2.4　圆周角 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2．4　圆　周　角
第1课时　圆周角的概念与性质
1. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
3. 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
建议用时：20分钟
1 (2024湖南)如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A. 60° B. 75° C. 90° D. 135°
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
2 (2024赤峰)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　)
A. 61° B. 63° C. 65° D. 67°
3 (2024北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝________．
4 (2024南京江宁月考)如图，在扇形OAC中，，的度数分别为40°，90°，则∠B＝________．
5 如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为________．
6 如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
7 如图，AB，AC，MN是⊙O的弦，MN分别交AB，AC于点D，E，AB＝AC，＝.
(1) 若∠A＝44°，则 的度数为________；
(2) 求证：AD＝AE.
建议用时：25＋5分钟
8 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，则最少需要在圆形边缘上安装监视器的数量为(　　)
A. 2台 B. 3台 C. 4台 D. 5台
(第8题) (第9题) (第11题)
9 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A(m，－3)和点B(－1，n)，C是圆在第一象限内的任意一点，且∠ACB＝45°，则⊙P的圆心坐标是(　　)
A. (1，0)　　 B. (2，0)　　 C. (3，0)　　 D. (4，0)
10 (2024宿迁宿城期中)在半径为3的⊙O中，弦AB＝3，弦AC＝3，则∠BAC＝________．
11 如图，A，B，O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，P是优弧AB的中点，则△APB的面积为________．
12 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.
(1) 求证：四边形AECD为平行四边形；
(2) 连接CO，求证：CO平分∠BCE.
13 如图，在⊙O中，P为　的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD，PD相交于点E，N，连接BD，MN.
(1) 求证：N为BE的中点；
(2) 若⊙O的半径为8，　的度数为90°，求线段MN的长.
第2课时　圆周角定理及推论
1. 直径所对的圆周角是直角．
2. 90°的圆周角所对的弦是直径．
建议用时：20分钟
1 (2024宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
2 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为(　　)
A. 2　　 B. 4　　 C. 2　　 D. 4.8
3 (2024常州)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BC，BD.若∠BCD＝20°，则∠ABD＝________．
4 如图，把直角三角板的直角顶点C放在圆周上，两直角边与圆弧分别交于点A，B，量得CB＝8 cm，CA＝6 cm，则该圆的半径是________cm.
5 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为________．
6 如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E，CD与CE相等吗？为什么？
7 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，F是的中点，连接AF，BD相交于点E.
(1) 求证：AB＝AC；
(2) 若∠BAC＝45°，求证：AE＝BC.
建议用时：25＋5分钟
8 如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为(　　)
A. 2　　 B. 3　　 C. 2　　 D.
(第8题) (第9题) (第10题) (第11题)
9 (2024连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
10 如图，以AB为直径的半圆O经过点C，点D在直径AB上．若BC＝BD，CD＝OA，则∠A的度数为________．
11 如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝8，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC等于________．
12 如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内．请仅用无刻度的直尺按要求画图．
(1) 在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
(2) 在图2中，画出△ABC中边AB上的高．
图1 图2
13 如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在 　上运动．
(1) 当点P与点C关于直线AB对称时，求CP的长；
(2) 当点P运动到　的中点时，求CP的长；
(3) 当点P在　上运动时，求CP的长的取值范围．
第3课时　圆内接四边形
1. 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
2. 定理：圆内接四边形的对角互补．
建议用时：20分钟
1 (2024广元)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD的延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　　)
A. 64° B. 60° C. 54° D. 52°
(第1题) (第2题) (第4题) (第5题)
2 (2024牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(　　)
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
3 (2024宿迁宿城期中)在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠D＝________．
4 (2024西宁)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD的延长线上一点，＝，∠ADE＝110°，则∠DAB＝________．
5 (2024盐城射阳月考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，连接BD，若∠DBC＝30°，则∠BAD的度数是________．
6 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°.求证：△CDE是等腰三角形．
7 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，OE⊥AC.
(1) 求证：∠AOE＝∠D；
(2) 若AC＝6，求⊙O的半径长．
建议用时：25＋5分钟
8 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD, 则∠CBD的度数是(　　)
A. 25°　　 B. 30°　　 C. 35°　　 D. 40°
(第8题) (第9题) (第10题) (第11题)
9 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B＋∠D＝________．
10 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD.若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数为________．
11 如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE＝________．
12 (2024泰州泰兴月考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，E为BC的延长线上一点，且CD平分∠ACE.
(1) 如图1，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形；
(2) 如图2，若AB＝10，BD＝13，求⊙O的半径．
图1 图2
13 如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线DB平分∠ADC.
(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
2．4　圆　周　角
第1课时　圆周角的概念与性质
1. C　2. B　3. 55°　4. 115°　5. 1
6. 证明：连接AC.
因为AB＝CD，所以＝，
所以＋＝＋，即＝，
所以∠C＝∠A，所以PA＝PC.
7. (1) 136°
(2) 证明：连接AM，AN.
因为＝，
所以AM＝AN，所以∠AMD＝∠ANE.
又因为AB＝AC，所以＝，所以＝，所以∠MAD＝∠NAE，
所以△ADM≌△AEN(ASA)，所以AD＝AE.
8. C　9. B　10. 105°或15°　11.
12. 证明：(1) 由圆周角定理，得∠B＝∠E.
又∠B＝∠D，所以∠E＝∠D.
因为CE∥AD，所以∠D＋∠ECD＝180°，
所以∠E＋∠ECD＝180°，所以AE∥CD，
所以四边形AECD为平行四边形．
(2) 过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N.
