2.1.1 相等关系与不等关系 课件（20张PPT) 高一上学期数学人教A版（2019） 必修第一册

(共20张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
2.1.1 相等关系与不等关系
学习目标
1.能从情景中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式（组），发展数学抽象素养.
2.理解两个实数大小关系的基本事实.体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑去比较两个代数式的大小.
3.经历重要不等式的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推理素养.
创设情景 提出问题
引导语 （教材37页）在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
文字语言 数学符号 文字语言
大于 ＞
小于 ＜
大于或等于 ≥
小于或等于 ≤
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
大于，高于，超过
小于，低于，少于
至少，不少于，不低于
至多,不多于,不超过
创设情景 提出问题
引导语 回顾初中等式、不等式的学习过程，你能否说一说，我们研究了那些内容？是按照怎样的路径去研究的？
现实或数学背景
抽象概念 内涵解析
问题1
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，
蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
追问 你能归纳一下上述分析，抽象不等式的基本过程吗？
提取变量
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
抽象概念 内涵解析
问题2
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
抽象概念 内涵解析
追问 如何解这个不等式？
追问 解不等式与解方程类似，解方程的依据是什么？类似地，你认为解不等式的依据是什么？
追问 你知道不等式的那些性质？这些性质正确吗？
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a问题3 在初中,我们知道数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢
抽象概念 内涵解析
提示　如图,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab.
知识概念
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”
依据 a>b ;
a=b ;
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
1.基本事实
a-b>0
a-b=0
a-b<0
差
0
典例分析 概念巩固
分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，
可以得出它们的大小关系．
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
知识概念
2.作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）作出结论．
练习 (1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
概念巩固
(2)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.
变式 把练习(2)中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.
抽象概念 内涵解析
图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。
抽象概念 内涵解析
2.赵爽弦图的不等关系
第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的.
追问1 若用a,b表示直角三角形的两条直角边，你能表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？
追问2 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在相等和不等关系你能表示出来吗？
问题4 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
2.赵爽弦图的不等关系（面积关系）
大正方形面积
>4个直角三角形的面积和
a,b>0
大正方形面积
=4个等腰直角三角形的面积和
Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。
抽象概念 内涵解析
试证明重要不等式: a,b∈R,有a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.
a,b∈R,有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2-2ab≥0.
由两个实数大小关系的基本事实,
得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
公式探究
3.重要不等式
典例分析 概念巩固
练习 1已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
由x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2+2y2-2xy-2y+1
=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
当且仅当x=y=1时,等号成立,
所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
练习 2已知a>0,求证:a+≥2.
∵a+≥0,
∴a+≥2,当且仅当,即a=1时,等号成立.
当堂检测
教材39页练习1、2、3
1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;
(2)a与b的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.
2. 比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
3. 已知a>b,证明
课堂小结
问题5 回顾本节课的学习内容，回答下列问题
（1）我们是如何发现和提出本节课所要研究的问题的？
（2）我们从实际问题所蕴含的不等关系抽象出不等式，经历了怎样的过程？用了那些方法？
（3）两个实数大小关系的基本事实是什么？所蕴含的数学思想是什么？这个基本事实有什么作用？
布置作业 应用迁移
作业1：教材42页习题2.1 2、3、4
作业2：教材43页习题2.1 10（糖水不等式）