期末综合测试卷 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

期末综合测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1. 用配方法解方程x2＋4x－1＝0，变形正确的是(　　)
A. (x＋2)2＝5　　 B. (x＋4)2＝5　　
C. (x＋2)2＝1　　 D. (x＋4)2＝1
2. (2024连云港海州月考)一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是(　　)
A. 3，2 B. 3，3 C. 4，2 D. 4，3
3. 若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)
A. －9　　 B. －　　 C. 　　 D. 9
4. 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　)
A. 140°　　 B. 120°　　 C. 110°　 D. 70°
(第4题) (第6题) (第7题) (第8题)
5. (2024盐城大丰月考)某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为(　　)
A. 2% B. 5% C. 10% D. 20%
6. 如图，O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是(　　)
A. 　 B. 　　 C. 　　 D.
7. 如图，I为△ABC的内心，有一直线通过点I且分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝DE＝5，AE＝6，则点I到BC的距离为(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 2　　 D. 3
8. (2024南通海门月考)如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 填空题(每小题3分，共24分)
9. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝________．
10. 学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩(百分制).小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是________分．
11. 用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是________．
12. 如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________．
(第12题) (第14题) (第16题)
13. (2024南通崇川月考)若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________．
14. 如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB＝5，AC＝4，则BD＝________，CD＝________．
15. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4，max{－2，－4}＝－2.按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是________．
16. (2024盐城盐都月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为________．
三、 解答题(共102分)
17. (12分)用适当方法解下列方程：
(1) 4(x－5)2＝16；　　　　 (2) 3x2＋2x－3＝0；
(1) 3(x－1)2＝x(x－1)； (4) 3x2－6x－2＝0.
18. (8分)(2024常州)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1) 从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2) 甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
19. (10分)(2024淮安)张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
(1) 根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 18 2.4 5
路线二 15.6 11 18.04
(2) 请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
20. (10分)如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为上的一点，且∠ADE＝40°.
(1) 求的长；
(2) 若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
21. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0.
(1) 求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2) 若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值．
22. (10分)某宾馆共有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满. 每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间. 入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天．
(1) 当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有________间；
(2) 若该宾馆每天的收入要达到11 350元，每间房间定价为多少元/天？(宾馆每天的收入＝入住的房费－维护费)
23. (10分)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
(1) 求证：PD是⊙O的切线；
(2) 当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
备用图
24. （10分）（2024常州天宁期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）.
(1) 如图1，若M是半圆的中点，且与点C在同一侧，画出∠ACB的平分线CN.并说明理由；
(2) 如图2，若DE∥AB，画出∠ACB的平分线CP；
(3) 在(2)的作图下，已知AC＝4，BC＝3，CP交直径AB于点F，则AF＝　　　　．
图1 图2
25. （12分）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNPQ上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ.已知BC＝24 m，AB＝40 m．设AM＝x m.
(1) 当种花的面积为440 m2时，求x的值；
(2) 种花的面积能否达到520 m2？请说明理由；
(3) 设种花的面积为a m2，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围．
26. （12分）（2024盐城盐都期中）
【发现结论】
一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，a)，B(－b，c)，以AB为直径作⊙M.若⊙M与x轴交于点P(s，0)，Q(t，0)，则s，t为关于x的方程x2＋bx＋ac＝0的两个实数根．
【探究思考】
(1) 由题意，得∠APB＝90°，AP2＝s2＋a2，BP2＝(－b－s)2＋c2，AB2＝b2＋(a－c)2.
在Rt△ABP中，由AP2＋BP2＝AB2，得s2＋a2＋(－b－s)2＋c2＝b2＋(a－c)2，
化简，得　　　　　　　　，同理可得　　　　　　　　．
所以s，t为方程x2＋bx＋ac＝0的两个实数根．
【灵活运用】
(2) 如图2，x1，x2为方程　　　　　　的两个实数根．
(3) 在图3中所给网格图的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点P，Q.
(4) 已知点A(0，－8)，B(8，－2)，以AB为直径作⊙C.根据小聪的发现判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
图1 图2 图3
期末综合测试卷
1. A　2. A　3. C　4. A　5. D　6. B　7. A　8. B
9. 9　10. 87　11. 4　12. 1－　13. －1
14. 　　15. －1或　16. 6－3
17. (1) x1＝7，x2＝3
(2) x1＝，x2＝
(3) x1＝1，x2＝
(4) x1＝1＋，x2＝1－
18. 解：(1)
(2) 列表如下：
甲 乙
石头 剪子 布
石头 (石头，剪子) (石头，布)
剪子 (剪子，石头) (剪子，布)
布 (布，石头) (布，剪子)
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头，剪子)，(剪子，布)，(布，石头)，共3种，
所以甲取胜的概率为＝.
