微专题1一元二次方程的解法归纳 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

微专题1　一元二次方程的解法归纳
类型一　用直接开平方法解方程
形如x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程
1 (1) (x－1)2－49＝0；　　　　 (2) (2x－1)2＝25；
(3) 3(x＋2)2＝； (4) (3x－1)2＝(x＋1)2.
类型二　用配方法解方程
2 (1) x2－4x＋1＝0; (2) x2＋3x－4＝0；
(3) －x2＋x＋2＝0; (4) 2x2＋3x－2＝0.
类型三　用公式法解方程
3 (1) x2－3x＋1＝0; (2) x2－2x＋2＝0；
(3) x(x＋1)＋4(x－1)＝2(x－4)； (4) x2＋mx－2m2＝0(m为常数).
类型四　用因式分解法解方程
可化为一边为0，另一边为两个一次因式的积的形式的方程优先选用因式分解法
4 (1) 5x2－4x＝0; (2) x(x－6)＝－4(x－6)；
(3) x(2x－5)＝4x－10; (4) 4(2x＋1)2－9(2x－1)2＝0.
类型五　用特殊的方法解方程
5 解方程：5x2－4x－1＝0.
解：拆项，得5x2－4x－(5－4)＝0; 分组，得(5x2－5)＋(－4x＋4)＝0；
提公因式，得5(x2－1)－4(x－1)＝0; 再提公因式，得(x－1)(5x＋1)＝0；
所以x－1＝0或5x＋1＝0，所以x1＝1，x2＝－.
(1) 仿照上面的解法解方程：2x2－3x＋1＝0；
(2) 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，则它的两根分别为______________．(用含a，b，c的式子表示)
6 阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.令y＝|x|，则原方程化为y2－y－2＝0，
解得y1＝2，y2＝－1，
当|x|＝2时，x＝±2；当|x|＝－1时，无解，
所以原方程的解是x1＝2, x2＝－2.
请模仿上面的方法解方程(x－1)2－5|x－1|－6＝0.
7 阅读下列材料：
解方程：x4－6x2＋5＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，则原方程可化为y2－6y＋5＝0，
解得y1＝1，y2＝5.
当y＝1时，x2＝1，所以x＝±1；当y＝5时，x2＝5，所以x＝±，
所以原方程有四个根x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
解方程：(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
微专题1　一元二次方程的解法归纳
1. (1) 移项，得(x－1)2＝49，开方，得x－1＝±7，
所以x＝1±7，所以x1＝8，x2＝－6.
(2) 开方，得2x－1＝5或2x－1＝－5，
所以x1＝3，x2＝－2.
(3) 因为3(x＋2)2＝，所以(x＋2)2＝，
所以x＋2＝±，所以x＋2＝或x＋2＝－，
所以x1＝－，x2＝－.
(4) 方程两边开方，得3x－1＝x＋1或3x－1＝－(x＋1)，
所以2x＝2或4x＝0，所以x1＝1，x2＝0.
2. (1) 移项，得x2－4x＝－1，
配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，
即(x－2)2＝3，所以x－2＝±，
所以x1＝2＋，x2＝2－.
(2) 移项，得x2＋3x＝4，
配方，得x2＋3x＋()2＝4＋()2，
即(x＋)2＝，所以x＋＝±，
所以x1＝1，x2＝－4.
(3) 两边都除以－，得x2－2x－4＝0，
移项，得x2－2x＝4，
配方，得x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5，所以x－1＝±，
所以x1＝1＋，x2＝1－.
(4) 两边都除以2，得x2＋x－1＝0，
移项，得x2＋x＝1，
配方，得x2＋x＋()2＝1＋()2，
即(x＋)2＝，所以x＋＝±，
所以x1＝，x2＝－2.
3. (1) 因为a＝1，b＝－3，c＝1，
所以b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，
所以x＝＝，
所以x1＝，x2＝.
(2) 因为a＝1，b＝－2，c＝2，
所以b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝0，
所以x＝＝＝，
所以x1＝x2＝.
(3) 化方程为一般形式，得x2＋3x＋4＝0，
因为a＝1，b＝3，c＝4，
所以b2－4ac＝32－4×1×4＝9－16＝－7<0，
所以此方程没有实数根．
(4) 因为a＝1，b＝m，c＝－2m2，
所以b2－4ac＝m2－4×1×(－2m2)＝9m2，
所以x＝＝，
所以x1＝－2m，x2＝m.
4. (1) 原方程可化为x(5x－4)＝0，所以x＝0或5x－4＝0，所以x1＝0，x2＝.
(2) 移项，得x(x－6)＋4(x－6)＝0，即(x－6)(x＋4)＝0，所以x－6＝0或x＋4＝0，
所以x1＝6，x2＝－4.
(3) 移项，得x(2x－5)－2(2x－5)＝0，
即(2x－5)(x－2)＝0，所以2x－5＝0或x－2＝0，
所以x1＝，x2＝2.
(4) 因式分解，得[2(2x＋1)＋3(2x－1)][2(2x＋1)－3(2x－1)]＝0，即(10x－1)(－2x＋5)＝0，
所以10x－1＝0或－2x＋5＝0，
所以x1＝，x2＝.
5. 解：(1) 拆项，分组，得(2x2－2)－(3x－3)＝0，
提公因式，得2(x2－1)－3(x－1)＝0，
再提公因式，得(x－1)(2x－1)＝0，
所以x－1＝0或2x－1＝0，
所以x1＝1，x2＝.
(2) x1＝1，x2＝
6. 解：原方程化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0，
令y＝|x－1|，则原方程化为y2－5y－6＝0，
解得y1＝6，y2＝－1，
当|x－1|＝6时，解得x1＝7，x2＝－5；
当|x－1|＝－1时，无解．
故原方程的解是x1＝7，x2＝－5.
7. 解：设y＝x2－x，则原方程可化为y2－4y－12＝0，
解得y1＝6，y2＝－2，
当x2－x＝6时，解得x1＝3，x2＝－2；
当x2－x＝－2时，无解．
故原方程的解是x1＝3，x2＝－2.