)经过三点一定可以作圆.（ ）
2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（ ）
3)三角形的外心到三边的距离相等.（ ）
4)等腰三角形的外心一定在这个三角形内.（ ）
5)已知圆心和半径可以作一个圆.（ ）
6)经过一个已知点A的圆能做无数个.（ ）
7)经过两个已知点A，B的圆能做两个.（ ）
8)经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆.（ ）
×
√
×
×
√
√
×
√
例4 如图，已知AB?，试确定AB所在的圆的圆心.
?
如图，点O即为所求.
1.如图，CD 所在的直线垂直平分线段?AB，怎么用这样的工具找到圆形工件的圆心？
?
????
?
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ________，半径是 ________．
【详解】
∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵BC与AB的垂直平分线交于点(5,2)，
∴点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，
∴点(5,2) 是三角形的外接圆圆心.
∴△ABC外接圆的半径为25
?
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、?2），则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
?
【问题一】经过同一条直线上的三个点?A，B，C?能做出.一个圆吗？如何证明你的结论？
?
B
C
????
?
????1
?
????2
?
P
A
1）假设经过同一条直线上L上的A,B,C三点可以作一个圆.
2）设这个圆的圆心为P，那么点P 即在????1上，也在????2上，即点P为????1与????2的交点.（????1是线段AB的垂直平分线，????2是线段BC的垂直平分线）
?
3）而????⊥????1， ????⊥????2这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
?
4）所以经过同一条直线上的三个点不能作圆.
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
【问题二】简述反证法的一般步骤？
1）假设命题的结论不成立;
2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例5 已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在ΔABC中，∠B≥90°?????④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（????）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
?
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤
1）假设在????????????????中，∠????≥90°
2）由????????=????????，得∠????=∠????≥90°，即∠????+∠????≥180°
3）∴∠????+∠????+∠????>180°，这与三角形内角和为180°矛盾
4）因此假设不成立．∴∠????<90°
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②
故选：D
?
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.求证：等腰三角形的底角必为锐角．

【详解】证明：如图所示，△????????????是等腰三角形，????????=????????，
假设等腰三角形的底角不是锐角，则为钝角或者直角，
∵????????=????????，∴∠????????????=∠????????????
∵∠????????????，∠????????????为钝角或直角，
∴∠????????????+∠????????????≥180°
这与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立，
∴等腰三角形的底角必为锐角．
?
3.用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°，
则∠A+∠B+∠C＞　　．
这与　　相矛盾．
∴　　不成立．
∴　　．
【答案】>，>，>，180°，内角和为180°，假设，求证的命题正确．
?
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，????1∥????2，????1，????2都被????3所截．
求证：∠1+∠2=180°．
证明：假设∠1+∠2　　180°，
∵????1∥????2，∴∠1　　　∠3，
∵∠1+∠2≠180°
∴∠3+∠2　　180°，这与　　　矛盾，
∴假设∠1+∠2　　180°不成立，即∠1+∠2=180°；
?
【详解】≠；=；≠；平角为180°；≠．
?
1．如图，在△????????????中，∠????????????=90°，????????=5，BC=4．以点????为圆心，????为半径作圆，当点????在⊙????内且点????在⊙????外时，????的值可能是（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
?
【详解】解：∵在△????????????中，∠????????????=90°，????????=5，BC=5，
∴????????=????????2?????????2=3，
∵点????在⊙????内且点????在⊙????外，
∴????????观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
?
2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（????）
??A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（????）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
?
4．如图，△????????????是⊙????的内接三角形．若∠????????????=45°，????????=2，则⊙????的半径是 ．
5．如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△????????????的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△????????????外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
?
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：12+22=5，
则外接圆半径????=5，
图中D点到O点距离为：12+22=5=????，
图中E点到O点距离为：12+32=10，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
?
1.简述点与圆的位置关系？
2.简述三角形的外接圆和三角形外心的概念？
P101~102：习题24.2 第1题、第7题、第9题
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第一课时）
第四单元
1 理解直线和圆的三种位置关系．
2 经历类比点和圆的位置关系研究直线和圆的位置关系的过程，体会类比思想，分类思想以及数形结合思想．
复习巩固
情景引入
探究新知
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
【提问】点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
r
·
O
A
P
P’
d＜r
d=r
d＞r
点P 在⊙O内
点P’在⊙O上
点P”在⊙O外
晓日
天际霞光入水中，
水中天际一时红.
