2．1　圆 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2．1　圆
第1课时　圆 的 概 念
1. (1) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径；
(2) 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上．
2. 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则
(1) 点P在⊙O上 d＝r；(2) 点P在⊙O外 d>r；(3) 点P在⊙O内 d建议用时：20分钟
1 (2024南京鼓楼月考)在△ABC中，AB＝AC，若以点A为圆心，以AB为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系为(　　)
A. 点C在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 点C在⊙A外 D. 点C在⊙A内或⊙A外
2 (2024南京江宁月考)若⊙O的半径为3 cm，点A不在⊙O内，则OA的长(　　)
A. 大于3 cm B. 不小于3 cm C. 大于6 cm D. 不小于6 cm
3 在平面直角坐标系中，圆心O为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P(3，4)与⊙O的位置关系为(　　)
A. 点P在⊙O上　 B. 点P在⊙O外　
C. 点P在⊙O内　 D. 无法确定
4 早在2 000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜(这里读yuan)，一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是________，定长是________．
5 (2024无锡江阴月考)若⊙O的半径为4 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，则点P与⊙O的位置关系是________．
6 (2024盐城射阳月考)到点O的距离等于7 cm的点的集合是________．
7 (2024扬州江都月考)已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系是________．
8 作线段AB＝3 cm，按下列要求作图：
(1) 到点A的距离等于2 cm的点的集合；
(2) 到点B的距离等于1.5 cm的点的集合；
(3) 到点A的距离大于2 cm且到点B的距离小于1.5 cm的点的集合．(用阴影部分表示)
建议用时：25＋5分钟
9 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是(　　)
A. 8＜r＜10　　 B. 6＜r＜8　　 C. 6＜r＜10　　 D. 2＜r＜14
(第9题) (第11题) (第12题)
10 (2024常州武进月考)已知P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为__________．
11 (2024无锡江阴月考)如图，原点右边7个单位长度处有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过________s，点P在⊙O上．
12 (2024连云港连云月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．
13 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接BD.求证：A，E，C，F四点在同一个圆上．
14 (2024连云港灌云月考)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，C为坐标平面内一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值．
第2课时　与圆有关的概念
1. (1) 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，圆上任意两点间的部分叫做圆弧；
(2) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
(3) 顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够互相重合的两个圆叫做等圆；能够互相重合的弧叫做等弧．
2. 同圆或等圆的半径相等．
建议用时：20分钟
1 (2024无锡梁溪期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. 弦是直径 B. 弧是半圆
C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦
2 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点E，D，C分别在同一直线上，则图中弦的条数为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
(第2题) (第3题) (第4题) (第6题)
3 如图，图中的直径是________，非直径的弦有________；图中以A为端点的弧中，优弧有________，劣弧有________．
4 (2024南京栖霞月考)如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是________．
5 在平面直角坐标系xOy中，以点(4，0)为圆心，5为半径画圆，则圆与y轴的交点坐标为________．
6 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝4，BD＝2，则直径AB的长为________．
7 如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数．
8 如图，在⊙O中，AC＝BD，求证：∠1＝∠2.
9 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
10 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF，则AC与BD相等吗？为什么？
建议用时：25＋5分钟
11 (2024淮安月考)如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，当点P在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值(　　)
A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 不能确定
(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)
12 (2024南京栖霞月考)如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上的动点(点C不与点A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是(　　)
A. 3　　 B. 4　　 C. 5　　 D. 6
13 (2024苏州常熟期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________．
14 如图，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，过B，F，E三点的圆的圆心为点D，如果∠A＝72°，那么∠θ＝________．
15 如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于点E，F，连接EF并延长交BC于点G，EG⊥BC.求证：AB＝AC.
16 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD，若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD，AC的长．
17 如图，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM，OP上，且∠POM＝45°，求正方形ABCD的边长.