19. 解：(1) 路线一：18，18；
路线二：15，11.
(2) 路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．(答案不唯一，合理即可)
20. (1) 解：如图，连接OE.
因为∠ADE＝40°，
所以∠AOE＝2∠ADE＝80°，
所以∠EOB＝180°－∠AOE＝100°.
因为AB＝4，所以⊙O半径长是2，
所以的长＝＝.
(2) 证明：因为∠EAB＝∠EOB＝50°，
所以∠BAC＝∠EAD－∠EAB＝76°－50°＝26°.
因为∠C＝64°，所以∠C＋∠BAC＝90°，
所以∠ABC＝180°－(∠C＋∠BAC)＝90°，
所以AB⊥BC，又AB为⊙O的直径，
所以CB为⊙O的切线．
21. (1) 证明：因为Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0，
所以方程总有实数根．
(2) 解：由题意知，x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m.
因为＋＝＝－2＝－，
所以－2＝－，
整理，得5m2－7m＋2＝0，解得m＝1或m＝.
22. 解：(1) 34
(2) 设每间房间定价为x元/天．
根据题意，得x(40－)－20×(40－)－5×＝11 350，
整理，得x2－715x＋126 000＝0，
解得x1＝315，x2＝400.
当x＝315时，未入住房间为1.5间，不符合题意，
故每间房间定价为400元/天．
23. (1) 证明：如图1，连接OD.
因为PA切⊙O于点A，
所以PA⊥AB，即∠PAO＝90°.
因为BD∥OP，
所以∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.
因为OD＝OB，所以∠BDO＝∠DBO，
所以∠DOP＝∠AOP.
在△AOP和△DOP中，
所以△AOP≌△DOP(SAS)，所以∠PDO＝∠PAO.
因为∠PAO＝90°，所以∠PDO＝90°，即OD⊥PD.
因为OD为⊙O的半径，所以PD是⊙O的切线．
(2) 解：由(1)，得△AOP≌△DOP，则PA＝PD.
如图2，因为四边形POBD是平行四边形，所以PD＝OB.
因为OB＝OA，所以PA＝OA，所以∠APO＝∠AOP.
因为∠PAO＝90°，所以∠APO＝∠AOP＝45°.
图1 图2
24. 解：(1) 如图1，射线CN即为所求．理由如下：
因为＝，MN是直径，
所以＝，
所以∠ACN＝∠BCN，
即CN平分∠ACB.
(2) 如图2，射线CP即为所求．
(3) 　解析：如图2，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以AB＝＝＝5.因为CF平分∠ACB，FM⊥BC，FN⊥AC，所以FM＝FN.因为＝＝＝，所以AF＝AB＝.
图1 图2
25. 解：(1) 根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝440，
整理，得x2－32x＋220＝0，即(x－22)(x－10)＝0，
解得x1＝22，x2＝10，
则x的值为22或10.
(2) 种花的面积不能达到520 m2，理由如下：
根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝520，
整理，得x2－32x＋260＝0.
因为b2－4ac＝322－4×260＝1 024－1 040＝－16＜0，
所以此方程无解，故种花面积不能达到520 m2.
(3) 根据题意，得24×40－2×(40－x)(24－x)－2×x2＝a，
整理，得x2－32x＋＝0.
①当方程有两个相等根时，满足x的值有且只有一个，
所以Δ＝322－4×＝0，
即2a＝1 024，解得a＝512；
②当方程有两个不等根时，0＜x＜24，a为面积，
所以Δ＝322－4×＞0，解得0＜a＜512，
解得x1＝16＋，x2＝16－，
所以x1≥24，
所以≥8，解得0＜a≤384.
综上，a＝512或0＜a≤384.
26. 解：(1) s2＋bs＋ac＝0　t2＋bt＋ac＝0
(2) x2－5x＋3＝0
(3) 由题意，得－b＝3，ac＝－2，
取a＝1，则c＝－2，
即点A(0，1)，B(3，－2)，
以AB为对角线作正方形ATBS，正方形对角线的交点为圆心R，
以AR为半径作圆R，交x轴于点P，Q即为所求点．
(4) ⊙C与x轴的位置关系为相切，理由如下：
由点A，B的坐标知，a＝－8，b＝－8，c＝－2，
则对应的方程为x2－8x＋16＝0，
解得x＝4，
即方程有两个相等的解，
故⊙C与x轴的位置关系为相切．