第二十一章 一元二次方程 专题--根与系数的关系综合解答题 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 专题--根与系数的关系综合解答题 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
1．已知关于x的方程x2-(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若两不相等的实数根满足--=-9，求实数k的值.
2．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
3．已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点所形成的数图象是否经过点，并说明理由．
4．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
5．关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
6．已知关于的一元二次方程．
（1）为何值时，方程有一根为零？
（2）为何值时，方程的两个根互为相反数？
（3）是否存在，使方程的两个根互为倒数？若存在，请求出的值；不存在，请说明理由．
7．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．
8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
10．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
11．已知关于x的两个一元二次方程：
方程①： ；
方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3=0．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值
（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．
12．判断关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根的情况，并直接写出关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m+3＝0的根及相应的m的取值范围．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根小于0，求出m的取值范围．
14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
15．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
参考答案
1．(1)k>；
(2)k=0.
【分析】（1）由根的判别式和一元二次方程的意义可以得出有关k的不等式组，再解这个不等式组就可以求出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系就可以表示出x1、x2的积与和，再将原式变形就可以求出k值．
【详解】（1）解：由已知可得，△=[-（2k+3）]2-4·1·k2=12k+9>0
∴k>；
（2）解：由已知可得，x1+x2=2k+3， x1x2= k2，
∴--=3-（x1+x2）2=3k2-（2k+3）2 =-3k2-12k-9=-9，
∴k2+12k=0，
∴k1 =0，k2=-12，
又k>，
∴k =0．
【点睛】本题考查根与系数的关系，根的判别式，能够熟练运用根的判别式是解决本题的关键．
2．（1）详见解析
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
3．（1）证明见解析；（2）m≥2；（3）经过，理由见解析.
【分析】（1）由△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m2≥0知方程有两个实数根；
（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；
（3）先由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（-5，9）代入验证即可．
【详解】（1）证明：∵b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）解：∵x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系．
4．（1）；（2）4
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解；
（2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解．
【详解】（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
【点睛】本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键．
5．解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【详解】(1)∵方程有实数根，
∴△=22 4(k+1)≥0，
解得k ≤0
故k的取值范围是k≤0．
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得= 2,=k+1，
= 2 (k+1)
由已知,得 2 (k+1)< 1，解得k> 2
又由(1)k≤0，
∴ 2∵k为整数，
∴k的值为 1或0．
6．（1）7；（2）1；（3）不存在实数m，使方程的两个根互为倒数.
【详解】试题分析：（1）把x=0代入一元二次方程求出m的值，（2）两根互为相反数，则两根之和为0，解得m，（3）首先由两根之积互为倒数，求出m的值，然后验证根的判别式是否大于0．
试题解析：（1）若方程的一个根为零，
则m 7=0，
解得m=7，
(2)若方程的两个根互为相反数，
则两根之和为0，
故 =0，
解得m=1，
(3)若方程两根互为倒数，
则=1，
解得m=15，
当m=15时，方程是8x2 14x+8=0，即4x2 7x+4=0，根的判别式△= 15<0，
故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数．
7．（1） k＞；（2）3．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）由韦达定理知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k－1）2+1＞0，可以判断出x1＞0，x2＞0．将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．
【详解】解：（1）由题意知＞0，
∴[－（2k－1）]2－4×1×（k2－2k+2）＞0，
整理得：4k－7＞0，
解得：k；
（2）由题意知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k+1）2+1＞0，
∴x1，x2同号．
∵x1+x2=2k－1＞=，
∴x1＞0，x2＞0．
∵|x1|－|x2|，
∴x1－x2，
∴x12－2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2－4x1x2=5，
代入得：（2k－1）2－4（k2－2k+2）=5，
整理，得：4k－12=0，
解得：k=3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
8．（1）m≤；（2）m＝．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x12-x22=0得x1+x2=0或x1-x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．
【详解】解：（1）由题意有 =（2m-1）2-4m2≥0，
解得m≤，
即实数m的取值范围是m≤；
（2）由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝，
∵＞，
∴m＝不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2，
∴ =0，由（1）知m＝，
故当x12-x22=0时，m＝．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式正确计算是本题的解题关键．
9．（1）（2）不存在
【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0
即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴当k≤时，原方程有两个实数根；
（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，
由x1·x2-x12-x22≥0，
得3x1·x2-（x1+x2）2≥0
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，
整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
10．(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)成立
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；
把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去.
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，
Δ=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②，
把①代入②得：
m2≤4，
∴|m|≤2成立．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
11．（1）k=﹣4；（2）证明见解析；（3）5；
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1+≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+）×（-1）=0，求出k的值即可.（2）计算第2个方程的判别式得△2=（2k+3）2+4＞0，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，（3）设a 是方程①和②的公共根，利用方程解的定义得到（1+）a2+（k+2）a-1=0 ③，a2+（2k+1）a-2k-3=0④，利用③×2（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，由⑤+④得（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】（1）∵方程①有两个相等的实数根，
∴ ，Δ1=0，
则k≠﹣2，△1=b2﹣4ac=（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8，
则（k+2）（k+4）=0，
∴k=﹣2，k=﹣4，
∵k≠﹣2，
∴k=﹣4；
（2）∵△2=（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，
∴无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根．
（3）根据a是方程①和②的公共根，
∴③， a2+（2k+1）a﹣2k﹣3=0④，
∴③×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，
⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，
代数式=（a2+4a﹣2）k+3a2+5a=（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5．
故代数式的值为5．
【点睛】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．当m＝0时，x＝3；当m＜且m≠0，x1＝，x2＝；当m＝，x1＝x2＝7；当m＞，方程没有实数解
【分析】当m＝0时，方程为一元一次方程﹣x+3＝0，易得x＝3；当m≠0时，方程为一元二次方程，利用判别式的意义，当△＝16m+1＞0，可求出两个不相等的实数解；当△＝﹣16m+1＝0可求出方程两相等的实数解；当△＝﹣16m+1＜0，方程没有实数解．
【详解】解：当m＝0时，方程化为﹣x+3＝0，解得x＝3；
当m≠0时，当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＞0，解得m＜，方程的解为x1＝，x2＝；
当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＝0，解得m＝，方程的解为x1＝x2＝7；
当△＝（2m﹣1）2﹣4m（m+3）＝﹣16m+1＜0，解得m＞，方程没有实数解．
综上所述，当m＝0时，x＝3；当m＜且m≠0，x1＝，x2＝；当m＝，x1＝x2＝7；当m＞，方程没有实数解．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的应用,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根的判别式.
13．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）只要证明方程的判别式即可；
（2）解方程求出方程的根，进而可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴
∴方程总有两个实数根．
（2）解：，
∴，
∵方程有一个根小于0
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和方程的求解，正确理解题意、熟练掌握方程根的判别式与方程根的个数之间的关系是解题的关键．
14．（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或
【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.
试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1 x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+．
15．（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k） -4×2（k-1）=4k -8k＋8="4(k-1)" ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ＋x ＝,x x =
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
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