8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
内容和内容解析
内容
空间点、直线、平面的位置关系
内容解析
空间点、直线、平面之间的位置关系是高中立体几何学习的基础内容.研究空间点、直线、平面之间的位置关系主要是让学生直观感知、操作确认，结合模型和实例，归纳出这些位置关系，并学会用符号语言来表示这些位置关系.
通过前几节内容的学习，学生完成了对立体图形的整体认识，学生掌握了空间中点线面关系的3个基本事实，和3个推论．接下来进入立体图形的局部精细研究，构成立体图形的基本元素是点、直线和平面，学生可借助这些结论和生活实际对空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的关系进行总结和概括．这些感性认识为后面章节研究它们关系的判定和性质奠定了初步的基础．
本节研究空间中点、直线、平面这三个基本要素之间的关系，其中点与直线、平面的位置关系比较简单.空间不重合的两条直线有三种位置关系，结合对长方体的观察，在指出相交与平行两种位置关系及其公共点个数的基础上，指出长方体中存在两条直线没有公共点，也不同在任何一个平面内的情况.从有无公共点的角度，空间两条直线的位置关系也有三种：有且只有一个公共点——相交直线；没有公共点——平行直线或异面直线.
与直线间的位置关系类似，在直观感知、操作确认的基础上将位置关系和直线与平面的公共点的个数联系起来.
由观察结果归纳两个平面的位置关系的区别在于他们是否有公共点，这与平面内两条直线的位置关系类似.先直观感知再操作确认，从具体到一般，知识的形成水到渠成．
数学追求表达形式的简洁明了，空间中的几何对象可以用数学符号表征．空间中直线、平面之间的位置关系也一样，能用数学符号表达其几何关系，文字语言、图形语言和符号语言的相互转换，是本节课中数学抽象的具体体现，也为后续逻辑推理素养的落实奠定基础．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：通过对长方体和生活中实物的观察，归纳空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系；能够对上述关系进行符号表示，能在文字语言、图形语言和符号语言之间相互转换.
二、 目标和目标的解析
1.目标
（1）结合长方体和生活中的实物，通过直观感知、操作确认归纳空间点、直线、平面之间的位置关系．
（2）能用自然语言、图形语言、符号语言表示空间点、直线、平面之间位置关系．
（3）再结合模型和实例展示，增强空间想象能力，提升数学抽象和逻辑推理素养.
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）学生能借助长方体等模型通过直观感知、操作确认的方法，归纳出点、直线、平面之间的位置关系.
（2）学生能通过集合中元素与集合、集合与集合的关系，来表达点与直线间的点在线上、点在线外；点与面间的点在面内、点在面外；直线与平面间线在面内、相交、平行；直线与直线间同一平面的相交、平行，不同在任何一个平面内的异面直线；平面与平面的平行、相交等的所有可能的位置关系．并通过自然语言、符号语言、图形语言描述位置关系.
教学问题诊断分析
学生数学基础能力和数学抽象能力较弱、对于空间中点、直线、平面之间的位置关系不能直接抽象，归纳出具体的位置关系，但是学生观察能力强，通过长方体中的点、棱与面的观察可以找出点与直线、点与平面、直线与平面、直线与直线、平面与平面之间的关系，本节课主要是感知这些关系，并用基本图形语言、自然语言和符号语言来描述．
学生在学习时可能出现的障碍为：
（1）学生对于长方体的直观感知，不能从整体到局部将点、直线、平面间的关系梳理全面.
（2）不能归纳出异面直线不共面的本质属性——两条直线不同在任何一个平面内，而不只是不在同一平面内，即这两直线既不平行也不相交.
（3）对于元素与集合、集合与集合之间的关系遗忘，在用符号语言描述点、直线、平面的位置关系时含糊不清，存在符号语言表达不准确.
本节课的教学难点是：异面直线的理解，及空间点、直线、平面间位置关系的三种语言的转化.
突破难点的策略：
（1）通过对模型的直观感知，操作确认，使学生更清晰直观的理解点、直线、平面的位置关系，并通过小组合作经历对空间点、直线、平面位置关系的自然语言、图形语言、符号语言的转化提升数学抽象、直观想象的核心素养.