直须日观三更后，
首送金乌上碧空.
【问题一】古诗前两句的意思是什么？
天边霞光映入水中，一时间水天相接的天际一片通红.
【问题二】如果从数学的角度来分析，把水面当作一直线，太阳当作一个圆，请同学们利用手中的纸片圆和笔，再现海上日出过程？
【问题三】再现海上日出过程中，你认为直线和圆有几种位置关系吗？分类依据是什么？
1
2
3
直线l(水面）
根据直线与圆之间公共点的数量分为以下三类情况：
直线和圆有两个公共点
直线和圆只一个公共点
直线和圆没有公共点
【问题四】通过预习，你能根据直线与圆之间公共点个数下定义吗？
1）直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离.
2）直线与圆只有一个公共点，称为直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点.
3)直线与圆有两个公共点，称为直线与圆相交.
这条直线叫做圆的割线.
切点
切线
割线
【练一练】判断下面图片中直线与圆的位置关系？
相交
相离
相交（上）
相切（下）
相交
【问题五】结合探究点与圆位置关系的过程，你能否用相关的数量来判别直线与圆的位置关系？
设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
r
·
O
A
l
l’
l’’
d＜r
d=r
d＞r
直线l与⊙O相交
直线l'与⊙O相切
直线l''与⊙O相离
d
例1 已知圆的直径为14cm，设直线和圆心的距离为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆　　 , 直线与圆有____个公共点.
2)若d= 7cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
3)若d= 8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
1．在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（????）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
2．设⊙O的半径为4cm，直线L上一点A到圆心的距离为4cm，则直线L与⊙O的位置关系是______．
【详解】∵直线上一点到圆心距离为4cm，
∴圆心到直线的距离≤4cm，∴直线与圆相切或相交．
故答案为：相切或相交
例2 已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
3)若AB和⊙O相交, 则 .
d > 6 cm
d = 6 cm
0 cm ≤ d < 6 cm
1．如图，已知RtΔABC中，∠C=90?，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（??????）
A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤r≤4 D．3≤r≤4
?
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5
∵12CD?AB=12BC?AC∴CD=125
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为125≤r≤4
故选：C
?
2．在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，O是AB上的一点，OA=m，⊙O的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，
1）AC与⊙O相交？2）AC与⊙O相切？3）AC与⊙O相离？
?
【详解】解：如图，过点O作OD⊥AC于D，
∵∠C=90°，OD⊥AC，∴OD//BC，
∴∠DOA=∠B=30°，∴AD=12OA=12m，∴OD=OA2?AD2=32m，
∴（1）当r>32m时，AC与⊙O相交；
（2）当r=32m时，AC与⊙O相切；
（3）当0?
3．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当 时，圆O与坐标轴有4个交点；
r=3
?
3?
r=4或5
?
r>4且r≠5
?
例3 已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
例4．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
1.?⊙????的圆心到直线????的距离为3cm，⊙????的半径为1????????，将直线????向垂直于????的方向平移，使????与⊙????相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm
?
【详解】
解:如图,
当直线????向上平移至????′位置时,平移距离为3-1=2厘米;
当直线????向上平移至????″位置时,平移距离为3+1=4厘米.
故答案选:D.
?
1．如图，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B,C两村庄，现要在B,C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC=45°，∠ACB=30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计进行说明?
?
【详解】过点A作AD⊥ BC于点D
∵∠ABC=45°，∠ACB=30°
∴ BD=AD??， AC=2AD
DC=AC2?AD2=(2AD)2?AD2=3AD
∵BC=1000m∴BD+CD=AD+3AD=1000
∴AD=500(3?1)????
而AD=500(3?1) >300
∴公路不会穿过森林公园．
?
1.圆与直线有几种位置关系？分别是什么？
2.如何判断直线与圆的位置关系？你有几种方法？
P96：练习
P101：习题24.2 第2题
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第二课时）
第四单元
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
复习巩固
探究新知
新知讲解
归纳小结
典例分析
针对训练
探究新知
典例分析
针对训练
直击中考
归纳小结
布置作业
【提问一】判定直线和圆的位置关系的方法有几种？
【提问二】直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线与圆相切？
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
1）根据定义，由直线与圆之间公共点个数来判断；
2) 根据数量关系，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
直线与圆的位置关系有三种：相切、相交、相离.
