期中综合测试卷 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

期中综合测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1. (2024南京江宁月考)下列关于x的方程中，是一元二次方程的为(　　)
A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－＝1
C. x2－1＝0 D. 2x＋3y－5＝0
2. (2024高新区月考)一元二次方程x2－6x－1＝0配方后可变形为(　　)
A. (x＋3)2＝10 B. (x＋3)2＝8 C. (x－3)2＝10 D. (x－3)2＝8
3. 如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　　)
A. 70°　 B. 105°　　 C. 125°　　 D. 155°
(第3题) (第4题) (第8题)
4. (2024东营)东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20 cm，OB＝5 cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为(　　)
A. cm2 B. 75π cm2 C. 125π cm2 D. 150π cm2
5. 若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)等于(　　)
A. －2　　 B. 2　　 C. －4　　 D. 4
6. (2024镇江月考)已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－4＝0的两根，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. x1≠x2 B. x1＋x2＞0 C. x1x2＞0 D. x1＜0，x2＜0
7. 已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋1)x＋1＝0有两个不相等的整数根，m为整数，则m的值是(　　)
A. －1　 B. 1　　 C. 0　　 D. ±1
8. 如图，在平面直角坐标系中，点C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB. P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为(　　)
A. 4　　 B. 3　　 C. 7　　 D. 8
二、 填空题(每小题3分，共24分)
9. (2024苏州期末)方程x2＋6x＝0的根为________．
10. (2024南京玄武三模)若一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是________．
11. 已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)＝10，则k的值为________．
12. (2024青海)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是________．
(第12题) (第14题) (第15题) (第16题)
13. 若一个直角三角形的斜边长是2 cm，两条直角边长的和是6 cm，则这个直角三角形的面积为________cm2.
14. 如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为________．
15. 如图，在半径为 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为________；若将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥的底面半径为________．
16. 如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE＋PF，则t的取值范围是________．
三、 解答题(共102分)
17. (12分)(2024常州期中)解方程：
(1) (x－1)2－9＝0；　　　　　　　 (2)x2－x－6＝0；
(3)x2－6x－16＝0(用配方法解)；　　 (4) 3(x－1)2＝1－x.
18. (8分)如图，OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于点C，D.求证：AC＝BD.
19. (8分)如图，在残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交于点C，交弦AB于点D.已知AB＝24 cm，CD＝8 cm.
(1) 作此残片所在的圆(不写作法，保留尺规作图痕迹)；
(2) 求(1)中所作圆的半径．
20. (10分)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 当k＝1时，用配方法解方程．
21. (10分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1) 求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
22. (10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为边BC的中点，连接DE.
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 当∠A的度数是多少时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形？请证明你的结论．
23. (10分)为了丰富市民的文化生活，某市一景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，那么门票价格为60元/人；
标准二：如果人数超过20人，那么每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
(1) 当夜游人数为15人时，人均门票价格为________元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为________元；
(2) 若某单位支付门票费用共计1 232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？
24. (10分)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1) 如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
(2) 如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．
图1 图2
25. (12分)(2024镇江期中)定义：关于x的方程ax2＋cx＋b＝0，如果a，b，c满足a2＋b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题：
(1) 请写出一个“经典方程”：________；
(2) 求证：关于x的“经典方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根；
(3) 如图，AB，CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB＝a，CD＝b，且关于x的方程x2＋x＋＝0是“经典方程”，求∠BOC的度数．
26. (12分)如图，在平面直角坐标系中，以点M(3，0)为圆心的⊙M交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，D.
(1) 若点C的坐标为(0，4)，求点A的坐标；
(2) 在(1)的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM＝45°？若存在，求出满足条件的点P；
(3) 过点C作⊙M的切线CE，过点A作AN⊥CE于点F，交⊙M于点N，当⊙M的半径大小发生变化时，AN的长度是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，证明并求值．
期中综合测试卷
1. C　2. C　3. D　4. C　5. A　6. A　7. A　8. A
9. x1＝0，x2＝－6　10. 1　11. 7　12. 130°　13. 4
14. 或　15. π　　16. 2≤t≤4＋2 17. (1) (x－1)2－9＝0，移项，得(x－1)2＝9，开平方，得x－1＝±3，所以x1＝4，x2＝－2.
(2) x2－x－6＝0，即(x＋2)(x－3)＝0，所以x＋2＝0或x－3＝0，所以x1＝－2，x2＝3.
(3) x2－6x－16＝0，移项，得x2－6x＝16，配方，得x2－6x＋9＝16＋9，即(x－3)2＝25，所以x－3＝±5，所以x1＝8，x2＝－2.
(4) 3(x－1)2＝1－x，即3(x－1)2＋(x－1)＝0，提取的因式，得(x－1)[3(x－1)＋1]＝0，整理，得(x－1)(3x－2)＝0，所以x－1＝0或3x－2＝0，所以x1＝1，x2＝.
