微专题4与圆相关的综合题 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

微专题4　与圆相关的综合题
类型一　圆与函数
1 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图像被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是(　　)
A. 2　　 B. 2＋　　 C. 2　　 D. 2＋
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2 （2024凉山州）如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为　　　　．
3 如图，⊙P的圆心在反比例函数y＝(k＞0)第一象限内的图像上，且⊙P与x轴交于A，B两点，与y轴相切于点C（0，），则当△PAB是正三角形时，k的值为　　　　．
4 （2024无锡梁溪模拟）如图，点A的坐标是(－2，0)，C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为P(x，y)，则3x＋4y的最小值为　　　　．
5 （2024宿迁宿豫期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，OA＝5，过点A的直线与边BC交于点D，且CD＝2，DO平分∠ADC，过点D作DE⊥OA，垂足为E，以OC为直径作⊙P.
(1) 求直线AD对应的函数表达式；
(2) 判断DE与⊙P的位置关系，并说明理由；
(3) 如图2，将⊙P沿x轴向右滚动，当⊙P与直线AD相切时，请直接写出圆心P的坐标．
图1 图2
类型二　圆与四边形
6 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，过点O，E的直线交CF于点G，则CF的长为(　　)
A. 4.5　　 B. 4　　 C. 3.5　　 D. 3
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7 （2024呼和浩特）如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36 cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，M为BC的中点，若以点M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝　　　　；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为　　　　 cm.
8 如图，正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG，则CG的最小值为　　　　．
9 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，P为△OCD内的一个动点，且∠CPD＝120°，PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，则PE＋2PF的最小值为　　　　．
10 （2024绥化）如图1，O是正方形ABCD的对角线上一点，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F.
(1) 求证：AB与⊙O相切；
(2) 若正方形ABCD的边长为＋1，求⊙O的半径；
(3) 如图2，在(2)的条件下，若M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N.当CM∶FM＝1∶4时，求CN的长．
图1 图2
微专题4　与圆相关的综合题
1. B　2. 2　3. 2　4. －10
5. 解：(1) 因为DO平分∠ADC，所以∠ODA＝∠ODC.
因为BC∥OA，所以∠AOD＝∠CDO＝∠ODA，
所以AD＝OA＝5，
则Rt△ADB中，BD＝BC－CD＝5－2＝3，AD＝5，
所以AB＝4＝OC，
所以圆P的半径为2，点D(2，4).
由点A，D的坐标，得直线AD的函数表达式为y＝－x＋.
(2) DE与⊙P相切．理由如下：
过点P作PS⊥ED于点S，
则PS＝CD＝2＝PC＝OP，
故DE与⊙P相切．
(3) 当点P在DA的左侧时，过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交CD于点G，过点P作x轴的平行线交DA于点T.
由题意，得CD，AD，x轴均与圆P相切，则DG＝DN，AN＝AH.
设点P(x，2)，则CG＝x＝OH，
则AH＝5－x＝AN，DN＝DG＝2－x，
所以AD＝5＝AN＋DN＝5－x＋2－x，
解得x＝1，即点P(1，2)；
当y＝2时，y＝－x＋＝2，则x＝，
即点T(，2)，
易得T为PP′的中点，
由中点坐标公式，得点P′(6，2).
综上，点P的坐标为(1，2)或(6，2).
6. B　7. 40°　2　8. －1　9. 4－4
10. (1) 证明：如图1，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
因为⊙O与AD相切于点E，
所以OE⊥AD.
因为四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，
所以∠BAC＝∠DAC＝45°，
所以OE＝OG.
因为OE 为⊙O的半径，
所以OG为⊙O的半径．
因为OG⊥AB，
所以AB与⊙O相切．
(2) 解：因为AC为正方形ABCD的对角线，
所以∠DAC＝45°.
因为⊙O与AD相切于点E，
所以∠AEO＝90°，
由(1)可知 AE＝OE，
设AE＝OE＝OC＝OF＝R，
则在Rt△AEO中，AE2＋EO2＝AO2，
所以AO2＝R2＋R2.
因为R＞0，
所以AO＝R.
又因为正方形ABCD的边长为＋1，
所以在Rt△ADC中，AC＝＝(＋1).
因为OA＋OC＝AC，
所以R＋R＝(＋1)，
解得R＝，
故⊙O的半径为.
(3) 解：如图2，连接FN，ON.
设CM＝k，
因为CM∶FM＝1∶4，
所以CF＝5k，
所以OC＝ON＝2.5k，
所以OM＝OC－CM＝1.5k.
在Rt△OMN中，由勾股定理，得MN＝2k，
在Rt△CMN中，由勾股定理，得CN＝k，
又因为FC＝5k＝2R＝2，
所以k＝，
所以CN＝×＝.
图1 图2