2．1～2.4　阶 段 提 优 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2．1～2.4　阶 段 提 优
一、 选择题
1 (2024无锡新吴期中)已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在⊙O外，则下列结论中正确的是(　　)
A. 0＜r＜2 B. r＝2 C. r＞2 D. r≥2
2 如图，P是⊙O内一点．若圆O的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为(　　)
A. 7　　 B. 8　　 C. 9　　 D. 10
(第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
3 如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的直径AB为(　　)
A. 5 cm　　 B. 4 cm　　 C. 6 cm　　 D. 8 cm
4 如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝2，∠C＝45°，则⊙O的半径为(　　)
A. 1　　 B. 2　　 C. 　　 D. 2
5 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，E是⊙O上的动点(不与点C重合)，F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为(　　)
A. 2　　 B. 2　　 C. 5　　 D. 10
二、 填空题
6 (2024盐城东台月考)若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，则⊙A的半径为________．
7 (2024苏州姑苏月考)已知⊙O的半径为1，则长为的弦AB所对的圆周角的度数为________．
8 如图，一下水管道纵截面为圆形，直径为260 cm，下雨前水面宽为100 cm，一场大雨过后，水面宽为240 cm，则水位上升________cm.
(第8题) (第9题) (第10题)
9 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________．
10 如图，在⊙O中，半径OA＝，弦BC＝10，Q是上的一个动点，连接BQ，作CP⊥BQ, 垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是________．
三、 解答题
11 (2024扬州邗江月考)
(1) 尺规作图，作出△ABC的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)；
(2) 若AB＝4，∠B＝45°，BC＝6，求△ABC外接圆的半径长．
12 (2024徐州沛县期中)如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
(1) 求证：AC＝BD；
(2) 若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．
13 (2024徐州云龙期中)如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7 m.
(1) 求圆弧AED所在圆的半径；
(2) 如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高6 m，宽2.5 m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？
14 (2024浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.
(1) 若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数；
(2) 求证：①EF∥BC；
②EF＝BD.
2．1～2.4　阶 段 提 优
1. A　2. A　3. D　4. B　5. C
6. 5或3　7. 45°或135°　8. 70或170　9. (2，6)　10. 8
11. 解：(1) 尺规作图，如图1.
(2) 如图2，连接OB.
因为DH，OE分别垂直平分AB，BC，AB＝4，BC＝6，
所以BD＝2，BE＝3.
又因为∠ABC＝45°，∠BDO＝90°，
所以BH＝4，∠EHO＝45°，
所以OE＝EH＝BH－BE＝4－3＝1，
所以BO＝＝，
所以△ABC外接圆的半径长为.
图1 图2
12. (1) 证明：因为OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
所以CF＝DF.
因为OA＝OB，OE⊥AB，
所以AF＝BF，
所以AF－CF＝BF－DF，
所以AC＝BD.
(2) 解：如图，连接OC.
因为OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
所以CF＝CD＝3，∠OFC＝90°，
所以CO2＝CF2＋OF2.
设⊙O的半径为r，
则r2＝32＋(r－1)2，
解得r＝5，
所以⊙O的半径是5.
13. 解：(1) 设圆心为点O，半径为R，如图，连接OA，OE，设OE与AD交于点F.
因为隧道的顶端E是圆弧AED的中点，高出道路(BC)7 m，
所以AD⊥OE，AF＝DF＝AD.
因为矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，
所以AD∥BC，且AD，BC之间的距离为3 m，AD＝BC＝12 m，
所以EF＝7－3＝4(m)，AF＝DF＝6 m，
所以OF＝(R－4)m，
所以R2＝(R－4)2＋62，
解得R＝6.5 m，
故圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.
(2) 如图，在圆弧AED上取一点H，过点H作HG⊥OE于点G，且使得HG＝2.5，
所以OG＝＝＝6(m).
因为点O到BC的距离为7－6.5＝0.5(m)，
所以点G到BC的距离为6＋0.5＝6.5(m)＞6m，
故这辆货运卡车能通过该隧道．
14. (1) 解：因为CD为直径，
所以∠CAD＝90°.
因为∠AFE＝∠ADC＝60°，
所以∠ACD＝90°－60°＝30°，
所以∠ABD＝∠ACD＝30°.
(2) 证明：①如图，延长AB至点M.
因为四边形ABCD是圆内接四边形，
所以∠CBM＝∠ADC.
又因为∠AFE＝∠ADC，
所以∠AFE＝∠CBM，
所以EF∥BC.
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG.
因为DG∥BC，所以＝，
所以BD＝CG.
因为四边形ACGD是圆内接四边形，
所以∠GDE＝∠ACG.
因为EF∥DG，
所以∠DEF＝∠GDE，
所以∠DEF＝∠ACG.
因为∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
所以∠AFE＝∠AGC.
因为AE＝AC，
所以△AEF≌△ACG(AAS)，
所以EF＝CG，
所以EF＝BD.