湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·岳麓开学考）下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
2．（2024九上·岳麓开学考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（2024九上·岳麓开学考）用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x-3)2=10 B．(x-3)2=8 C．(x-6)2=10 D．(x-3)2=1
4．（2024九上·岳麓开学考）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
5．（2024九上·岳麓开学考）如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
6．（2024九上·岳麓开学考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91.设每个支干长出 个分支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·岳麓开学考）若是方程的一个根，则的值为( )
A． B． C． D．
8．（2024九上·岳麓开学考）在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·岳麓开学考）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
10．（2024九上·岳麓开学考）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·岳麓开学考）将一元二次方程化成的形式为 ．
12．（2024九上·岳麓开学考）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 .
13．（2024九上·岳麓开学考）当 时，关于的方程是一元二次方程．
14．（2024九上·岳麓开学考）已知方程的两根分别为和，则 ．
15．（2024九上·岳麓开学考）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
16．（2024九上·岳麓开学考）二次函数的图象如图所示，下列结论：；时，随的增大而增大；；不等式的解集是，其中正确的是 填序号
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·岳麓开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024九上·岳麓开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
19．（2024九上·岳麓开学考）已知二次函数．
（1）函数的开口方向是 ，对称轴是直线 ；
（2）函数的顶点式为 ，与轴的交点坐标是 ；
（3）当 时，函数随的增大而增大；当 时，的值小于；
（4）该二次函数与一次函数的交点坐标为 ．
20．（2024九上·岳麓开学考）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
22．（2024九上·岳麓开学考）已知是关于的函数，若其图象经过点，则称点为函数图象上的“周梅点”例如：直线上存在“周梅点”．
（1）在直线上是否存在“周梅点”？若存在，请求出”周梅点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若抛物线上有“周梅点”，且“周梅点”为和，求的最小值；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“周梅点”，且当时，的最小值为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 选项A：方程4(x+2)=25展开后为4x+8=25，这是一个一次方程，故选项A不是一元二次方程；
选项B：方程2x2+3x 1=0符合一元二次方程的一般形式，即a=2，b=3，c= 1，且 a≠0 ，故选项B是一元二次方程；
选项C：方程2x+y=22 包含两个未知数 x 和 y，这不符合一元二次方程的定义，故选项C不是一元二次方程；
选项D：方程是一个分式方程，而不是一元二次方程，故选项D也不是一元二次方程，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程定义：只包含1个未知数且该未知数的最高次数为2的整式方程，对每个选项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解： 将方程是 x2 4x=5化为一般形式为x2 4x 5=0，
对比一般形式 ax2+bx+c=0，
a=1，对应二次项系数；
b= 4，对应一次项系数；
c= 5，对应常数项，
因此，根据一元二次方程的系数定义，我们可以得出二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-5。
故答案为：D.
【分析】 首先需要掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，其中a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项，对于给出的方程，我们需要将方程化为一般形式，然后根据一般形式的定义来确定各系数的值.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-6x-1=0，
x2-6x=1，
x2-6x+9=1+9，
（x-3）2=10.
故答案为：A.
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方9，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于题目中的函数y=2(x 1)2 8 ，可以看出a=2>0，因此函数图象开口向上，故选项A错误；
函数的开口向上，对称轴为x=1；当x>1时，y 随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，选项C正确，选项D错误；
故答案为：C.
【分析】 对于二次函数的一般形式y=a (x h)2+k ，其中a决定开口方向， (h，k ) 是顶点坐标，根据二次函数的图象与性质可以对选项进行逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将阴影部分进行平移，可得如下图：
则草坪的长为(54-x)米，宽为(38-x)米，
由题意知，要使矩形草坪的面积为平方米 ，
可以列出方程：，
故答案为：A.
【分析】根据题意，将阴影部分平移，得到规则的矩形，然后用含x的式子表示出草坪的长和宽，进而列出方程即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意主干为1，长出x数量的支干，此时数量为1+x，而每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以 .
故答案为：A.
