期末专题训练（一）　一元二次方程 同步练 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

期末专题训练（一）　一元二次方程
考点一　一元二次方程的概念辨析
1 （2024镇江月考）下列方程中，是一元二次方程的是(　　)
A. x2＋y＝11 B. x2＋＝3 C. x2－13＝0 D. 2x＋1＝0
2 （2024惠山区期中）已知关于x的方程(m＋1)x|4m|-2＋27mx＋5＝0是一元二次方程，则m＝　　　　．
考点二　一元二次方程的解
3 （2024南通海门月考）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＝1的一个根为0，则a的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4 （2024苏州吴江月考）若a为方程x2－3x－6＝0的一个根，则代数式－3a2＋9a－5的值为　　　　．
考点三　一元二次方程的解法
5 （2024盐城阜宁期中）若将一元二次方程x2＋16x＝16化为(x＋m)2＝n的形式，则m＋n＝　　　　．
6 （2024南京鼓楼月考）解方程：
(1) 4(x－1)2＝25；　　　　 (2) x2－6x－7＝0（用配方法解）；
(3) 3x2＋2x－2＝0（公式法）；　 (4) 2(x－2)2＝x2－4.
考点四　一元二次方程的根的判别式
7 已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－3)x＋(m－1)＝0有两个实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若m为最大负整数，求此时方程的根．
8 已知关于x的一元二次方程2x2－mx＋n＝0.
(1) 当m－n＝3时，请判断方程根的情况；
(2) 若方程有两个相等的实数根，当n＝8时，求此时方程的根．
考点五　一元二次方程的根与系数的关系
9 已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个实数根，求下列各式的值：
(1) x1x＋xx2；
(2) x＋x.
10 已知关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0).
(1) 求证：无论m取任何实数，方程总有两个实数根；
(2) 若m＜0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），若y是m的函数，且y＝x1－，求这个函数的表达式；
(3) 若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的两个根都是整数，a与a＋b(b≠0)分别是关于x的方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0的两个根．求代数式4a2＋12ab＋5b2＋16b＋8的值．
考点六　一元二次方程的应用
11 李师傅家的超市今年1月盈利3 000元，3月盈利3 630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，求这个平均增长率．
12 如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的地方铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？
13 某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价．
(1) 若商家想第二天就将这批水晶饰品销售完，则销售价格应定为多少元？
(2) 单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获利625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？
14 如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝8 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．
(1) 几秒后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍？
(2) 是否存在时间t使得△DPQ的面积是22 cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
专题训练(一)　一元二次方程
1. C　2. 1　3. B　4. －23　5. 88
6. (1) 两边除以4，得(x－1)2＝，
所以x－1＝或x－1＝－，
解得x1＝，x2＝－.
(2) 移项，得x2－6x＝7，
所以x2－6x＋9＝7＋9，
所以(x－3)2＝16，
即x－3＝4或x－3＝－4，
解得x1＝7，x2＝－1.
(3) 因为a＝3，b＝2，c＝－2，
所以Δ＝b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝4＋24＝28，
所以x＝＝，
故x1＝，x2＝.
(4) 移项，得2(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0，
所以(x－2)[2(x－2)－(x＋2)]＝0，
即(x－2)(x－6)＝0，
所以x－2＝0或x－6＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
7. 解：(1) 由题意，得m≠0且Δ＝(2m－3)2－4m(m－1)≥0，
解得m≤，且m≠0.
(2) 根据题意，得m＝－1，
此时方程变形为x2－5x＋2＝0，
所以Δ＝25－4×2＝17，
解得x1＝，x2＝.
8. 解：(1) 因为m－n＝3，所以n＝m－3，
所以Δ＝(－m)2－4×2n＝m2－8n＝m2－8m＋24＝(m－4)2＋8.
因为(m－4)2≥0，所以(m－4)2＋8＞0，即Δ＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
(2) 因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝(－m)2－4×2n＝0，所以m2＝8n.
因为n＝8，所以m＝±8.
当m＝8时，原方程为2x2－8x＋8＝0，解得x1＝x2＝2；
当m＝－8时，原方程为2x2＋8x＋8＝0，解得x1＝x2＝－2.
9. 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
(1) 原式＝x1x2(x1＋x2)＝×＝.
(2) 原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×＝.
10. 解：(1) 因为Δ＝(3m＋1)2－4m×3＝9m2－6m＋1＝(3m－1)2≥0，
所以无论m取任何实数，方程总有两个实数根．
(2) 因为x＝，
所以x＝－或x＝－3.
因为m＜0，x1＜x2，
所以x1＝－3，x2＝－，
所以y＝x1－＝－3＋m(m＜0)，
所以该函数的表达式为y＝－3＋m(m＜0).
(3) 因为a与a＋b(b≠0)分别是关于x的一元二次方程mx2＋(3m＋1)x＋3＝0(m≠0)的两个根，
所以a＋a＋b＝－＝－3－，a(a＋b)＝.
因为a与a＋b是整数，所以与均为整数．
因为m是正整数，所以m＝1，
所以a＋a＋b＝－4，所以a＝，
将a＝代入，得4×()2＋12b()＋5b2＋16b＋8＝16＋8b＋b2－24b－6b2＋5b2＋16b＋8＝24.
11. 解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x.
根据题意，得3 000(1＋x)2＝3 630，
解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，
故每月盈利的平均增长率为10%.
12. 解：设道路的宽应为x m.
根据题意，得(50－2x)(38－2x)＝1 260，
解得x＝4或x＝40(不合题意，舍去)，所以x＝4，
故道路的宽应为4 m.
13. 解：(1) 设降低x元销售(0≤x≤4).
根据题意，得300－100－(100＋25x)＝0，
解得x＝4，则销售价格为10－4＝6(元)，
所以销售价格应定为6元．
(2) 设单价降低y元销售．
由题意，得(10－6)×100＋(10－y－6)(100＋25y)＋(4－6)×[300－100－(100＋25y)]＝625，
解得y1＝y2＝1，
所以销售价格为10－1＝9(元)，
即第二天每个饰品的销售价格为9元．
14. 解：(1) 设t s后点P，D间的距离是点P，Q间距离的2倍，
所以PD＝2PQ.
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠B＝90°，
所以PD2＝AD2＋AP2，PQ2＝BP2＋BQ2.
因为PD2＝4PQ2，
所以82＋(2t)2＝4[(10－2t)2＋t2]，
整理，得t2－10t＋21＝0，
解得t1＝3，t2＝7.
因为当t＝7时，10－2t＜0，所以t＝3.
故3 s后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍．
(2) 不存在，理由如下：
设x s后△DPQ的面积是22 cm2.
因为S△DPQ＝S矩形ABCD－S△ADP－S△BQP－S△DCQ，
所以×8×2x＋(10－2x)·x＋(8－x)×10＝80－22，整理，得x2－8x＋18＝0.
因为该方程无解，
所以不存在时间t使得△DPQ的面积是22 cm2.