1．2　一元二次方程的解法 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

1．2　一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法
1. 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
2. 如果一个一元二次方程具有(x＋h)2＝k（h，k为常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解．
建议用时：20分钟
1 (2024泰州靖江期中)方程x2＝2的解是(　　)
A. 2 B. C. － D. ±
2 (2024南京期中)若关于x的方程(x－4)2＝m＋1有实数根，则m的取值范围是(　　)
A. m≥0 B. m≥－1 C. m＞－1 D. m＞1
3 下列方程中，一定能用直接开平方法解方程的是(　　)
A. －(2x－5)2＋5＝0　　 B. (x＋3)2＋4＝0
C. －x2－7＝0　　　　 D. (x－2)2－m＝0
4 (1) (2024徐州丰县期中)方程x2－25＝0的根为________；
(2) (2024徐州邳州期中)一元二次方程x2－1＝3的根为________．
5 (1) (2024宿迁沭阳月考)若关于x的一元二次方程(x＋2)2＝m－21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是________；
(2) (2024南京鼓楼期中)如果关于x的方程bx2＝2有实数解，那么b的取值范围是______________．
6 若x＝－2是关于x的一元二次方程ax2－4＝0的一个解，则这个方程的另一个解是_____________．
7 解下列方程：
(1) 9x2－16＝0；　 　(2) 2x2－1＝7；　　　 　(3) (x－1)2＝64；
(4) (x－2)2－5＝0; (5) (2y－3)2－64＝0; (6) 4(x－1)2－9＝0.
8 已知2x2＋3与2x2－4互为相反数，求x的值．
建议用时：25＋5分钟
9 若一元二次方程(x－2)2＝3的两根分别为a，b，且a＞b，则2a＋b的值为(　　)
A. 9　　 B. －3　　 C. 6＋ D. －6＋
10 如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，则x的值为(　　)
A. 4　　　　 B. 5
C. 6　　　　 D. 7
11 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的数值是一元二次方程(x－5)2－4＝0的根，则该三角形的周长为________．
12 若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根是2m＋1和m－4，则＝________．
13 若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为________．
14 (2024南京江宁月考)若关于x的一元二次方程a(x＋h)2＋k＝0的两个根为x1＝－1，x2＝3，则关于x的一元二次方程a(x＋h－1)2＋k＝0的解为________．
15 对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝若x※2＝5，则x的值为________．
16 解下列方程：
(1) (3x＋2)2＝4(x－1)2；　　　　 (2) (1－2x)2＝x2－6x＋9.
17 定义：[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.若函数y＝[x]在－2≤x＜2范围内的图像如图所示，求在－2≤x＜2范围内满足[x]＝x2的x的值．
第2课时　配方法(二次项系数为1)
1. 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2＝k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：(1) 把常数项移到方程的另一边；(2) 在方程的两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；(3) 利用直接开平方法求解．
建议用时：20分钟
1 (2024盐城东台期中)一元二次方程x2－6x＋5＝0可变形为(　　)
A. (x－3)2＝4 B. (x＋3)2＝14 C. (x－3)2＝14 D. (x＋3)2＝4
2 (2024东营)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(　　)
A. －2 024 B. 2 024 C. －1 D. 1
3 用配方法解一元二次方程x2－2x＝35时，步骤如下：①x2－2x＋1＝36；②(x－1)2＝36；③x－1＝±6；④x＝±7，即x1＝7，x2＝－7.其中开始出现错误的步骤是(　　)
A. ①　　 B. ②　　 C. ③　　 D. ④
4 填空：
(1) x2－2x＋________＝(x－________)2;
(2) x2＋6x＋________＝(x＋________)2；
(3) x2＋x＋________＝(x＋________)2;
(4) x2－________x＋＝(x－________)2.
5 (2024苏州期中)用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为________．
6 (2024常州溧阳期中)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b 为常数)的形式，则ab＝________．
7 用配方法解下列方程：
(1) x2－2x－3＝0; (2) x(x－4)＝1；
(3) x2－2x－6＝x－11; (4) x2－7＝－6x.