（2）通过正、反实例帮助学生理解异面直线的本质属性.
四、教学过程设计
当太阳从东方的地平线徐徐升起时，太阳与海平面的位置关系可以看作点与平面的关系；小鸟站在高压线上，小鸟和高压线的关系可以抽象出点与直线的位置关系，在繁华都市里，充满现代感的高楼大厦，楼顶与地面平行，相邻侧面相交，这些都是点、线、面的关系在生活中的体现.那么，空间点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
设计意图：通过感受生活实例，直观感知空间中物体之间的位置关系，抽象出平面中的点、直线、平面之间的位置关系，提出问题，引入新课．
复习回顾
问题1：构成多面体的基本元素是什么？点与直线、点与平面之间有哪些位置关系？如何用图形语言和符号语言表示？
【预设】 点、直线、平面 ； 点在直线上，点不在直线上，点在平面内，点不在平面内（图形语言和符号语言略）
问题2：上面关于“点”我们研究了点与直线、点与平面的关系，那么关于“线”、关于“面”还要研究哪些位置关系？
设计意图：通过复习上节所学知识，建立知识间的联系，明确探究方向，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）探索新知
探究一：空间两直线间的位置关系
观察：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些直线间的位置关系吗？你能借助工具进行操作确认这些位置关系吗？
活动1:小组合作探究长方体ABCD-A’B’C’D’的12条棱中，棱AB与其它棱有几种位置关系？
活动2:拿出2支笔并抽象成两条直线，确认并界定空间两直线的位置关系
预设1：平行、相交（既不平行，也不相交）
预设2：可以从是否共面的角度进行界定，也可以从公共点的个数的角度来界定
师生活动：教师引导学生，结合对长方体的观察，通过直观感知、操作确认空间不重合的直线与三种位置关系，在指出相交和平行两种位置关系及其公共点个数的基础上，指出长方体中存在两条直线既没有公共点，也不同在任何一个平面的情况，接着给出生活中的实例进一步加深对异面直线的理解，进而给出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．并指出空间两条直线的位置关系有三种，异面、平行和相交.
设计意图：教学中遵循具体到抽象的原则，通过用长方体模型和教室以及生活中的实例抽象概括，得到空间直线与直线的位置关系．
追问1：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
师生活动：教师帮助学生进一步理解异面直线，除正例外，还可以举出“反例”，要指出“不共面”是指这两条直线不同在任何一个平面内，而不只是“不在同一个平面内”，明确两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交也不平行.
设计意图：在上一节学面的图形语言的基础上，让学生进一步发展数学抽象、直观想象素养.通过反例加深学生对异面直线的直观理解.
追问2：如何用图形语言和符号语言表示这些位置关系？小组合作完成。
师生活动：教师引导学生，画异面直线为表示不共面，常以平面衬托，否则很难画出让人一目了然的两条异面直线，教师给出画法，要求学生在笔记本上画出.
探究二：空间直线、平面间的位置关系
活动3:类比活动一，分两组合作探究空间直线与平面、平面与平面间位置关系，并用3种语言进行进行表示。
学生活动：学习小组独立完成，探究空间中直线、平面的位置关系并进行展示汇报。
教师活动：巡视并指导。注意强调直线在平面内，应把直线画在表示平面的平行四边形内，直线在平面外，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外，其中直线与平面相交被挡住部分不画或者画虚线.
活动预设1
空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线 a 在平面α内 直线 a 在平面α外
直线 a 与平面α相交 直线 a 与平面α平行
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
活动预设2
空间中面与面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
设计意图：类比空间两直线位置关系的探究过程，培养学生学习立体几何的基本方法，并加深学生对直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系的理解，掌握用数学符号表达其几何关系，以及文字语言、图形语言和符号语言的相互转换.
四、达标检测
1．判断正误
(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．(　　)
(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．(　　)
(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。
解：在（1）中，
在（1）中，
五、课堂小结
(1)本节课你学到哪些知识？体验了哪些数学思想？
六、作业布置:P131习题8.4第4、9、10题.