判定直线与圆相切的方法有两种：
1）根据定义，当直线与圆之间只有1个公共点时，直线与圆相切；
2) 根据数量关系，当圆心到直线的距离d与半径r相等时，直线与圆相切.
【问题一】已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
【问题二】填空
(1)直线l与⊙O有______个交点
(2)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
(3)直线l和⊙O半径r的位置关系是______
(4)由此你发现了什么？
O
A
D
l
方法不唯一
d=r
垂直
1
1）直线l经过半径OA的外端点A.
2) 直线l垂直于半径OA.
则直线l与⊙O相切.
这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法-切线的判定定理.
l
A
o
切线的判定定理：
∵OA⊥l于点A,OA是半径
∴直线l是⊙O的切线．
符号语言：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【提问】要使直线l是⊙O的切线需要满足哪些条件？
①经过半径的外端；②垂直于这条半径．
两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
例1 判断下列各直线是不是圆的切线？若不是，请说明原因？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2)(3）不是，因为没有经过半径的外端点A.
1. 判断下列命题是否正确
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
证明： 过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴ _______________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,
∴______________________（ ）
∴__________（ ）
即OE是⊙O的半径,∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线( )．
OD⊥AB
AO是∠BAC的平分线
三线合一
OE=OD
角平分线性质
切线的判定定理
2. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
3. 已知:直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证:直线AB是⊙O的切线．
证明：连接OC,
∵OA=OB，CA＝CB,
∴OC⊥AB.
∵直线AB经过⊙O上的点C,
∴OC是半径
∴直线AB是⊙O的切线.
【利用切线判定定理解题思路一】已知公共点，连半径，证垂直.
4.已知:OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6．
求证:直线AB是⊙O的切线．
证明：过点O作OC⊥AB于C,
∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4.
在Rt△AOC中,根据勾股定理可得：OC=3
∵⊙O的直径为6 ∴OC是⊙O的半径
∴直线AB是⊙O的切线.
【利用切线判定定理解题思路二】未知公共点，作垂线，证半径.
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．
若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
证明：连接AC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．
∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
6.1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两 种情况）：① _________ ；② _____________ .
2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,
则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角,
∴ ∠D=∠B,
又∵ ∠CAE=∠B, ∴ ∠D=∠CAE,
∴ ∠DAC+∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
D
【问题一】如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
证明：
(1)假设OA与直线l不垂直;过点O作OP⊥直线l于点P
(2)因为点到直线的距离垂线段最短，所以OP?OA,即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，因此l与⊙O相交，这与已知条件“直线l是⊙O的切线”相矛盾；
(3)所以假设不成立,OA⊥直线l．
P
【问题二】你发现了什么？
切线的性质定理：
∵直线l是⊙O的切线，点A的切点
∴OA⊥直线l
符号语言：
l
A
o
圆的切线垂直于过切点的半径．
例2 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，由勾股定理得
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
1.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°

3．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(???)
A．55° B．70° C．110° D．125°
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
故选B．
4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
【详解】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
1．如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB=AC，则下列说法错误的是（????）
A．AD⊥BC B．∠CAB=90° C．DB=AB D．AD=12BC
2．如图，????????是⊙????的半径，????????是⊙????的弦，????????⊥????????于点D，????????是⊙????的切线，????????交????????的延长线于点E．若∠AOC=45°，????????=2，则线段????????的长为 ．
?
2
?
3．如图，△????????????是⊙????的内接三角形，????????是⊙????的直径，点????是????????的中点，????????//????????交????????的延长线于点????．
（1）求证：直线????????与⊙????相切；
（2）若⊙????的直径是10，∠????=45°，求????????的长．
?
【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图，
∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，
∵DE//BC∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径∴直线DE与⊙O相切；
?
3．如图，△????????????是⊙????的内接三角形，????????是⊙????的直径，点????是????????的中点，????????//????????交????????的延长线于点????．
（1）求证：直线????????与⊙????相切；
（2）若⊙????的直径是10，∠????=45°，求????????的长．
?
（2）∵AC是⊙O的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，OC=OA=12AB=5
∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB
∵∠BAC=45° ∴∠DOE=45°
∵∠ODE=90° ∴∠OED=45 ∴DE=OD=OC=5
由勾股定理得，OE=52
∴CE=OE?OC=52?5．
?
4．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
?
【详解】（1）证明：连接????????．
∵????????为⊙????切线，∴∠????????????=∠????????????=90°
又∵????????∥????????，∴????????????=∠????????????，∠????????????=∠????????????