【分析】主干有1个，再长出x个支干，所以此时数量为（1+x），每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以加起来即可得到总数91，列出方程即可解决.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵是方程的一个根，
∴a2-a-1=0，
∴a2=a+1，
∴a3=a(a+1)=a2+a=a+1+a=2a+1
∴，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程解的定义，得到关于a的方程a2-a-1=0，然后将 进行变形，得到代数式值.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，与图象不符，故A不符合题意；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，对称轴为x=- ＝ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B不符合题意；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝下，与图象不符，故C不符合题意；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，对称轴为x=- ＝ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由直线经过的象限可知m＜0，则抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧；
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线 的开口向上，对称轴为直线x=1，
所以距离对称轴越远，函数值越大，
点A与对称轴的距离为3，点B与对称轴的距离为1，点C与对称轴的距离为2，
所以y2故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线方程y=2(x-1)2+m，这是一个开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=1，我们可以通过比较点A(-2，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)的横坐标与对称轴的距离位置来判断它们的纵坐标y1、y2和y3的大小关系。
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：点A到点O的距离为4，
所以，
把代入得
，
所以，
所以，
所以水流喷出的最大高度为，
故选：Ａ
【分析】根据点A到点O的距离为4，可得，然后将点A代入函数关系式求得，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程3x(x-1)=2，
去括号得：3x2-3x=2，
移项得：3x2-3x-2=0，
因此，将给定的一元二次方程化成一般形式的结果为：3x2-3x-2=0，
故答案为：.
【分析】 通过展开、移项等步骤，将给定一元二次方程转化为一般形式即可.
12．【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1.
故答案为：y＝2（x+3）2﹣1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为方程是关于x的一元二次方程，
所以，，解得，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答，解答中特别要注意的条件．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 根据一元二次方程的两根分别为和，
可知a=1，b=-2，c=-4，
则，
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：，确定a，b，c，代入即可得.
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴k-1≠0，，
解得：且 。
故答案为：且 。
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 结论①：从图象中可以看出，二次函数图象开口向上，说明a>0，函数图象与x轴交于负半轴，可知c<0，根据对称轴为直线x=1，故得b=-2a，所以b<0，则bc>0，故结论①正确；
结论②：由①知函数对称轴为直线x=1，所以当x<1时，y随x增大而减小，故结论②不正确；
结论③：观察图象，当x=1时，y<0，即a+b+c<0 ，因此结论③不正确；
结论④：从图象中可以看出，函数与x轴的两个交点分别为x= 1和x=3，且在两个交点之间，函数值小于0，因此，不等式的解集为 1故答案为：①④.
【分析】根据二次函数的图象和性质对每个结论进行判断即可，①根据函数与y轴交点的位置和对称轴的位置可以确定；②根据函数图象及对称轴的位置确定；③观察图象x=1时的函数正负性可以确定；④结合图象与x轴交点的横坐标可以确定.
17．【答案】（1）解：；
，
，
（2）解：；
，
，
，
（3）解：；
，
原方程无实数根
（4）解：，
，
，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】针对不同类型的一元二次方程，选择合适的方法求解即可，
（1）选择因式分解法，提出公因式，然后求解即可；
（2）移项后提出公因式，选择因式分解法求解；
（3）首先根据根的判别式小于零，确定一元二次方程的根的个数；
（4）利用公式法，确定a，b，c，然后利用求根式求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意有，
整理得，
解得，
实数的取值范围是
（2）解：由两根关系，得，，
，
，
，
解得或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1) 由题意知，方程有实数根，所以根的判别式，并据此得出实数m的取值范围；
(2)利用根与系数关系建立方程，通过代入和化简得到关于m的一元二次方程，然后求解该方程并根据题目条件选择合适的解.
19．【答案】（1）向下；
（2）；或
（3）；或
（4），
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1)由-1<0，所以二次函数的开口方向向下，根据对称轴公式，
故答案为：向下；x=1；
(2)将 二次函数 ，配方得：；令y=0，解得x=-1或3，故与x轴的交点坐标为(-1，0)或(3，0)，
故答案为：，或；
（3）二次函数解析式为，因为函数开口向下，对称轴为直线x=1，所以当x<1时，y随x的增大而增大；令y<0，时解得x<-1或x>3，
故答案为：x<1；x<-1或x>3；
(4)由题意，联立方程组：，解得或，故两个函数的交点坐标为：，，
故答案为：，
【分析】（1）根据二次函数的性质， 二次函数的一般形式为 y=ax2+bx+c，其中a的符号决定了函数图象的开口方向；根据对称轴公式，代入可得对称轴；
（2）将解析式配方即可得顶点式，令y=0，解之可得与x轴交点的横坐标，进而得到与x轴交点坐标；
（3）根据二次函数的图象与性质，开口向下，在对称轴左侧时y随x的增大而增大，结合图象，y<0，即是函数图象在x轴下方对应的函数值；
（4）联立方程组，解之可得交点坐标.
20．【答案】（1）解：设该百分率为，
由题意得，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：设单价降低元，利润为元，
，
答：当单价降低元，利润最大，最大为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，再求解即可；
（2）根据题意，将利润表示成关于a的二次函数，配方整理后即可得到最大值．
21．【答案】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：.