8 当x取何值时，代数式x2－x－6与代数式3x－2的值相等？
建议用时：25＋5分钟
9 已知方程x2－4x＋1＝，“”中的数字印刷不清楚．若可以将其配方成(x－m)2＝5的形式，则印刷不清楚的数是(　　)
A. －3 B. －2 C. 3 D. 2
10 已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝9，则该方程的解是(　　)
A. x1＝7，x2＝－11　　 B. x1＝11，x2＝－7
C. x1＝1，x2＝－5　　 D. x1＝5，x2＝－1
11 若x＝0是关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0的解，则m的值为________.
12 已知x2＋y2－2x＋6y＋10＝0，则x＋y＝________．
13 已知P＝x2＋t，Q＝2x，若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，则t的值可以为________．(写出一个即可)
14 有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0；…；x2＋2nx－8n2＝0.
小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：
①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.
(1) 小静的解法是从步骤________开始出现错误的；
(2) 用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)
15 (2024南通海门期中)请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值．
x2＋6x＋5＝x2＋2·x·3＋32－32＋5＝(x＋3)2－4，
因为(x＋3)2≥0，
所以当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
(1) 求m2＋4m＋3的最小值；
(2) 比较3a2＋10与2a2＋6a的大小．
第3课时　配方法(二次项系数不为1)
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1) 化二次项系数为1；(2) 把常数项移到方程的右边；(3) 在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；(4) 利用直接开平方法求解．
建议用时：20分钟
1 (2024南京秦淮月考)一元二次方程2x2＋3x＋1＝0用配方法解方程，配方结果是(　　)
A. (x＋)2＝ B. 2(x－)2＝
C. (x＋)2＝－　 D. (x＋)2－＝－1
2 下列解方程2x2－4x＝－1的步骤中，依据“平方根的意义”的是(　　)
A. 第一步：两边都除以2，得x2－2x＝－
B. 第二步：配方，得x2－2x＋1＝－＋1，即(x－1)2＝
C. 第三步：开平方，得x－1＝±
D. 第四步：移项，得x＝1±，即x1＝1＋，x2＝1－
3 (2024南通海安模拟)用配方法解一元二次方程2x2＋4x－5＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为(　　)
A. 8 B. C. D.
4 (2024南京鼓楼月考)若一元二次方程2x2－8x＋a＝0配方后化为2(x－2)2＝4，则a的值为________．
5 下列用配方法解方程x2－x－2＝0的四个步骤中，出现错误的是________．(填序号)
6 当x＝________时，代数式5x2－2x－1与3x2＋x－2的值相等．
7 用配方法解下列方程：
(1) 2x2－7x－4＝0；　　　(2) 3x2－9＝6x；　　　(3) x2－x－2＝0.
8 已知等腰三角形的两边长是一元二次方程2x2－17x＋36＝0的两根，求该等腰三角形的周长．
建议用时：25＋5分钟
9 若方程4x2－(m－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值是(　　)
A. 5　　 B. 5或－3　　 C. －5或3　　 D. 5或3
10 (2024常州钟楼月考)无论x取何值，代数式3x2－6x＋11的值(　　)
A. 总大于8　　 B. 总不小于8　　
C. 总不小于11　　 D. 总大于11
11 若方程4x2－ax＋1＝0可变形为(2x－b)2＝0，则ab＝________．
12 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)配方后为(x＋1)2＝d(d为常数)，则＝________．
13 用配方法解方程x2＋x－＝0时，可配方为[(x＋1)2＋k]＝0，其中k＝________．
14 配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0，c＞0)得到(x－c)2＝4c2，从而解得方程一根为1，求a－3b的值．
15 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1.
