第二十二章 二次函数 典型题型单选 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数 典型题型单选 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
1．把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　）
A．向左平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向上平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向下平移个单位
2．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
3．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①且；
②；
③；
④；
⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则.其中正确的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
6．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
7．抛物线过三点，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax-bc的图象大致是( )
A． B．
C． D．
10．已知函数，其几对对应值如表，判断方程为常数）的根的个数（　　）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
11．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是　　
A．或 B．
C． D．
13．已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断：
①关于x的一元二次方程的两个根分别是；
②；
③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；
④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是，
上述四个判断中正确的 有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．若二次函数y=﹣x2﹣3x+2的自变量x分别取x1、x2、x3，且x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
18．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　）
A．（m2﹣4） B． m2﹣2 C．（4﹣m2） D．2﹣m2
20．已知二次函数图象如图所示，下列结论：
；；；点，都在抛物线上，则有其中正确的结论有　　
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C D D D C A C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A B B C C B A C B C
1．C
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，
所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，
即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象．
故选C．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
2．B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．
4．C
【分析】根据对称轴的位置及图象与y轴的交点位置可对①进行判断；由图象过点（1，0）及对称轴可得图象与x轴的另一个交点坐标，由抛物线开口方向可得a<0，可得x=-2时y>0，可对②进行判断；由对称轴方程可得b=2a，由图象过点（1，0）可知a+b+c=0，即可得出3a+c=0，可对③④进行判断；由ax2+bx+c=2x+2可得ax2+(b-2)x+c-2=0，根据一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断，综上即可得答案.
【详解】∵对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴，
∴ab>0，c>0，故①错误，
∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，
∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0），
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，
∵对称轴x==-1，
∴b=2a，
∵x=1时，a+b+c=0，
∴3a+c=0，
∴8a+c=5a<0，故③错误，
∵3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确，
ax2+bx+c=2x+2，
整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0，
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴x1+x2+x1x2=+==-5，故⑤正确，
综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
5．D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
【分析】根据二次函数的定义，令m2 2＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1 m＜0，确定m的值．
【详解】∵已知函数为二次函数，
∴m2 2＝2，
解得m＝ 2或2，
当m＝ 2时，1 m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，
当m＝2时，1 m＝ 1＜0，二次函数图象开口向下，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义及性质．
7．D
【分析】对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【详解】解：在二次函数，对称轴，
在图象上的三点，，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
8．C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程有实数根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，解得且，再在数轴上表示出来，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴有交点，
∴一元二次方程有实数根，
∴，且，
∴且，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
9．A
【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0 c<0，，于是得到一次函数y=ax-bc的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．
【详解】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∵y=ax2+bx+c的图象交y轴于下方，
∴c<0，
∴bc<0
∴-bc＞0
∴一次函数y=ax-bc的图象经过一，二，三象限．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由二次函数图象可以判断a、b、c的符号．
10．C
【分析】利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可．
【详解】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数图象的关系，根据已知点的坐标得出大致图象是解题关键．
11．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
12．B
【详解】因为抛物线与x轴的一个交点为（ 2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），
∴y＜0时， 2＜x＜4．
故选B．
13．B
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
14．C
【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④；
【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为
∴A、B两点关于直线对称．
∵B(1，0)，
∴A(-3，0)，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即．
故②正确；
根据图象开口向上可知，
∵二次函数对称轴为，即，
∴．
∴．
故③错误；
根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0，
即，
∵，且，
∴，即．
故④正确；
综上，正确的结论有①②④，共3个．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
15．C
【分析】由抛物线与对称轴的交点对①进行判断；由抛物线经过点（-1，0），代入解析式即可对②进行判断；利用抛物线的对称轴对③进行判断；利用抛物线的对称性得到PA=PB，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴关于x的一元二次方程的两个根分别是,故①正确；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，抛物线上有三个点分别为
（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2；，故③错误；
∵P为抛物线对称轴上的一个动点，
∴点A与点B为抛物线的对称点，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，
此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3，
∴AC=，BC=，
∴△PCA的周长最小值为+．故④正确．
故选：C．
【点睛】考查的是二次函数的图像和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
16．B
【分析】把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c
得，
解得；
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．故选B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
17．A
【详解】试题分析：∵抛物线y=﹣x2﹣3x+2的对称轴x=﹣=﹣，a=﹣1＜0，
∴当x＞﹣时，y随x增大而减小，∴0＜x1＜x2＜x3时，∴y1＞y2＞y3，
故选A．
【考点】二次函数的性质．
18．C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
19．B
【分析】先求出A的坐标，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，根据题意可知x1+x2=2，x1﹣x2=m，从而求出x1与x2的表达式．
【详解】∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2（x－1）2+2，
∴抛物线的对称轴为：x=1，令y=0代入y=﹣2x2+4x，
∴0=﹣2x2+4x，
∴x=0或x=2，
∴A（2，0），
∴OA=2，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，
∴．
∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，
∴PQ=m，
∴x1﹣x2=m，
∴，解得：x1=，x2=．
把x1=代入y=﹣2x2+4x，
∴y=2﹣＜0，
∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2．
∵OA=CD=2，
∴S△PCD=×2×（）=﹣2．
故选B．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出P的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△PCD的面积．
20．C
【分析】观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x<-1,可得结论②正确;判断出x=-1时纵坐标为负,可得结论③错误,利用图象法可以判断出④错误;
【详解】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0，
∵-
∴b>0
∵拋物线交y轴于负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,故①正确,
∵-，a>0,
∴b>2a,
∴2a-b<0,故②正确,
∵x=-1时,y<0
∴a-b+c<0，故③错误,
点(-3,y1),(1,y2)都在抛物线上,
观察图象可知y1【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定拋物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点．对二次函数图像性质的熟悉是解题关键．
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