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（3）解：设、．
如图所示
当为对角线时，
，解得或
当时，Q与原点O重合，故应舍去
如图所示
当为对角线时，
，解得或（舍去）
当时，则Q与原点O重合，故应舍去
如图所示
或
当为对角线时，
，解得或
或
点Q的坐标为或或或．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）连接OM，由抛物线上点的坐标特征可得点M的坐标，则和面积均可表示，又面积是定值，则可利用割补法表示出的面积，可发现是的二次函数，且二次项系数为负，则有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可；
（3）由抛物线和直线上点的坐标特征可分别设出点的坐标，由于平行四边形的对角线互相平分，则当点为顶点的四边形是平行四边形时，可有三种情况，即为对角线、或为对角线、或为对角线，再分别利用平面直角坐标系上中点坐标公式列二元一次方程组并求解即可．
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
22．【答案】（1）解：在直线上存在“周梅点”；理由如下：
设点是直线上的“周梅点”，
，
，
直线上的“周梅点”为
（2）解：设抛物线“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入抛物线中得：
，
，
“周梅点”为和，
、是方程的两个根，
则，，
，
，
解得：，
，
，对称轴为直线，
当时，，
即的最小值为
（3）解：设函数“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入函数得：
，
，
存在唯一的一个“周梅点”，
，
，
这是一个关于的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大；
，当时，在对称轴右侧递增，
当时，有最小值为，
即，
，
，方程无解，
，当时，在对称轴左侧递减，
当时，有最小值为，
即，
解得：，舍，
当，当时，有最小值为，
，
，
综上所以述：的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）对于直线 y = x + 1 ，我们首先检验是否存在“周梅点”。根据定义，假设存在“周梅点”P(t， 2t)，则该点应满足直线方程， 解方程可以t的值，进而求出坐标；
（2）根据抛物线存在“周梅点”P(t，2t)，则满足一元二次方程，然后根据根与系数关系得到w与x1，x2的关系，进一步求解w的最小值；
（3） 对于函数 ，假设存在唯一“周梅点”P(t， 2t)，根据定义该点满足函数方程。通过解析唯一性条件，可以得出t和n的关系。然后，基于m的取值范围，分析n的最小值，进一步求解t.
1 / 1湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·岳麓开学考）下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 选项A：方程4(x+2)=25展开后为4x+8=25，这是一个一次方程，故选项A不是一元二次方程；
选项B：方程2x2+3x 1=0符合一元二次方程的一般形式，即a=2，b=3，c= 1，且 a≠0 ，故选项B是一元二次方程；
选项C：方程2x+y=22 包含两个未知数 x 和 y，这不符合一元二次方程的定义，故选项C不是一元二次方程；
选项D：方程是一个分式方程，而不是一元二次方程，故选项D也不是一元二次方程，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程定义：只包含1个未知数且该未知数的最高次数为2的整式方程，对每个选项进行判断即可.
2．（2024九上·岳麓开学考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解： 将方程是 x2 4x=5化为一般形式为x2 4x 5=0，
对比一般形式 ax2+bx+c=0，
a=1，对应二次项系数；
b= 4，对应一次项系数；
c= 5，对应常数项，
因此，根据一元二次方程的系数定义，我们可以得出二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-5。
故答案为：D.
【分析】 首先需要掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，其中a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项，对于给出的方程，我们需要将方程化为一般形式，然后根据一般形式的定义来确定各系数的值.
3．（2024九上·岳麓开学考）用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x-3)2=10 B．(x-3)2=8 C．(x-6)2=10 D．(x-3)2=1
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-6x-1=0，
x2-6x=1，
x2-6x+9=1+9，
（x-3）2=10.
故答案为：A.
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方9，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案.
4．（2024九上·岳麓开学考）对于二次函数，下列说法正确的是( )
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于题目中的函数y=2(x 1)2 8 ，可以看出a=2>0，因此函数图象开口向上，故选项A错误；
函数的开口向上，对称轴为x=1；当x>1时，y 随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，选项C正确，选项D错误；
故答案为：C.
【分析】 对于二次函数的一般形式y=a (x h)2+k ，其中a决定开口方向， (h，k ) 是顶点坐标，根据二次函数的图象与性质可以对选项进行逐一判断即可.
5．（2024九上·岳麓开学考）如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将阴影部分进行平移，可得如下图：
则草坪的长为(54-x)米，宽为(38-x)米，
由题意知，要使矩形草坪的面积为平方米 ，
可以列出方程：，
故答案为：A.
【分析】根据题意，将阴影部分平移，得到规则的矩形，然后用含x的式子表示出草坪的长和宽，进而列出方程即可.