(1) 当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值________；
(2) 当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值________；
(3) 如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16 m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
第4课时　公　式　法
1. 一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的实数根是x＝，它叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1) 把一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
(2) 确定a，b，c的值；
(3) 求出b2－4ac的值；
(4) 若b2－4ac≥0，则把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b2－4ac<0，则方程没有实数根．
建议用时：20分钟
1 用公式法解一元二次方程5x2－1－4x＝0时，化为一般形式当中的a，b，c依次为(　　)
A. 5，－1，－4 B. 5，－4，1 C. 5，－4，－1 D. 5，4，1
2 用公式法解一元二次方程3x2－2x－1＝0时，计算b2－4ac的结果为(　　)
A. 8　　 B. －8　　 C. 14　　 D. 16
3 两根为x＝的一元二次方程可能是(　　)
A. x2－3x－c＝0 B. x2＋3x－c＝0
C. x2－3x＋c＝0 D. x2＋3x＋c＝0
4 (2024启东月考)方程mx2－4x＋1＝0(m＜0)的根是(　　)
A. B. C. D.
5 若一元二次方程3x2＋(m－1)x－4＝0中的b2－4ac＝73，则m的值为________．
6 (2024连云港东海月考)若求方程x2＋3x＋2＝0的根时，根据求根公式，列式为x＝，则m的值为 ________．
7 用公式法解下列方程：
(1) x2＋x－1＝0；　　　(2) 8x2－2x－3＝0；　　　(3) x2－2x＝2x＋1.
8 (2024连云港灌南月考)若代数式x2－3x＋1的值与2x＋5的值相等，求x的值．
建议用时：25＋5分钟
9 有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则a等于(　　)
A. B. C. D. 或
10 若一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根中较小的一个根是m(m≠0)，则b＋的值为(　　)
A. m B. －m C. 2m D. －2m
11 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，max{－1，－3}＝－1.按照这个规定，若max{x，－x}＝，则x的值是____________．
12 若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则b2－4ac和完全平方式M＝(2at＋b)2的大小关系为b2－4ac________M．(填“＞”“＜”或“＝”)
13 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1) 求方程的根；
(2) 当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
14 (2024无锡江阴期中)阅读下面的例题：分解因式：x2＋2x－1.
解：令x2＋2x－1＝0，得到一个关于x的一元二次方程．因为a＝1，b＝2，c＝－1，
所以x＝＝＝－1±，解得x1＝－1＋，x2＝－1－，
所以x2＋2x－1＝(x－x1)(x－x2)＝[x－(－1＋)][x－(－1－)]＝(x＋1－)(x＋1＋).
这种分解因式的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1) 已知代数式x2－2x－k对应的方程解为－3和5，则代数式x2－2x－k分解因式后为__________；
(2) 将代数式x2－3x＋1分解因式．
第5课时　一元二次方程的根的判别式
1. b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况如下：(1) 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；(3) 当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
建议用时：20分钟
1 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是(　　)
A. 33　　 B. 23　　 C. 17　　 D.
2 (2024上海)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是(　　)
A. x2－6x＝0 B. x2－9＝0 C. x2－6x＋6＝0 D. x2－6x＋9＝0
3 (2024自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根　　　　 D. 没有实数根
4 (2024淮安)若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k≥4 B. k＞4 C. k≤4 D. k＜4
5 (2024连云港)若关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
6 (2024南通)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则一个满足题意的k的值为________．
7 (2024云南)若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值范围为________．
8 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．
(1) x2－x－1＝0；　　　　(2) x2＋2x＝－1；　　　　(3) －2x＋3x2＋4＝0.
9 当m取何值时，关于x的方程x2＋2(2m＋1)x＋(2m＋2)2＝0.
(1) 有两个相等的实数根；
(2) 有两个不相等的实数根；
(3) 没有实数根．
建议用时：25＋5分钟
10 (2024潍坊)已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，则关于该方程根的情况，下列说法中正确的是(　　)
A. 无实数根　　　　　　　　　 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根　　　　 D. 无法确定
11 (2024宿迁)规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(　　)
A. m＜ B. m＞ C. m＞－且m≠0 D. m＜且m≠0
12 已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3x＋8＝0，则△ABC的周长是________．
13 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则＋c的值是________．
14 若直线y＝－3x＋b不经过第一象限，则关于x的方程bx2＋x＋2 023＝0的实数根的个数为________．
15 已知关于x的一元二次方程kx2＋(k－2)x－2＝0(k≠0).
