3.1函数的概念及其表示 课时训练（含解析）高中数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB，动点P从点A出发，按照A→D→C→B路径沿边运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数满足，则
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在R上的增函数，则函数的图象可能是
A． B． C． D．
5．将函数的图象按向量平移，得到的函数图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8
6．函数在，上的最小值为，最大值为1，则的最大值为
A． B． C．2 D．
7．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．下列说法正确的是_____________.
（1）函数在上单调递增；
（2）函数的图象是一直线；
（3）若集合中只有一个元素，则；
（4）若函数在区间上是减函数，则
三、解答题
9．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品(百台），其总成本为万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入满足，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
10．已知函数．
（1）求的值；
（2）当的定义域为时，求的值域；
11．已知函数
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的定义域，值域．
12．给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．
(1)请用图象法和解析法表示函数；
(2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．
13．已知函数是定义在R上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式，以及零点．
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
(3)判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）
(4)在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．
14．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）求的值．
15．已知函数．
（）画出函数图象．
（）写出函数的单调区间和值域．
（）当取何值时，方程有两不等实根？只有一个实根？无实根？
参考答案：
1．A
【分析】根据三角形的面积公式，结合点P的不同位置进行判断即可.
【详解】解：P点在AD上时，△APB是底边AB不变，高在增加，图象成一次函数形式递增；排除C，D，
P点在DC上时，△APB是底边AB不变，高不变，图象是水平一条直线；
P在CB上时，AB不变，高在减小，图象是递减的一次函数，
故选：A．
2．B
【分析】利用函数的奇偶性，单调性以及特殊值即可.
【详解】函数为奇函数，故A错误；
，故D错误；
当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷，故C错误；
当x从大于0的方向趋向于0时，函数值也趋向于 正无穷，故B正确；
故选：B．
3．B
【分析】先由题意设，根据题中条件，求出对应系数，得到函数解析式，进而可求出结果.
【详解】由题意，设，
则
，
又，
所以，解得，
因此，
所以，．
故选B
【点睛】本题主要考查求函数值的问题，会用待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.
4．B
【详解】试题分析：把图象在左边的去掉，作轴右边部分的关于轴对称，得图象，再向右平移1 个单位得的图象，最后再向下平移1个单位，得的图象，函数在是增函数，在上是减函数．故选B．
考点：函数的图象，图象变换．
5．D
【详解】函数按向量平移后为，的图像有公共的对称中心，画出函数与的图像如下：
交点分别为，根据对称性可知、、、都关于点对称，故，所以所求的横坐标之和为.
点睛：本题考查的函数的对称性，在解决此类问题时，结合函数图像能带来方便．平移后的函数是关于点对称，而且也是关于点对称，那么两个函数的交点也是关于点对称，所以可以求出横坐标之和．
6．A
【分析】由绝对值的意义可得的两段解析式，画出的图象，求得使和1的值，结合图象即可得到的最大值.
【详解】解：函数，
当时，，
当时，，
作出的图象，
由图象可得时，，解得；
时，，解得，
即有在内的最大值为1，最小值为 1，
的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用数形结合思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.
7．D
【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.
【详解】根据可得，可转化为，
又，
所以，即，
因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.
故选：D.
【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
8．（1）（3）
【分析】根据函数的单调性、函数的图象，集合的定义判断各选项．
【详解】（1）是向右平移1个单位，向上平移一个单位而得到，在上单调递增函数，正确；
（2）的图象是一条直线上的孤立点，∴不是一条直线；不正确；
（3）集合只有一个元素，时方程无解，时，，，正确；
（4）函数的对称轴为 ，
又函数在区间上是减函数，，，不正确.
故答案为：（1）（3）
9．(1)大于300台小于1050台； (2) 600台
【分析】(1) 由于销售收入是一个关于产品数量的一个分段函数，另外计算工厂的盈利需要将销售收入减去总的成本万元，所以在两段函数中分别求出盈利大于零的时候产品数量的范围，及可求得结论.
(2)通过二次函数的最值的求法，结合一次函数的单调性，即可得到盈利最大值时对应的产品数的值.
【详解】依题意得，设利润函数为，则，
所以，（1）要使工厂有盈利，则有，故或，即或，解得或，即 ，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内
（2）当时，
故当时，有最大值4.5.而当时，.
所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．
10．（1）-2；（2）.
【解析】（1）根据，直接代入求解..
（2）将函数变形为，由，利用反比例函数的性质求解.
【详解】（1）∵，
.
（2）函数
当时，
所以
所以值域为．
11．（1）；（2）图象见解析；（3）的定义域为R，值域为．
【分析】（1）分去绝对值，写成分段函数的形式即可；
（2）根据上一问的解析式，画出分段函数的图像；
（3）根据图像得到函数的定义域和值域．
【详解】（1）；
（2）图象如下：
（3）的定义域为R，值域为．
12．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；
（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.
【详解】（1）令，即，解得，或．
根据题意，
故其函数图象如下所示：
.
（2）数形结合可知，函数的单调区间是；
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由，，，知，
当时，取得最大值，最大值为8，
当时，取得最小值，最小值为-1．
13．(1)，零点为；
(2)在上是单调递减，证明见解析．
(3)函数在区间上单调递增．
(4)函数图象见解析；
【分析】（1）依题意根据奇函数的性质得到，再由，即可求出、，从而求出函数解析式，再令，求出，即可得到函数的零点．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可
（3）结合函数单调性的性质给出结论即可
（4）结合函数的单调性作出草图即可．
(1)
解： 是定义在上的奇函数，
，
，
又，解得，
．
令，即，解得，所以函数的零点为；
(2)
解：在上是单调递减．
证明：设，
则，
，
，，，
，即，
在上单调递减．
(3)
解：函数在区间上单调递增．
证明：设，
则，
，
，，，
，即，
在上单调递增．
(4)
解：因为，函数图象如下所示：
14．（1）（2）
【分析】（1）利用解析式求的值；
（2）由求值即可.
【详解】（1）∵函数
（2）
【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是利用求值.
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】）分别画出当，和的图像，即为函数的图像；
（）根据图像可写出函数的单调区间和值域．
（）由图像可得答案.
【详解】
（）如图所示；
（）由图像可得函数的单调增区间：，单调减区间：，值域：；（）方程有两个不相等实数根：，方程有一个实数根：或，方程无实数根：．