6．（2024九上·岳麓开学考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91.设每个支干长出 个分支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意主干为1，长出x数量的支干，此时数量为1+x，而每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以 .
故答案为：A.
【分析】主干有1个，再长出x个支干，所以此时数量为（1+x），每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以加起来即可得到总数91，列出方程即可解决.
7．（2024九上·岳麓开学考）若是方程的一个根，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵是方程的一个根，
∴a2-a-1=0，
∴a2=a+1，
∴a3=a(a+1)=a2+a=a+1+a=2a+1
∴，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程解的定义，得到关于a的方程a2-a-1=0，然后将 进行变形，得到代数式值.
8．（2024九上·岳麓开学考）在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，与图象不符，故A不符合题意；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，对称轴为x=- ＝ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B不符合题意；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝下，与图象不符，故C不符合题意；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，则函数y=-mx2+x+1开口方向朝上，对称轴为x=- ＝ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由直线经过的象限可知m＜0，则抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧；
9．（2024九上·岳麓开学考）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线 的开口向上，对称轴为直线x=1，
所以距离对称轴越远，函数值越大，
点A与对称轴的距离为3，点B与对称轴的距离为1，点C与对称轴的距离为2，
所以y2故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线方程y=2(x-1)2+m，这是一个开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=1，我们可以通过比较点A(-2，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)的横坐标与对称轴的距离位置来判断它们的纵坐标y1、y2和y3的大小关系。
10．（2024九上·岳麓开学考）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：点A到点O的距离为4，
所以，
把代入得
，
所以，
所以，
所以水流喷出的最大高度为，
故选：Ａ
【分析】根据点A到点O的距离为4，可得，然后将点A代入函数关系式求得，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·岳麓开学考）将一元二次方程化成的形式为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：方程3x(x-1)=2，
去括号得：3x2-3x=2，
移项得：3x2-3x-2=0，
因此，将给定的一元二次方程化成一般形式的结果为：3x2-3x-2=0，
故答案为：.
【分析】 通过展开、移项等步骤，将给定一元二次方程转化为一般形式即可.
12．（2024九上·岳麓开学考）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 .
【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1.
故答案为：y＝2（x+3）2﹣1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
13．（2024九上·岳麓开学考）当 时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为方程是关于x的一元二次方程，
所以，，解得，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答，解答中特别要注意的条件．
14．（2024九上·岳麓开学考）已知方程的两根分别为和，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 根据一元二次方程的两根分别为和，
可知a=1，b=-2，c=-4，
则，
故答案为：-4.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：，确定a，b，c，代入即可得.
15．（2024九上·岳麓开学考）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴k-1≠0，，
解得：且 。
故答案为：且 。
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解即可。
16．（2024九上·岳麓开学考）二次函数的图象如图所示，下列结论：；时，随的增大而增大；；不等式的解集是，其中正确的是 填序号
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 结论①：从图象中可以看出，二次函数图象开口向上，说明a>0，函数图象与x轴交于负半轴，可知c<0，根据对称轴为直线x=1，故得b=-2a，所以b<0，则bc>0，故结论①正确；
结论②：由①知函数对称轴为直线x=1，所以当x<1时，y随x增大而减小，故结论②不正确；
结论③：观察图象，当x=1时，y<0，即a+b+c<0 ，因此结论③不正确；
结论④：从图象中可以看出，函数与x轴的两个交点分别为x= 1和x=3，且在两个交点之间，函数值小于0，因此，不等式的解集为 1故答案为：①④.
【分析】根据二次函数的图象和性质对每个结论进行判断即可，①根据函数与y轴交点的位置和对称轴的位置可以确定；②根据函数图象及对称轴的位置确定；③观察图象x=1时的函数正负性可以确定；④结合图象与x轴交点的横坐标可以确定.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·岳麓开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：；
，
，
（2）解：；
，
，
，
（3）解：；
，
原方程无实数根
（4）解：，
，
，
，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】针对不同类型的一元二次方程，选择合适的方法求解即可，
（1）选择因式分解法，提出公因式，然后求解即可；
（2）移项后提出公因式，选择因式分解法求解；
（3）首先根据根的判别式小于零，确定一元二次方程的根的个数；
（4）利用公式法，确定a，b，c，然后利用求根式求解即可.
18．（2024九上·岳麓开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意有，
整理得，
解得，
实数的取值范围是
（2）解：由两根关系，得，，
，
，
，
解得或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1) 由题意知，方程有实数根，所以根的判别式，并据此得出实数m的取值范围；
(2)利用根与系数关系建立方程，通过代入和化简得到关于m的一元二次方程，然后求解该方程并根据题目条件选择合适的解.
