第二十一章 一元二次方程 专项--一元二次方程的根与系数的关系 提升练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 专项--一元二次方程的根与系数的关系 提升练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．若方程的两个实数根为，，则的值为（ ）
A．12 B．3 C．7 D．4
3．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．若为一元二次方程的两个根，则( )
A． B． C． D．
5．如果－5是一元二次方程的一个根，那么方程的另一根是（ ）
A．5 B．0 C． D．
6．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
7．一元二次方程的两个根分别是，则的值是（　　）
A．3 B．7 C． D．11
8．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
9．若是关于的方程的一个根，则此方程的另一个根（ ）
A．-5 B． C．5 D．
10．若，且为一元二次方程的一个根，则该方程的另一根为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
12．写出一个解为1和2的一元二次方程： ．
13．如果是关于的一元二次方程的两个实数根，则= ．
14．已知a，b是一元二次方程的两根，则 ．
15．已知3是关于x的方程的一个根，则另一根为 ．
16．设是方程 的两个根，且－＝1,则m= .
17．若实数、、满足，，，则的取值范围是 ．
18．设是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
20．已知关于的方程：，其中是常数．
(1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值．
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求的整数值．
22．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．
23．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
24．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“________倍根方程”；
(2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A B B D C C
1．C
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值大于0，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．
2．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案.
【详解】解：∵方程的两个实数根为，，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握根与系数关系的内容是解题的关键.
3．B
【分析】设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得： =2，解得 x1=2．
故选:B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程
ax +bx+c=0(a≠0)的两根之积等于是解题的关键．
4．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴=．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
5．A
【分析】先把方程化一般式为x2－m=0，设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得－5＋t=0，然后解一次方程即可得到答案．
【详解】解：方程化为x2－m=0，
设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得－5＋t= 0，
解得：t=5，
∴方程的另一个根为5，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，
，
故选：B．
7．B
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系．
8．D
【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．
【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．
9．C
【分析】根据，代入计算即可．
【详解】∵是关于的方程的一个根，另一个根为，
∴，
解得=5，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
10．C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，则，设该方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数关系得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴且，
∴且，
∴，
∴，
设该方程的另一根为，
则，
∴，
即该方程的另一根为，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
11．
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
12．x2-3x+2=0
【详解】解：∵1+2=3，1×2=2，
∴以1和2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故答案是：x2-3x+2=0．
13．/1.5/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．先利用根与系数的关系求出和的值，然后把通分后代入计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
14．4
【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两根，
∴a+b=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．
15．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系．
设方程的另一个根是，根据根与系数的关系列出关于另一根的方程，解方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根是，
是关于的方程的一个根，
，
解得，；
故答案为：2．
16．3
【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3.
17．
【分析】由已知条件得到b+c=1，bc=a-1，则利用根与系数的关系可把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解，根据根的判别式的意义得到△=1-4（a-1）≥0，然后解不等式即可．
【详解】由题意可得：b+c=1，bc=a-1，
∴把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
18．0
【分析】根据方程与根的关系得到，根据根与系数的关系得到，代入即可计算结果．
【详解】解：是方程的两个实数根，
，，，
则，
，
=，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了方程与根的关系、一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
；
（2）解：方程的两个实数根分别为，
，
，
，
，
，
或1，
，
．
20．(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于0即可；
（2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，原方程为，
∵、是此方程的两个根，
∴，
∴
∴
．
21．(1)
(2)的整数值有0，1，2．
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，
（1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和
∴
∴；
（2）由根与系数得关系可知，，，
∵，
∴
∴
由（1）知，
∴，
∴的整数值有0，1，2．
22．(1)；
(2)不存在这样的实数k．理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点．
（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式，
解得；
（2）解：不存在，理由如下，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
则，
，
，
，
∵，
∴，
∴．
∵（不符题意，舍去），
故不存在这样的实数k．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2，
∴，
解得：，
即，
∴、的和，
∵平行四边形，
∴，，
∴平行四边形的周长．
24．(1)四
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
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