(1) 求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
(2) 若此方程的两根均为整数，求整数k的值．
16 已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0.
(1) 求证：无论k取何值，方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC的一边a的长为6，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
第6课时　因式分解法
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，可把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
建议用时：20分钟
1 (2024南京三模)方程x(x－1)＝0的根是(　　)
A. x1＝0，x2＝－1　　 B. x1＝0，x2＝1
C. x1＝x2＝0　　 D. x1＝x2＝1
2 (2024苏州工业园区期中)一元二次方程x2＋2x＝0的根为(　　)
A. x1＝x2＝0　　 B. x1＝x2＝2　　
C. x1＝0，x2＝－2　　 D. x1＝0，x2＝2
3 用因式分解法解方程时，下列过程中正确的是(　　)
A. (2x－1)(3x－4)＝0化为2x－1＝0或3x－4＝0
B. (x＋4)(x－2)＝1化为x＋4＝1或x－2＝1
C. (x－5)(x－6)＝5×6化为x－5＝5或x－6＝6
D. x(x＋8)＝0化为x＋8＝0
4 (1) 方程(x－1)(x－3)＝0的解为________；
(2) (2024阜宁期末)一元二次方程x2＋4x＝0的解是________．
5 (2024宿迁宿豫期中)若代数式x＋2的值与代数式x(x＋2)的值相等，则x的值为________．
6 若三角形的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2－5x＝7(x－5)的根，则此三角形的周长为________．
7 用因式分解法解下列方程：
(1) x2＋5x＝0；　　　　(2) 2y2－4y＝0; 　　　(3) x＋1＝x(x＋1)；
(4) x(x－7)＝8(7－x); (5) (x－1)－(x－1)2＝0; (6) 3x(x－1)＝2x－2.
8 (2024南京秦淮期中)已知y1＝x2－4，y2＝2－x，求当x为何值时，y1与y2互为相反数．
建议用时：25＋5分钟
9 (2024徐州新沂月考)在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3(a＋b)－5ab，根据这个规则，方程x※(x＋1)＝－1的解是(　　)
A. x＝　　 B. x＝1　　 C. x＝－或x＝1　　 D. x＝或x＝1
10 写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为2，一个根为－3，另一个根x满足1＜x＜3，则此一元二次方程可以为________．
11 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是________.
12 用因式分解法解方程x2＋px－6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x－3，则p的值是________．
13 (2024无锡江阴期中)现有三个代数式：x2＋2x＋2，y2－y，，它们的值互不相同，且分别与－，0，－x中的某一个值对应相等，则x＋y的值为 ________．
14 用因式分解法解下列方程：
(1) (3x－1)2－4x2＝0；　(2) (2x－1)2－(x－3)2＝0；　(3) 2(x－3)2＝x2－9；
15 根据多项式乘法法则可知：
(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2；(x－3)(x＋4)＝x2＋x－12；(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq.
(1) 根据上述计算，你能直接说出下列方程的解吗？
①x2＋3x＋2＝0；
②x2＋x－12＝0；
③x2＋(p＋q)x＋pq＝0.
(2) 若(x－m)(x－n)＝x2＋bx＋c，则方程x2＋bx＋c＝0的解是________；
(3) 仿照上面的方法，求出下列方程的解．
①x2－x－6＝0; ②x2＋11x＋30＝0.
1．2　一元二次方程的解法
第1课时　直接开平方法
1. D　2. B　3. A
4. (1) x1＝5，x2＝－5　(2) x1＝2，x2＝－2
5. (1) m≥21　(2) b＞0　6. x＝2
7. (1) x1＝，x2＝－　(2) x1＝－2，x2＝2
(3) x1＝9，x2＝－7　(4) x1＝2＋，x2＝2－
(5) y1＝，y2＝－　(6) x1＝，x2＝－
8. 解：根据题意，得2x2＋3＋2x2－4＝0，
整理，得4x2－1＝0，所以4x2＝1，
即x2＝，解得x＝±.
