期末专题训练(二)　圆 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

期末专题训练（二）　圆
考点一　圆心角、弧、弦之间的关系定理与垂径定理
1 （2024镇江月考）如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　　)
A. 42° B. 44° C. 46° D. 48°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2 （2024凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　　)
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
3 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为　　　　.
4 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为　　　　．
5 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若AC＝CD＝4，则小圆的半径是　　　　．
考点二　圆周角定理及其推论
6 （2024海南）如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且＝＝，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(　　)
A. 105° B. 100° C. 90° D. 70°
（第6题） （第8题） （第9题）
7 若圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆周角度数为　　　　．
8 （2024徐州新沂月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0，3)，则圆的直径为　　　　．
9 （2024盐城盐都期中）如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　　　．
10 （2024扬州江都月考）如图1，若C，D是半圆ACB上的两点，P是直径AB上的一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“相望角”．
(1) 如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP.求证：∠CPD是 的“相望角”；
(2) 如图3，若直径AB＝6，弦CE⊥AB，的“相望角”为90°，求CD的长．
图1 图2 图3
考点三　三角形的外接圆
11 （2024镇江期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是(　　)
A. (－2，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－2) D. (－1，－1)
（第11题） （第13题） （第14题） （第15题）
12 （2024扬州宝应月考）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则它的外接圆的半径为　　　　．
13 （2024盐城东台月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为　　　　．
14 （2024南京月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为　　　　．
15 （2024无锡宜兴期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，△ABC的外接圆⊙O的半径为3，D是边BC的延长线上一点，连接AD，交⊙O于点E，连接CE.若△CED为等腰三角形，则线段BD的长度为　　　　．
考点四　切线的性质及其判定
16 （2024福建）如图，点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为　的中点，则∠ACM等于(　　)
A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°
（第16题） （第17题） （第18题）
17 （2024常州溧阳期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝24°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝　　　　．
18 （2024扬州邗江月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是BC上一点，DE＝3，若以DE为直径的圆交AB于点M，N，则MN的最大值为　　　　．
19 （2024镇江句容期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB的延长线交⊙O于点F.
(1) 求证：DE为⊙O的切线；
(2) 若BE＝1，BF＝2，求AD的长．
考点五　三角形的内切圆
20 如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为　　　　．
21 （2024无锡梁溪月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，若△ABC的周长为14，则BC的长为　　　　．
（第21题） （第22题）
22 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I为△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，OI⊥AD于点I，连接CD，若CD＝4，则AC的长为　　　　．
考点六　正多边形与圆
23 （2024雅安）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则△OAB的面积为(　　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
（第23题） （第24题） （第25题）
24 （2024扬州江都期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，Q是的中点，则∠DPQ＝　　　　．
25 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　　　　．
考点七　弧长与扇形面积的计算
26 （2024青岛）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，＝，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为(　　)
A. B. C. D.
（第26题） （第27题） （第28题）
27 （2024吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D. OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为
　　　　m2.（结果保留π）
28 （2024淮安盱眙期中）如图，AB为半圆O的直径，AB＝12，BC为弦，若将沿弦BC翻折后恰好经过圆心O，则图中阴影部分的面积为　　　　．
29 （2024无锡期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，H，连接BD，过点C作CE∥AB.连接AH，OC，AH与OC的交点G恰好落在BD上，若AB＝40，则弦AD，AH和围成的图形的面积是　　　　．
30 如图1，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5.点B以每秒1个单位长度的速度从点E处出发，沿射线EF的方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t s．如图2，当t＝2.5 s时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度．
图1 图2
考点八　圆锥的侧面积
31 （2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是(　　)
A. B. C. 2π D.
（第31题） （第33题） （第35题） （第36题）
32 （2024盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为　　　　．
33 （2024南京秦淮期中）如图，△ABC是一个圆锥的主视图，若AB＝AC＝5，BC＝6，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　　　　．
34 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6 cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为　　　　cm.
35 （2024苏州工业园区月考）如图，有一半径为1的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r＝　　　　．
36 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝＋1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝.以点A为圆心，AH的长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1－r2＝　　　　．
期末专题训练(二)　圆
1. D　2. C　3. 3　4. 4　5.
6. B　7. 30°或150°　8. 3　9. 3
10. (1) 证明：因为AB是直径，弦CE⊥AB，
所以AB垂直平分CE，
所以∠APC＝∠APE.
因为∠APE＝∠BPD，
所以∠APC＝∠BPD，
所以∠CPD是的“相望角”．
(2) 解：由题意知，∠CPD是的“相望角”，∠CPD＝90°，
所以∠CPE＝90°，
因为直径AB＝6，弦CE⊥AB，
所以∠PEC＝∠PCE＝45°.
如图，记圆心为O，连接OC，OD，则OC＝OD＝AB＝3.
易得∠COD＝2∠PEC＝90°，
在Rt△COD中，由勾股定理，得CD＝＝3，
所以CD的长为3.
11. B　12. 或2　13. 3　14. 2　15. 6或6或2
16. A　17. 42°　18.
19. (1) 证明：因为OA＝OD，
所以∠A＝∠ADO.
因为AB＝BC，
所以∠A＝∠C，
所以∠ADO＝∠C，
所以OD∥BC.
因为DE⊥BC，
所以DE⊥OD.
因为OD是⊙O的半径，
所以DE是⊙O的切线．
(2) 解：如图，过点O作OH⊥CF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
所以四边形ODEH是矩形，
所以OD＝EH，OH＝DE.
因为OF＝OB，
所以BH＝FH＝1，
所以OD＝EH＝2，
所以AB＝2OD＝4，OH＝＝，
所以DE＝OH＝，
所以BD＝＝2，
所以AD＝＝＝2.
20. 　21. 5　22. 　23. B　24. 45°　25. 10
26. A　27. 11π　28. 6π－9　29.
30. 解：设BC与半圆O交于点M.
当t＝2.5 s时，BE＝2.5.
因为EF＝10，所以OE＝EF＝5，
所以OB＝2.5，所以EB＝OB.
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，所以ME＝MO.
又因为MO＝EO，所以ME＝EO＝MO，
所以△MOE是等边三角形，所以∠EOM＝60°，
所以的长为＝，
所以半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为.
31. D　32. 20π　33. 216°　34. 2　35. 　36.