且∠????????????=∠????????????，∴∠????????????=∠????????????，
在△????????????与△????????????中????????=????????∠????????????=∠????????????????????=????????，∴△????????????≌△????????????，
∴∠????????????=∠????????????=90°
∴直线BE与⊙????相切．
?
4．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线与点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
?
（2）设半径为????；
则：????2+42=(2+????)2，得????=3；
在直角三角形????????????中，????????2+????????2=????????2，
(2+3+3)2+????????2=(4+????????)2，
解得????????=6
?
1.切线的判定方法有几种？分别是什么？
2.切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？
3.简述在应用切线的判定定理和性质定理时，常见辅助线的添加方法？
P101~102：习题24.2 第4题，第5题，第12题
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第三课时）
第四单元
1 了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理，并会用其解决有关问题．
2 经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想和方程思想．
探究新知
新知讲解
探究新知
新知讲解
典例分析
针对训练
探究新知
新知讲解
归纳总结
探究新知
典例分析
针对训练
能力提升
直击中考
归纳小结
布置作业
【问题一】在同一个平面内，有一点P和⊙O，则点P和⊙O有几种位置关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
【问题二】过点P能否作⊙O的切线？如果能，说明作法？如果不能，说明理由？
点P在⊙O内
过点P的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.
点P在⊙O上
作法：
①连接OP；
②过P点作已知线段OP的垂线l，直线l即为⊙O的切线.
l
【问题二】过点P能否作⊙O的切线？如果能，说明作法？如果不能，说明理由？
作法：连接OP
①作线段OP的中点M；
②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M ,与⊙O交于A,B两点；
③作直线PA,PB，则直线PA,PB即为⊙O的两条切线.
【问题三】你发现了什么？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
过圆外一点可以作圆的______条切线；
过圆上一点可以作圆的______条切线；
过圆内一点可以作圆的______条切线 .
2
1
0
P
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．
A
O
切线长的定义：
1）切线是直线，无法度量.
2）切线长是圆外一点与切点之间的距离，
可以度量．
【提问】简述切线与切线长的区别？
【问题四】 若PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，通过几何画板演示，你发现了什么？
PA = PB，∠APO=∠BPO
和同桌一起交流，你能用学过的知识证明这两个结论吗？
【问题五】已知：线段PA，PB切?O于点A，B，连接OP，AO，BO
证明：1）PA=PB 2）∠APO =∠BPO
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA,PB⊥OB
即：∠OAP=∠OBP=90°
又∵ AO=BO，OP=OP
∴ Rt△APO≌Rt△BPO（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
∵PA，PB切?O于点A，B
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP
1）图中有哪些相等关系？
2）若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？
3）OP和AB有怎样的位置关系？
4）连结OA、OB，则图中和∠OAC相等的角有哪些？
5）图中和∠ABP相等的角有哪些？
PA=PB，AO=BO
相等
OP垂直平分AB
∠APO，∠BPO，∠OBA
∠BAP，∠AOP，∠BOP
1 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
2 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25

【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故选：C．
3．如图，PA,PB切⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D．若ΔPCD的周长为3，则PA的值为（??）
A．32 B．23 C．12 D．34
?
【详解】∵PA,PB切⊙O于A,B两点，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D
∴PA=PB,CA=CE,DE=DB
∴ΔPCD的周长为PC+CA+PD+DB=2PA=3
∴PA=32 故选：A．
?
4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
【详解】解：如图，连接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，OA，OB是半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，∴PO是∠APB的平分线，
∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA＝4，
在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝OP2?OA2=23，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，∴PA＝PB＝23，
∵CD切⊙O于点E，∴AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝43，
故答案为：43．
?
【提问一】一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切？
1）按要求截出圆的圆心应满足什么条件吗？
2）如何画出这个圆呢？
圆心到三角形三条边的距离都等于半径.
作法：
1)作∠B和∠C的平分线BM和CN交于点O，
2)过点O作OD⊥BC于点D，
3)以O为圆心，OD为半径作圆.
则⊙O为所求的圆.
