1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

*1.3　一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝．
建议用时：20分钟
1 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则下列结论中正确的是(　　)
A. x1＋x2＝6　　 B. x1＋x2＝－6　　 C. x1x2＝　　 D. x1x2＝7
2 (2024扬州邗江月考)下列方程中两个实数根之和为6的是(　　)
A. x2－6x＋10＝0　 B. x2－12x＋6＝0
C. 2x2－6x－3＝0　 D. x2－6x＝15
3 若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两个根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为(　　)
A. 4　　 B. 8　　 C. 12　　 D. 16
4 (2024南京秦淮期中)已知方程2x2＋5x－2＝0有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是－m，－n的是(　　)
A. 2x2＋5x－2＝0　 B. 2x2－5x＋2＝0　
C. 2x2＋5x＋2＝0　 D. 2x2－5x－2＝0
5 (2024巴中)已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为________.
6 (2024南京浦口月考)已知x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的实数根，则x1＋x2－x1x2＝________．
7 (2024无锡宜兴月考)若菱形的两条对角线的长是方程x2－5x＋3＝0的两根，则菱形的面积是________．
8 (2024南京期中)已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的两根是x1，x2，且2x1＋x2＝1，则m的值为________．
9 已知x1，x2是方程x2＋3x－5＝0的两根，不解方程．求：
(1) x＋x；　　　　　　　　(2) (x1＋3)(x2＋3)；　　　　　　　　(3) ＋.
10 (2024宿迁宿城期中)关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1) 求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为x1，x2，且满足＋＝，求m的值．
建议用时：25＋5分钟
11 (2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(　　)
A. x2＋6x＋5＝0　 B. x2－7x＋10＝0　
C. x2－5x＋2＝0　 D. x2－6x－10＝0
12 (2024扬州高邮期中)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a(t＋1)2＋b(t＋1)＋c＝0的两根之积是(　　)
A. n＋m－1 B. n＋m＋1 C. n－m＋1 D. n－m－1
13 (2024无锡惠山月考)已知s满足2s2－3s－1＝0，t满足2t2－3t－1＝0，且s≠t，则s＋t＝________．
14 (2024无锡锡山月考)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为________．
15 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋8m＝0的两个实数根，DH是边AB上的高，则DH＝________．
16 (2024苏州期中)已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 设此方程的两个根分别为x1，x2，若x＋x＝8－3x1x2，求m的值．
17 (2024无锡新吴期中)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2－6x＋8＝0是“倍根方程”．
(1) 根据上述定义，一元二次方程x2－3x＋2＝0 ________“倍根方程”(填“是”或“不是”)；
(2) 若(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3) 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
*1.3　一元二次方程的根与系数的关系
1. A　2. D　3. C　4. D　5. 4　6. 1　7. 　8. －10
9. 解：x1＋x2＝－6，x1x2＝－10.
(1) 原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×(－10)＝56.
(2) 原式＝x1x2＋3(x1＋x2)＋9＝－10＋3×(－6)＋9＝－19.
(3) 原式＝＝＝－5.6.
10. (1) 证明：根据题意，得b2－4ac＝(m－3)2－4×(－m)
＝m2－6m＋9＋4m
＝m2－2m＋1＋8
＝(m－1)2＋8＞0，
所以不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2) 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.
因为＋＝，
所以＋＝＝，即＝.
解得m＝2.
11. B　12. C　13. 　14. 12　15.
16. 解：(1) 因为关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0有实数根，
所以b2－4ac＝[－2(m－1)]2－4m2＝4－8m≥0，
解得m≤.
(2) 因为关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x＋m2＝0的两个根分别为x1，x2，
所以x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2.
因为x＋x＝8－3x1x2，
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝8－3x1x2，即5m2－8m－4＝0，
解得m1＝－，m2＝2(舍去)，
所以实数m的值为－.
17. 解：(1) 是
(2) 根据题意，得x－2＝0或mx－n＝0，
解得x1＝2，x2＝.
因为(x－2)(mx－n)＝0(m≠0)是“倍根方程”，
所以＝4或＝1，
所以n＝4m或n＝m.
(3) 2b2＝9ac.理由如下：
因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是倍根方程，
所以b2－4ac>0，设方程的两根分别为t，2t.
根据根与系数的关系，得t＋2t＝－，t·2t＝，
所以t＝－，
所以2(－)2＝，
所以2b2＝9ac.