2．2　圆的对称性 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学苏科版（2024）九年级上册

2．2　圆的对称性
第1课时　圆心角、弧、弦之间的关系
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆心角、弧、弦之间的关系：
(1) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．
建议用时：20分钟
1 下列说法中，正确的是(　　)
A. 等弦所对的弧相等　　　　 B. 等弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，所对的弦相等　　 D. 相等的弦所对的圆心角相等
2 (2024苏州高新区月考)如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD等于(　　)
A. 140° B. 144° C. 146° D. 150°
(第2题) (第3题) (第5题)
3 (2024南京期中)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，则下列说法中错误的是(　　)
A. ＝ B. ∠AOC＝∠BOD C. AC＝2CD D. OC⊥BD
4 已知⊙O的半径为12 cm，弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1∶5，则∠AOB的度数为________，弦AB的长为________cm.
5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________，的度数为________．
6 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM.求证：＝.
7 (2024连云港东海期中)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD＝BC.求证：AB＝CD.
8 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD.求证：AC＝BD.
9 如图，在⊙O中，＝，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E.
(1) 求证：AD＝BE；
(2) 若AD＝DO，r＝3，求CD的长．
10 如图，AC，BD是⊙O的弦，分别连接OA，OB，OC，OD，∠AOB＝∠COD，AC与OB交于点E，⊙O的半径为6.
(1) 求证：＝；
(2) 若BD＝10，E为AC的中点，求OE的长．
建议用时：25＋5分钟
11 (2024扬州宝应期中)如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且弧AB的长等于弧AC长的2倍，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB＝2AC　　 B. AB＞2AC　　
C. AB＜2AC　　 D. 以上结论都不对
(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)
12 如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为(　　)
A. 30°　　 B. 40°　　 C. 50°　　 D. 60°
13 如图，已知C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO.若的度数为35°，则的度数是________．
14 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为________．
15 如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G，连接GE.
(1) 求证：＝；
(2) 若的度数为140°，求∠EGB的度数．
16 (1) 如图1，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD；
(2) 在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图2所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
第2课时　垂径定理及推论
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
建议用时：20分钟
1 (2024长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　　)
A. 4 B. 4 C. 5 D. 5
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
2 如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为E，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A. ＝　　 B. ＝　　 C. EO＝EB　　 D. EC＝ED
3 (2024南京江宁月考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝6，则AE＝________．
4 如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB于点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为________．
5 如图，⊙O是一个盛有水的容器的纵截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________ cm.
6 如图，A，B是⊙O上的两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A，B重合的一个动点，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．(用含a的代数式表示)
7 (2024沛县期中)如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
(1) 求证：AC＝BD；
(2) 若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．
建议用时：25＋5分钟
8 (2024通辽)如图，圆形拱门的最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门的最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　　)
A. 1.25 m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.45 m
(第8题) (第11题) (第12题)
9 已知⊙O的半径为5，两条弦AB与CD平行，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________．
10 已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OC＝3∶5，则AC的长为________．
11 如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A，B，C，D四点．已知A(6，0)，B(－2，0)，C(0，3)，则点D的坐标为________．
12 如图，在⊙O中，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，过点C作DE⊥OC交⊙O于点D，E，则DE的最大值为________．
13 如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于点D.求证：AB＝2AD.
14 如图，有一座拱桥的形状是圆弧形，它的跨度AB＝60 m，拱高PD＝18 m.
(1) 求圆弧所在圆的半径r的长；
(2) 当洪水泛滥到跨度只有30 m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4 m，即PE＝4 m时，是否要采取紧急措施？
2．2　圆的对称性
第1课时　圆心角、弧、弦之间的关系
1. B　2. B　3. C　4. 60°　12　5. 52°　38°
6. 证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝BC，所以＝.
因为M为的中点，所以＝，
所以＋＝＋，所以＝.
7. 证明：因为AD＝BC，
所以＝，
所以＋＝＋，
即＝，
所以AB＝CD.
8. 证明：因为AB＝CD，
所以＝，
所以＝，
所以AC＝BD.
9. (1) 证明：连接OC.
因为＝ ，
所以∠AOC＝∠BOC.
又CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD＝CE，
在△COD和△COE中，
所以△COD≌△COE(AAS)，
所以OD＝OE.
因为OA＝OB，
所以AD＝BE.
(2) 解：因为AD＝DO，r＝3，
所以AD＝DO＝ .
又因为CD⊥OA，
所以在Rt△CDO中，CD＝＝＝.
10. (1) 证明：因为∠AOB＝∠COD，
所以＝.
又因为＝ ＋ ，＝ ＋ ，
所以＝.
(2) 解：因为＝，
所以AC＝BD＝10.
因为OA＝OC，E为AC的中点，
所以OE⊥AC，
所以AE＝AC＝5，
在Rt△AEO中，由勾股定理，得OE＝＝＝，
所以OE的长是 .
11. C　12. A　13. 105°　14. 50°
15. (1) 证明：连接AE.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，所以∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B.
因为AE＝AB，所以∠B＝∠AEB，
所以∠EAF＝∠GAF，所以＝.
(2) 解：因为的度数为140°，所以∠EAG＝140°.
因为AE＝AG，所以∠EGB＝20°.
16. (1) 证明：如图1，连接AC，BD.
因为C，D是的三等分点，
所以＝＝，
所以AC＝CD＝BD.
因为∠AOB＝90°，
所以∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
因为OA＝OB，
所以∠OAB＝∠OBA＝45°，
所以∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
因为OA＝OC，∠AOC＝30°，
所以∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC，
所以AE＝AC.
同理可得BF＝BD，
所以AE＝BF＝CD.
(2) 解：成立．理由如下：
如图2，连接AC，BD.
因为C，D是的三等分点，
所以＝＝，
所以AC＝CD＝BD.
因为∠AOB＝120°，
所以∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°.
因为OA＝OB，
所以∠OAB＝∠OBA＝30°，
所以∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°.
因为OA＝OC，∠AOC＝40°，
所以∠ACE＝×(180°－40°)＝70°＝∠AEC，
所以AE＝AC.
同理可得BF＝BD，
所以AE＝BF＝CD.
图1 图2
第2课时　垂径定理及推论
1. B　2. C　3. 9　4. 7　5. 16　6. a
7. (1) 证明：因为OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
所以CF＝DF.
因为OA＝OB，OE⊥AB，
所以AF＝BF，
所以AF－CF＝BF－DF，
所以AC＝BD.
(2) 解：如图，连接OC.
因为OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
所以CF＝CD＝3，∠OFC＝90°，
所以CO2＝CF2＋OF2.
设⊙O的半径是r，
则r2＝32＋(r－1)2，
解得r＝5，
所以⊙O的半径是5.
8. B　9. 1或7　10. 2或4　11. (0，－4)　12. 6
13. 证明：如图，延长AD交⊙O于点E.
因为OC⊥AD，
所以＝2，AE＝2AD.
因为＝2，
所以＝，
所以AB＝AE，所以AB＝2AD.
14. 解：(1) 连接OA.
根据题意，得AD＝AB＝30 m，OD＝(r－18)m.
在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2＝302＋(r－18)2，
解得r＝34.
故圆弧所在圆的半径r的长为34 m.
(2) 连接OA′.
因为OE＝OP－PE＝30 m，
所以在Rt△A′EO中，由勾股定理，得A′E2＝A′O2－OE2，
解得A′E＝16 m，所以A′B′＝32 m.
因为A′B′＝32 m＞30 m，所以不需要采取紧急措施．