19．（2024九上·岳麓开学考）已知二次函数．
（1）函数的开口方向是 ，对称轴是直线 ；
（2）函数的顶点式为 ，与轴的交点坐标是 ；
（3）当 时，函数随的增大而增大；当 时，的值小于；
（4）该二次函数与一次函数的交点坐标为 ．
【答案】（1）向下；
（2）；或
（3）；或
（4），
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1)由-1<0，所以二次函数的开口方向向下，根据对称轴公式，
故答案为：向下；x=1；
(2)将 二次函数 ，配方得：；令y=0，解得x=-1或3，故与x轴的交点坐标为(-1，0)或(3，0)，
故答案为：，或；
（3）二次函数解析式为，因为函数开口向下，对称轴为直线x=1，所以当x<1时，y随x的增大而增大；令y<0，时解得x<-1或x>3，
故答案为：x<1；x<-1或x>3；
(4)由题意，联立方程组：，解得或，故两个函数的交点坐标为：，，
故答案为：，
【分析】（1）根据二次函数的性质， 二次函数的一般形式为 y=ax2+bx+c，其中a的符号决定了函数图象的开口方向；根据对称轴公式，代入可得对称轴；
（2）将解析式配方即可得顶点式，令y=0，解之可得与x轴交点的横坐标，进而得到与x轴交点坐标；
（3）根据二次函数的图象与性质，开口向下，在对称轴左侧时y随x的增大而增大，结合图象，y<0，即是函数图象在x轴下方对应的函数值；
（4）联立方程组，解之可得交点坐标.
20．（2024九上·岳麓开学考）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该百分率为，
由题意得，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
（2）解：设单价降低元，利润为元，
，
答：当单价降低元，利润最大，最大为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，再求解即可；
（2）根据题意，将利润表示成关于a的二次函数，配方整理后即可得到最大值．
21．（2024九上·岳麓开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：.
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（3）解：设、．
如图所示
当为对角线时，
，解得或
当时，Q与原点O重合，故应舍去
如图所示
当为对角线时，
，解得或（舍去）
当时，则Q与原点O重合，故应舍去
如图所示
或
当为对角线时，
，解得或
或
点Q的坐标为或或或．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）连接OM，由抛物线上点的坐标特征可得点M的坐标，则和面积均可表示，又面积是定值，则可利用割补法表示出的面积，可发现是的二次函数，且二次项系数为负，则有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可；
（3）由抛物线和直线上点的坐标特征可分别设出点的坐标，由于平行四边形的对角线互相平分，则当点为顶点的四边形是平行四边形时，可有三种情况，即为对角线、或为对角线、或为对角线，再分别利用平面直角坐标系上中点坐标公式列二元一次方程组并求解即可．
（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
22．（2024九上·岳麓开学考）已知是关于的函数，若其图象经过点，则称点为函数图象上的“周梅点”例如：直线上存在“周梅点”．
（1）在直线上是否存在“周梅点”？若存在，请求出”周梅点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若抛物线上有“周梅点”，且“周梅点”为和，求的最小值；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“周梅点”，且当时，的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：在直线上存在“周梅点”；理由如下：
设点是直线上的“周梅点”，
，
，
直线上的“周梅点”为
（2）解：设抛物线“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入抛物线中得：
，
，
“周梅点”为和，
、是方程的两个根，
则，，
，
，
解得：，
，
，对称轴为直线，
当时，，
即的最小值为
（3）解：设函数“周梅点”的坐标为，
将点的坐标代入函数得：
，
，
存在唯一的一个“周梅点”，
，
，
这是一个关于的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大；
，当时，在对称轴右侧递增，
当时，有最小值为，
即，
，
，方程无解，
，当时，在对称轴左侧递减，
当时，有最小值为，
即，
解得：，舍，
当，当时，有最小值为，
，
，
综上所以述：的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）对于直线 y = x + 1 ，我们首先检验是否存在“周梅点”。根据定义，假设存在“周梅点”P(t， 2t)，则该点应满足直线方程， 解方程可以t的值，进而求出坐标；
（2）根据抛物线存在“周梅点”P(t，2t)，则满足一元二次方程，然后根据根与系数关系得到w与x1，x2的关系，进一步求解w的最小值；
（3） 对于函数 ，假设存在唯一“周梅点”P(t， 2t)，根据定义该点满足函数方程。通过解析唯一性条件，可以得出t和n的关系。然后，基于m的取值范围，分析n的最小值，进一步求解t.
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