第二十二章 二次函数 章末综合检测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数 章末综合检测试题
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、选择题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则（　　）
A．-2 B． C． D．
4．下列关于抛物线的说法，正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．有最小值 D．对称轴是直线
5．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　）
A． B． C． D．
6． 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　）
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5
8．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（　　）
A．5米 B．4米 C．2.25米 D．1.25米
9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10． 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
12．若二次函数 的图象开口向下，则 　 　0（填“＝”或“>”或“<”）．
13．已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
14．抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
15．将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　 　
16．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　 　
17．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　(s)。
18．如图，抛物线 过点 ， ，且顶点在第一象限，设 ，则M的取值范围是　 　．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当m＞0时，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+n（n是常数）在第四象限内有两个交点，请求出n的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
21． 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元
（1）求y与x的关系式；
（2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．
22．如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
23．如图1，抛物线）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N．
①如图2，连接，求四边形的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
24．某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品.销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元.
销售单价（元/千克） 10 11
销售量（千克） 300 270
（1）求与的函数关系式：
（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？
25．如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C．
（1）①___________，②顶点D的坐标为 ___________；
（2）如图2，抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围；
（3）如图3，连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标．
四、实践探究题
26．根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
答案解析部分
1．C
2．B
3．C
4．C
5．B
6．C
7．D
8．C
9．D
10．C
11．6
12．<
13．
14． 且k≠1
15．y＝x2
16． 或5
17．8
18．
19．（1）解：已知点A（2m+1，7）在抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）上，
∴7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，
解得m＝2 或 m＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2或y＝x2﹣2；
（2）解：当m＞0时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2
令 y＝x2﹣4x+2＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），
如图，当直线y＝x+n经过（2+，0）时，2+＝0，
解得n＝﹣2﹣，
当直线 y＝x+n与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，
于是得到x2﹣4x+2＝x+n，
整理得：x2﹣5x+2﹣n＝0，
∴Δ＝52﹣4（2﹣n）＝0，解得n＝﹣，
∴n的取值范围是﹣＜n＜﹣2﹣．
20．（1）解：①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
21．（1）解：
（2）解：由（1）得：
∵-20＜0
∴该函数有最大值
∴当每箱产品降价5元，有最大利润
∴当售价为55元时，每周的利润最大，且最大利润是2000元。
22．（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4
（2）解：如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
23．（1）解：由题意知，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴
（2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，
①当时，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
②当过中点时，
由题意知，中点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或
（3）解：①解：由题意知，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为2，
∴；
②解：由题意知 ，
，
∴与的面积之和是定值，且定值为2．
24．（1）解：设，
根据题意得，解得，
∴；
（2）解：设每天获得的纯利润为元，
根据题意得，
∵，∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于12元，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，（元）.
答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元.
25．（1）①1，②
（2）
（3）(2，0)，
26．解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)