18. 证明：因为OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，
所以OM⊥AB.
因为MA＝MB，
所以△ABO是等腰三角形，
所以OA＝OB.
因为OC＝OD，
所以OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD.
19. 解：(1) 图略
(2) 如图，连接OA.
设OA＝x cm，则OD＝(x－8) cm.
因为AD＝AB＝12 cm，
所以在Rt△ADO中，由勾股定理，得x2＝122＋(x－8)2，
解得x＝13 cm，
故所作圆的半径为13 cm.
20. 解：(1) 因为关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，
所以(2k＋4)2－4k(k－6)＞0，且k≠0，
解得k＞－且k≠0.
(2) 当k＝1时，原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，
即x2－6x－5＝0，
移项，得x2－6x＝5，配方，得x2－6x＋9＝5＋9，
即(x－3)2＝14，直接开平方，得x－3＝±，
解得x1＝3＋，x2＝3－.
21. (1) 证明：因为b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，
所以无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
(2) 解：因为该方程的两个实数根为a，b，
所以a＋b＝－＝2m＋1，ab＝＝m2＋m.
因为(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab，
所以2(a＋b)2＋ab＝20，所以2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，
整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，
所以m的值为－2或1.
22. (1) 证明：如图，连接OD.
因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，
所以∠BDC＝90°.
因为E是BC的中点，所以DE＝EC＝BE，
所以∠CDE＝∠DCE.
因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.
因为∠OCD＋∠DCE＝∠ODC＋∠CDE＝∠ACB＝90°，
所以∠ODE＝90°，即OD⊥DE.
因为OD是⊙O的半径，
所以DE是⊙O的切线．
(2) 解：当∠A＝45°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．证明如下：
因为∠COD＝2∠A＝90°，∠ACB＝90°，∠ODE＝90°，
所以以O，D，E，C为顶点的四边形是矩形．
又因为OC＝OD，所以以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
23. 解：(1) 60　50
(2) 设该单位这次共有x名员工去此景点夜游，
因为1 232÷60＝20，1 232÷50＝24，
所以20＜x≤24.
根据题意，得x[60－2(x－20)]＝1 232，
整理，得x2－50x＋616＝0，
解得x1＝22，x2＝28(不符合题意，舍去).
故该单位这次共有22名员工去此景点夜游．
24. (1) 证明：因为OA⊥BD，所以＝，
所以∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD.
(2) 解：如图，延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N.
因为AE⊥BC，CE⊥AB，所以∠AMB＝∠CNB＝90°.
因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，
所以∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
所以AD∥NC，CD∥AM，
所以四边形AECD是平行四边形，
所以AE＝CD＝3，
所以BC＝＝＝3.
25. (1) 6x2＋10x＋8＝0 (答案不唯一)
(2) 证明：因为关于x的方程ax2＋cx＋b＝0是“经典方程”，
所以a2＋b2＝c2且c≠0.
①当a≠0时，(c)2－4ab＝2c2－4ab ＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a2＋b2－2ab)＝2(a－b)2≥0，
所以方程有两个实数根；
②当a＝0时，
方程为cx＋b＝0，c≠0，
所以该方程有实数根，
所以关于x的“经典方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根．
(3) 解：如图，作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，
则EF⊥CD，
所以AE＝BE＝a，CF＝DF＝b.
因为BE2＋OE2＝OB2，
所以(a)2＋OE2＝12.
因为ax2＋x＋b＝0是“经典方程”，
所以(a)2＋(b)2＝12，
所以OE＝b＝CF.
因为OB＝OC，
所以Rt△BOE≌Rt△OCF(HL)，
所以∠FOC＝∠OBE.
因为∠OBE＋∠EOB＝90°，
所以∠FOC＋∠EOB＝90°，
所以∠BOC＝90°.
26. 解：(1) 连接CM.
因为M(3，0)，C(0，4)，
所以CM＝5，即⊙M的半径为5，
所以MA＝5，
所以A(－2，0).
(2) 假设存在这样的点P(x，y)，结合题意，
可得△CMP为等腰直角三角形，CM＝PM＝5，CP＝5，
则可构造全等三角形如图1所示．
①过点P作PJ⊥x轴于点J，易证△COM≌△MJP，
则MJ＝OC＝4，PJ＝OM＝3，
所以点P的坐标为(7，3)；
②过点P′作P′K⊥x轴于点K，易证△COM≌△MKP′，
则MK＝OC＝4，P′K＝OM＝3，
所以点P′的坐标为(－1，－3).
综上，存在P(7，3)或P(－1，－3)满足题意．
(3) AN的长不变，为6.
如图2，连接CM，作MH⊥AN于点H.
易证△AMH≌△MCO，故AH＝MO＝3.
所以AN＝HN＋AH＝3＋3＝6.
图1 图2