18 在⊙O中，直径AB＝10，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1) 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2) 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长度的最大值．
图1 图2
2．1　圆
第1课时　圆 的 概 念
1. B　2. B　3. A　4. 圆心　半径　5. 点P在圆外　6. 以点O为圆心，半径为7 cm的圆　7. 点P在⊙O内
8. 略　9. A　10. 2或3　11. 3或4　12. 6＜r＜10
13. 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，FO.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，所以AO＝CO＝AC.
因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEC＝∠AFC＝90°，
所以EO＝AC，FO＝AC，所以AO＝CO＝EO＝FO，
所以A，E，C，F四点在以点O为圆心，AC长为半径的圆上．
14. 解：如图，因为C为坐标平面内一点，BC＝1，
所以点C在⊙B上，且半径为1.
在x轴负半轴上取一点D，令OD＝OA＝2，连接CD，
因为AM＝CM，OD＝OA，
所以OM是△ACD的中位线，
所以OM＝CD，
故当OM最大时，CD最大，而当D，B，C三点共线，点C在DB的延长线上时，CD最大．
因为OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
所以BD＝2，
所以CD＝2＋1，
所以OM＝CD＝＋，即OM的最大值为＋.
第2课时　与圆有关的概念
1. D　2. B　3. AB　CD，EF　，，，　，，，　4. 40°　5. (0，3)，(0，－3)　6. 10
7. 解：因为BD＝OD，∠B＝38°，
所以∠DOB＝∠B＝38°，
所以∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2×38°＝76°.
因为OA＝OD，
所以∠A＝∠ADO＝76°，
所以∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－76°－76°＝28°.
8. 证明：因为在⊙O中，AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，
所以△OAC≌△OBD(SSS)，
所以∠AOC＝∠BOD，
所以∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，
所以∠1＝∠2.
9. 解：因为OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝40°，
所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝100°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°.
因为OA＝OC，所以∠OAC＝＝15°.
10. 解：AC与BD相等．理由如下：
如图，连接OC，OD.
因为OA＝OB，AE＝BF，
所以OE＝OF.
因为CE⊥AB，DF⊥AB，
所以∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
所以Rt△OEC≌Rt△OFD(HL)，
所以∠COE＝∠DOF.
在△OAC和△OBD中，
所以△OAC≌△OBD，
所以AC＝BD.
11. C　12. A　13. 40°　14. 12°
15. 证明：因为AE＝AF，
所以∠AEF＝∠AFE.
因为∠AFE＝∠CFG，
所以∠AEF＝∠CFG.
因为EG⊥BC，
所以∠AEF＋∠B＝90°，∠C＋∠CFG＝90°，
所以∠B＝∠C，
所以AB＝AC.
16. 解：如图，连接OC.
因为AB＝5 cm，
所以OC＝OA＝AB＝ cm，
在Rt△CDO中，由勾股定理，得DO＝＝(cm)，
所以AD＝AO－DO＝－＝1(cm)，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝＝(cm)，
故AD的长为1 cm，AC的长为 cm.
17. 解：连接AO.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
所以∠DCO＝90°.
因为∠POM＝45°，所以∠CDO＝45°，
所以CD＝CO，
所以BO＝BC＋CO＝BC＋CD，所以BO＝2AB.
因为MN＝10，所以AO＝5.
在Rt△ABO中，AB2＋BO2＝AO2，
即AB2＋(2AB)2＝52，解得AB＝，
所以正方形ABCD的边长为 .
18. 解：(1) 如图1，连接OQ.
因为PQ∥AB，OP⊥PQ，
所以OP⊥AB.
在Rt△OBP中，因为∠ABC＝30°，所以BP＝2OP，
所以OP2＋OB2＝BP2＝4OP2.又OB＝5，
所以OP＝.
在Rt△OPQ中，因为OP＝，OQ＝5，
所以PQ＝＝.
(2) 如图2，连接OQ.
当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，
则OP＝OB＝，
所以PQ＝＝＝，
所以PQ长度的最大值为.
图1 图2