1．1～1.3　阶 段 提 优 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

1．1～1.3　阶 段 提 优
一、 选择题
1 (2024苏州工业园区月考)下列方程中，是一元二次方程的是(　　)
A. x2＋3x＋y＝0　 B. x＋y＋1＝0　 C. x2＝0　 D. x2＋＋5＝0
2 (2024贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1
3 (2024黑龙江)已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　)
A. m≤4 B. m≥4　 C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2
4 (2024赤峰)若等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
5 (2024河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. ＋1 D. 1或＋1
二、 填空题
6 (2024镇江)已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
7 (2024扬州邗江二模)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 024－6a＋2b的值为________．
8 (2024南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为 ________．
9 (2024连云港灌云月考)已知关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，则另一个根是________．
10 (2024苏州期中)已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n，若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________．
三、 解答题
11 (2024无锡宜兴月考)解下列一元二次方程：
(1) (2x－5)2＝9；　 (2)x2－4x＝96；
(3) 3x2＋5x－2＝0；　 (4)(x－2)2－5(x－2)＝0.
12 (2024无锡宜兴月考)已知关于x的一元二次方程3x2＋(m－9)x－3m＝0.
(1) 求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根；
(2) 若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围．
13 (2024无锡锡山月考)已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1) 求证：无论k取何实数，方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC的一边a＝3，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
14 (2024姜堰区期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1) 判断一元二次方程x2＋2x－3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由；
(2) 已知关于x的一元二次方程2x2＋bx＋c＝0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b2－2c＋1的最小值．
1．1～1.3　阶 段 提 优
1. C　2. B　3. D　4. C　5. C
6. 9　7. 2 020　8. －4　9. －3　10. 3
11. (1) 开方，得2x－5＝±3，
解得x1＝4，x2＝1.
(2) 原方程可化为x2－4x－96＝0，
所以(x－12)(x＋8)＝0，
所以x－12＝0或x＋8＝0，
解得x1＝12，x2＝－8.
(3) 原方程可变形为(x＋2)(3x－1)＝0，
所以x＋2＝0或3x－1＝0，
解得x1＝－2，x2＝.
(4) 原方程可变形为(x－2)(x－2－5)＝0，
所以x－2＝0或x－2－5＝0，
解得x1＝2，x2＝7.
12. (1) 证明：因为b2－4ac＝(m－9)2－4×3×(－3m)
＝m2－18m＋81＋36m
＝m2＋18m＋81
＝(m＋9)2≥0，
所以无论m取何实数，原方程总有两个实数根．
(2) 解：因为3x2＋(m－9)x－3m＝0，
所以(3x＋m)(x－3)＝0，
所以3x＋m＝0或x－3＝0，
解得x1＝－，x2＝3.
由方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，
得－＞5，
解得m＜－15.
故m的取值范围是m＜－15.
13. (1) 证明：因为b2－4ac＝[－(k＋2)]2－4×1×2k＝(k－2)2≥0，
所以无论k取何实数，方程总有实数根．
(2) 解：①当b＝c时，(k－2)2＝0，
则k＝2，方程可化为x2－4x＋4＝0，
所以x1＝x2＝2，
即b＝c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋2＋2＝7；
②当b＝a＝3时，
因为x2－(k＋2)x＋2k＝0，
所以(x－2)(x－k)＝0，
所以x＝2或x＝k.
又另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
所以k＝b＝3，
所以c＝2，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋3＋2＝8.
综上所述，△ABC的周长为7或8.
14. 解：(1) 是“黄金方程”，理由如下：
因为x2＋2x－3＝0，
所以(x＋3)(x－1)＝0，
所以x＋3＝0或x－1＝0，
所以x1＝－3，x2＝1.
因为c＝－3，
所以一元二次方程x2＋2x－3＝0是“黄金方程”．
(2) 因为关于x的一元二次方程2x2＋bx＋c＝0(c≠0)是“黄金方程”，
所以2c2＋bc＋c＝0.
因为c≠0，
所以2c＝－b－1，
所以b2－2c＋1＝b2＋b＋1＋1＝(b＋)2＋.
因为(b＋)2≥0，
所以b2－2c＋1的最小值为.