2.2 基本不等式 课件(41张PPT） 高一数学人教A版2019必修第一册

(共23张PPT)
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
人教A版2019必修第一册
1.掌握基本不等式及其推导过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性.
教学目标
温故知新
01
情景导入
在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类
重要不等式： a2+b2≥2ab ①
不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
基本不等式及其推导
02
概念讲解
思考：如果a>0, b>0, 我们用分别代替a,b,可得到什么结论呢？
由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式）
当且仅当时，等号成立
等号成立条件
算术平均数
几何平均数
前提
条件
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
概念讲解
基本不等式的证明
法一：用分析法证明：
显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
要证（2），只要证
a+b- ≥0 （3）
要证（3），只要证
（ ）2≥0 （4）
只要证
a+b≥ （2）
要证
（1）




概念讲解
法二：作差法
当且仅当时，等号成立
概念讲解
解：可证，因此CD=，由于CD 小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为：
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
A
B
D
C
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立.
基本不等式的几何意义
概念讲解
常用结论
1．基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
注意：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”．
“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立．
(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.
概念讲解
概念辨析
×
×
×
×
利用基本不等式求最值
03
概念讲解
例1.已知，求的最小值.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件是否具备
概念讲解
练习1.已知，求的最值.
解：因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
因此所求的最大值为
一正
二定
三相等
概念讲解
练习2：快问快答：
2
2
概念讲解
例2.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
证明：所以
（1）当等于定值P时， ，∴
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）当时， ，两边平方，
当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
最值定理
概念讲解
C
基本不等式的实际应用
04
概念讲解
例3.（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以篱笆的周长为米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
概念讲解
（2）由题意设菜园的长和宽分别为米，
且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
课堂小结
05
课堂小结