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点）.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}圆心的名称
圆心的确定方法
图形
圆心的性质
外心
内心
三角形三边
中垂线的交点
三角形三条
角平分线的交点
1)OA=OB=OC
2)外心不一定在三角形的内部．
1)到三边的距离相等；
2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3)内心一定在三角形内部．
【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
A
B
C
D
E
F
0
连接DO,OE,OF
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆
∴EC=FC,AF=AD,BD=BE
∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°,DO=OE
∴四边形DOEB是正方形
∴BD=BE=r
则AC=(AB- r)+(BC- r)，r= 12(AB+BC-AC)
?
r
r
BC-r
BC-r
AB-r
AB-r
【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
B
C
D
F
0
E
分别连接AO,BO,CO,DO,OE,OF,显然DO⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC设AB=a，BC=b，AC=c
A
a
b
c
S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
= 12????????+ 12????????+12????????
=12r(a+b+c)
?
而S△ABC= 12ab
?
∴12r(a+b+c)=12ab，化简得r(a+b+c)=ab
?
∴????=????????????+????+????
?
【思考】直角三角形内切圆半径与三角形三边有什么关系？
已知Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点E、F、D,∠B=90°,若⊙O的半径为r
求证：⊙O的半径r与AB,BC,AC的关系？
B
C
D
F
0
E
A
a
b
c
设AB=a，BC=b，AC=c
在Rt△ABC中，????2+????2=????2???????
????2+????2+2ab= ????2??+2ab
(????+????)2- ????2??= 2ab
(????+????+????)(a+b-c)= 2ab
????????????(a+b-c)=2ab,
∴r= 12(a+b-c)

?
【提问二】你发现了什么？
1）三角形内切圆半径公式：????=2????????
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：????=????+?????????2或????=????????????+????+????.
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
?
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长.
A
F
O
E
B
D
C
x
x
13
13-x
13-x
9-x
9-x
14
9
解：设AF=x，则AE=x，
∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.
由 BD+CD=BC，可得
(9-x) + (13-x)=14
解得，x=4
则AE=4,BD=5,CE=9
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长.
解：设AF长为x,BD长为y，EC长为z
x+z =13
y+z =14
x+y = 9
解得x=4，y=5，z=9
则AE=4，BD=5，CE=9
A
F
O
E
B
D
C
x
x
13
z
z
y
y
14
9
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则△ABC内切圆
半径为__________．
2.如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为_______.
2
【详解】
设DE、BD、BC、CE与I的切点分别为F、 G、H、M，
由切线长定理知：BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；
则AG+AM=AB+AC?BC=11；
所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE
=AG+AM=11.
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
A
B
C
O
D
E
F
解：连接OE，OF，
∵ ∠B＝60°，∠C＝70°∴∠A=50°
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AB⊥OF，AC⊥OE，则∠AFO=∠AEO=90°
在四边形AFOE中，∠EOF= 360°－(∠A+∠AFO+∠AEO)
= 360°－(50°+90°+90°)
= 130°
∴∠EDF= 12∠EOF=65°
?
4．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（????）
A．2 B．3 C．3 D．23
?
【详解】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60?，
∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=12∠ABC=30?，
∵⊙O切BC于D，∴∠ODB=90?，
∵OD=1，∴OB=2，
由勾股定理得：BD=22?12=3，同理求出CD=3，
即BC=23.故选D.
?
1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=???????????????????????????????（其中a，b，c是三角形的三边长，p=????+????+????2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=????+????+????2=6∴S=???????????????????????????????=6×3×2×1=6
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
?
【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=????????+????????+????????2=5+6+92=10，
∴S=???????????????????????????????=10×5×4×1=102；
故△ABC的面积102；
?
1.已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=???????????????????????????????（其中a，b，c是三角形的三边长，p=????+????+????2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=????+????+????2=6∴S=???????????????????????????????=6×3×2×1=6
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
?
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径r为2．
?
【详解】解：如图，过点????作????????⊥????????,????????⊥????????，
∵????是△????????????的内心，∴????????=????????,????????=????????,????????=????????，
设????????=????????=????,????????=????????=????，
∵BD＝10，∴????????=????????=10?????，
∴????????=????????+????????=????+10?????,????????=????????+????????=????+????+4，
∵????????=????????，∴????+10?????=????+????+4，解得????=3，
∴????????=?????????????????=10?3=7，
故选B．
?
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r?，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴12(????????+????????+????????)????=12?????????????????，∴r=2，
∴S四边形AEOF=r?=4，故选A.
?
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(????)
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2.简述圆的切线和切线长的区别？
3.什么是三角形的内切圆和内心？
P101~102：习题24.2 第6题，第14题