9. C　10. A　11. 16　12. 9　13. 7
14. x3＝0，x4＝4　15. －3
16. (1) x1＝－4，x2＝0　(2) x1＝，x2＝－2
17. 解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝－(舍去)；
当0≤x＜1时，x2＝0，解得x1＝x2＝0；
当－1≤x＜0时，x2＝－1，方程没有实数解；
当－2≤x＜－1时，x2＝－2，方程没有实数解，
所以满足条件的x的值为0或.
第2课时　配方法(二次项系数为1)
1. A　2. D　3. D
4. (1) 1　1　(2) 9　3　(3) 　　(4) 　
5. (x－1)2＝2　6. －84
7. (1) x1＝3，x2＝－1　(2) x1＝2＋，x2＝2－
(3) 方程无解　(4) x1＝1，x2＝－7
8. 解：根据题意，得x2－x－6＝3x－2，即x2－4x＝4，
配方，得x2－4x＋4＝8，即(x－2)2＝8，
开平方，得x－2＝±2，
解得x1＝2＋2，x2＝2－2.
故当x＝2＋2或x＝2－2时，两个代数式的值相等．
9. D　10. C　11. －4　12. －2　13. 2(答案不唯一)
14. 解：(1) ⑤
(2) 移项，得x2＋2nx＝8n2，配方，得x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2，(x＋n)2＝9n2，
解这个方程，得x＋n＝±3n，所以x1＝2n，x2＝－4n.
15. 解：(1) m2＋4m＋3＝m2＋4m＋4－4＋3＝(m＋2)2－1.
当m＝－2时，m2＋4m＋3有最小值－1.
(2) 3a2＋10－(2a2＋6a)
＝3a2＋10－2a2－6a
＝a2－6a＋9＋1
＝(a－3)2＋1，
因为(a－3)2＋1＞0，
所以3a2＋10＞2a2＋6a.
第3课时　配方法(二次项系数不为1)
1. A　2. C　3. B　4. 4　5. ④　6. 或1
7. (1) x1＝4，x2＝－　(2) x1＝3，x2＝－1
(3) x1＝＋，x2＝－
8. 解：根据题意，得2x2－17x＋36＝0，
配方法，得(x－)2＝，
解得x1＝4，x2＝4.5，
当腰长为4时，周长为4＋4＋4.5＝12.5；
当腰长为4.5时， 周长为4.5＋4.5＋4＝13.
故该等腰三角形的周长为12.5或13.
9. B　10. B　11. 4　12. 1　13. －6
14. 解：由(x－c)2＝4c2可得x－c＝±2c，
所以x＝c±2c，即x＝－c或x＝3c.
因为方程一根为1，且c＞0，
所以3c＝1，即c＝，
所以原方程为(x－)2＝，
整理，得x2－x－＝0.
因为c＞0，所以a＝1，b＝－，
所以a－3b＝1＋2＝3.
15. 解：(1) 1　大　3
(2) 1　大　5
(3) 设花园与墙相邻的边长为x m.
根据题意，得S＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32，
故当x＝4时，花园的面积最大，最大面积为32 m2.
第4课时　公　式　法
1. C　2. D　3. A　4. B　5. 6或－4　6. － 3
7. (1) x1＝，x2＝－　(2) x1＝，x2＝－
(3) x1＝2＋，x2＝2－
8. 解：由题意，得x2－3x＋1＝2x＋5，
整理，得x2－5x－4＝0.
因为b2－4ac＝(－5)2－4×(－4)×1＝25＋16＝41＞0，
所以x＝＝，
所以x1＝，x2＝，
所以x的值为或.
9. B　10. D　11. 2＋或－1　12. ＝
13. 解：(1) 根据一元二次方程的定义，得m≠1.
因为a＝m－1，b＝－2m，c＝m＋1，
所以b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
所以x＝，所以x1＝，x2＝1.