因为四边形AECD为平行四边形，所以AD＝CE.
又AD＝BC，所以CE＝CB，
所以OM＝ON.
又OM⊥BC，ON⊥CE，
所以CO平分∠BCE.
13. (1) 证明：因为AD⊥PC，所以∠EMC＝90°.
因为P为的中点，所以＝，
所以∠ADP＝∠BCP＝∠BDP.
因为∠CEM＝∠DEN，
所以∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB.
因为∠BDP＝∠ADP，所以∠DEN＝∠DBN，
所以DE＝DB.
又PD⊥BC，所以EN＝BN，
所以N为BE的中点．
(2) 解：如图，连接OA，OB，AB，AC.
因为的度数为90°，所以∠AOB＝90°.
因为OA＝OB＝8，所以AB＝8.
由(1)同理，得AM＝EM.
因为EN＝BN，所以MN是△AEB的中位线，
所以MN＝AB＝4.
第2课时　圆周角定理及推论
1. A　2. C　3. 70°　4. 5　5. 8
6. 解：CD与CE相等．理由如下：
连接BC.
因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AD.
因为CD＝AC，所以AB＝BD，所以∠A＝∠D.
又因为∠CEB＝∠A，所以∠CEB＝∠D，所以CE＝CD.
7. 证明：(1) 因为F是的中点，
所以＝，所以∠BAF＝∠CAF.
因为AB是直径，
所以∠AFB＝∠AFC＝90°.
因为AF＝AF，所以△AFB≌△AFC(ASA)，
所以AB＝AC.
(2) 因为AB是直径，所以∠ADB＝90°.
因为∠BAD＝45°，所以∠ABD＝∠BAD＝45°，
所以AD＝BD.
因为∠C＋∠CBD＝90°，∠C＋∠CAF＝90°，
所以∠CBD＝∠CAF.
因为∠BDC＝∠ADE＝90°，
所以△ADE≌△BDC(ASA)，所以AE＝BC.
8. D　9. 90°　10. 54°　11. 6
12. 解：(1) 如图1所示，P就是三条高的交点．
(2) 如图2所示，CT就是边AB上的高．
图1 图2
13. 解：(1) 因为点P与点C关于直线AB对称，
所以CP⊥AB，设垂足为D.
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
因为AB＝10，且BC∶AC＝4∶3，
所以BC＝8，AC＝6.
因为AC·BC＝AB·CD，
所以CD＝4.8，所以CP＝2CD＝9.6.
(2) 当点P运动到 的中点时，连接PA，PB，
过点B作BE⊥PC，垂足为E.
因为P是弧AB的中点，
所以AP＝BP＝5，∠ACP＝∠BCP＝45°.
因为BC＝8，所以CE＝BE＝4.
又因为PB＝5，所以PE＝＝3，
所以CP＝CE＋PE＝7.
(3) 当点P在 上运动时，恒有CP≥CA，即CP≥6；
当CP过圆心O时，PC取最大值10，
所以CP的长的取值范围是6≤CP≤10.
第3课时　圆内接四边形
1. A　2. B　3. 90°　4. 125°　5. 120°
6. 证明：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠CDA＋∠B＝180°.
因为∠B＝50°，所以∠CDA＝180°－50°＝130°，
所以∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°.
因为∠DCB＝100°，所以∠CDE＋∠E＝100°，
所以∠E＝50°，
所以∠E＝∠CDE，所以CD＝CE，
所以△CDE是等腰三角形．
7. (1) 证明：如图，连接OC.
因为OA＝OC，OE⊥AC，所以∠AOE＝∠AOC.
因为∠D＝∠AOC，所以∠AOE＝∠D.
(2) 解：因为∠ABC＝135°，
所以∠D＝45°，所以∠AOC＝90°.
因为AC＝6，所以OA＝OC＝AC＝3，
故⊙O的半径长为3.
8. A　9. 155°　10. 130°　11. 3
12. (1) 证明：因为CD平分∠ACE，
所以∠DCE＝∠ACD.
因为∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠DCE＝180°，
所以∠BAD＝∠DCE＝∠ACD.
因为∠DCE＝60°，
所以∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝∠BAD＝60°，
所以∠ADB＝180°－60°×2＝60°＝∠ABD＝∠BAD，
所以AB＝AD＝BD，
所以△ABD是等边三角形．
(2) 解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，连接OB，OA.
由(1)知，∠BAD＝∠DCE＝∠ACD＝∠ABD，
所以DB＝DA.
因为AB＝10，BD＝13，
所以BG＝AG＝5，
所以DG＝＝12，DG垂直平分AB.
因为OB＝OA，
所以圆心O在AB的垂直平分线DG上，
所以OG⊥AB.
设⊙O的半径为r，
所以r2＝(12－r)2＋52，
解得r＝，
所以⊙O的半径为.
13. (1) 证明：因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
因为∠ABC＝60°，所以∠ADC＝120°.
因为DB平分∠ADC，所以∠ADB＝∠CDB＝60°，
所以∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
所以∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
所以△ABC是等边三角形．
(2) 解：因为BE∥CD，所以∠EBD＝∠BDC.
因为∠ADB＝∠CDB＝60°，
所以∠EBD＝∠EDB＝60°，
所以△BDE是等边三角形．
又因为△ABC为等边三角形，
所以∠EBD＝∠ABC＝60°，
所以∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以AE＝CD＝3，所以DE＝AE＋AD＝5，
所以△BDE的面积为×5××5＝.