(2) 由(1)知，x1＝＝1＋.
因为方程的两个根都为正整数，所以是正整数，
所以m－1＝1或m－1＝2，解得m＝2或m＝3，
所以当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
14. 解：(1) (x＋3)(x－5)
(2) 令x2－3x＋1＝0，得到一个关于x的一元二次方程．
因为a＝1，b＝－3，c＝1，所以x＝＝，解得x1＝，x2＝，
所以x2－3x＋1＝(x－x1)(x－x2)＝(x－)(x－).
第5课时　一元二次方程的根的判别式
1. C　2. D　3. A　4. D　5.
6. －1(答案不唯一，小于1即可)　7. c＞1
8. (1) 因为b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
(2) 因为b2－4ac＝22－4×1×1＝0，
所以方程有两个相等的实数根．
(3) 因为b2－4ac＝(－2)2－4×3×4＝－44＜0，
所以方程没有实数根．
9. 解：因为a＝1，b＝2(2m＋1)，c＝(2m＋2)2，
所以b2－4ac＝[2(2m＋1)]2－4×1×(2m＋2)2＝－16m－12.
(1) 因为方程有两个相等的实数根，
所以－16m－12＝0，解得m＝－.
(2) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以－16m－12＞0，解得m＜－.
(3) 因为方程没有实数根，
所以－16m－12＜0，解得m＞－.
10. C　11. D　12. 6或12或10　13. 2　14. 1或2
15. (1) 证明：因为b2－4ac＝(k－2)2－4k×(－2)＝(k＋2)2≥0，
所以不论k为何值，这个方程都有两个实数根．
(2) 解：由kx2＋(k－2)x－2＝0(k≠0)，解得x1＝，x2＝－1.
因为此方程的两根均为整数，所以为整数，
所以整数k的值为±1或±2.
16. (1) 证明：因为b2－4ac＝(3k－2)2－4×(－6k)＝9k2－12k＋4＋24k＝9k2＋12k＋4＝(3k＋2)2≥0，
所以无论k取何值，方程总有实数根．
(2) 解：①若a为底边，则b，c为腰长，则b＝c，
所以(3k＋2)2＝0，解得k＝－，
此时原方程化为x2－4x＋4＝0，
所以x1＝x2＝2，即b＝c＝2，
此时△ABC的三边为6，2，2，不能构成三角形，故舍去；
②若a为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6，
代入方程62＋6×(3k－2)－6k＝0，所以k＝－2，
则原方程化为x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，即b＝6，c＝2，
此时△ABC的三边为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，△ABC的三边为6，6，2，周长为6＋6＋2＝14.
第6课时　因式分解法
1. B　2. C　3. A　4. (1) x1＝3，x2＝1　(2) x1＝0，x2＝－4
5. －2或1　6. 12
7. (1) x1＝0，x2＝－5　(2) y1＝0，y2＝2
(3) x1＝－1，x2＝1　(4) x1＝7，x2＝－8
(5) x1＝1，x2＝2　(6) x1＝1，x2＝
8. 解：因为y1与y2互为相反数，y1＝x2－4，y2＝2－x，
所以x2－4＋2－x＝0，
整理，得x2－x－2＝0，
解得x1＝2，x2＝－1，
故当x为2或－1时，y1与y2互为相反数．
9. C　10. 2x2＋2x－12＝0(答案不唯一)
11. 2.5　12. －1　13. －2或0
14. (1) x1＝，x2＝1　(2) x1＝，x2＝－2
(3) x1＝3，x2＝9　(4) x1＝1，x2＝13
(5) x1＝x2＝0
15. 解：(1) ①x1＝－1，x2＝－2　②x1＝3，x2＝－4
③x1＝－p，x2＝－q
(2) x1＝m，x2＝n
(3) ①原方程可化为(x－3)(x＋2)＝0，
解得x1＝3，x2＝－2.
②原方程可化为(x＋5)(x＋6)＝0，
解得x1＝－6，x2＝－5.