2．5　直线与圆的位置关系 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2．5　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
(1) 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这两个公共点叫做直线与圆的交点；
(2) 直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；
(3) 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
2. 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与⊙O相交 d直线l与⊙O相切 d＝r 直线与圆有1个交点；
直线l与⊙O相离 d>r 直线与圆有0个交点．
建议用时：20分钟
1 (2024常州模拟)已知⊙O与直线l相交，圆心到直线l的距离为6 cm，则⊙O的半径可能为(　　)
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm
2 (2024常州模拟)已知⊙O的直径为6，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系为(　　)
A. 相切　　 B. 相离　　 C. 相切或相交　　 D. 相离或相切
3 在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　　)
A. 2　　 B. 5　　 C. 6　　 D. 8
4 (2024苏州高新区月考)已知⊙O的直径为17 cm，若圆心O到直线l的距离为7.5 cm，则l与⊙O的位置关系是________．(填“相交”“相切”或“相离”)
5 已知⊙P的直径为8，点P的坐标是(－4，－3)，则⊙P与x轴的位置关系是________，与y轴的位置关系是________．
6 (2024宿迁沭阳月考)已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是________．
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，以点C为圆心，r为半径的圆和边AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r＝9 cm；　　　　　　(2) r＝10 cm；　　　　　　(3) r＝9.6 cm.
8 如图，⊙O的半径为2 ，AB，AC是⊙O的两条弦，AB＝2，AC＝4，若以点O为圆心，作一个与直线AC相切的圆．
(1) 求所作的圆的半径；
(2) 判断所作的圆与直线AB位置关系．
9 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，4)，B(－4，4)，C(－6，2).
(1) 若⊙M经过A，B，C三点，则点M的坐标是________；
(2) 若直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与⊙M的位置关系，并说明理由．
10 如图，在平面直角坐标系内，半径为t的圆D与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)，点D在第一象限，DE⊥AB于点E.
(1) 当t为何值时，圆D与y轴相切，并求出圆心D的坐标；
(2) 直接写出当t为何值时，圆D与y轴相交、相离．
建议用时：25＋5分钟
11 以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(　　)
A. －1＜b＜1　　 B. －＜b＜　　
C. －＜b＜0　　 D. 0＜b＜
12 如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4 cm，O为直线b上一动点，若半径为2 cm的⊙O与直线a相切，则OP的长为________cm.
13 在平面直角坐标系内，以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，若⊙P与坐标轴恰好有三个交点，则r的值是________．
14 在平面直角坐标系中，以点P(3，4)为圆心的⊙P，若该圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2，则⊙P的半径r的取值范围是________．
15 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，r为半径作⊙C.
(1) 若直线AB与⊙C没有公共点，求半径r的取值范围；
(2) 若边AB与⊙C有两个公共点，求半径r的取值范围；
(3) 若边AB与⊙C只有一个公共点，求半径r的取值范围．
16 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上(OA＞OB)，C(a，－a)(a为常数)，以点C为圆心、适当的长度为半径作⊙C，使点A，B在⊙C上．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 若OA＝8，OB＝6，直线y＝x＋b与⊙C有且只有一个公共点，求b的值．
17 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为边CD上的一个动点(不与点C，D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1) 若CE＝2，⊙O交AD于点F，G，求FG的长度．
(2) 若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．
备用图1 备用图2
第2课时　圆的切线的判定与性质
1. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．除此之外，我们还可以得到直线是圆的切线的另外两个判定方法：(1) 与圆有一个公共点的直线是圆的切线；(2) 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
2. 直线与圆相切的性质：(1) 圆的切线与圆有一个公共点；(2) 圆心到圆的切线的距离等于半径；(3) 圆的切线垂直于经过切点的半径．
建议用时：20分钟
1 （2024山西）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　)
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件中不正确的是(　　)
A. DE＝DO B. AB＝AC C. CD＝DB D. AC∥OD
3 （2024南京建邺二模）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为　　　　．
4 （2024宿迁泗阳二模）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是　　　　．
5 （2024扬州广陵一模）如图，⊙P的半径是1，圆心P在函数y＝(x＞－2)的图像上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为　　　　Ｗ．
6 （2024徐州期中）如图，P是∠BAC平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D，则AB与以点P为圆心，PD为半径的圆相切吗？请说明理由．
7 （2024镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D.若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
8 （2024南京秦淮期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CD，使∠ACD＝∠ABC.求证：CD与⊙O相切．
9 如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交⊙O于点D，交AB于点P，且CP＝CB.
(1) 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠A＝30°，OP＝4，求CB的长．
建议用时：25＋5分钟
10 如图，AB是⊙O的直径，DB，DE是⊙O的两条切线，切点分别为B，C.若∠ACE＝25°，则∠D的度数为(　　)
A. 50°　　 B. 55°　　 C. 60°　　 D. 65°
（第10题） （第11题）
11 如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，P(－1，0)，⊙P过坐标原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为　　　　．
12 （2024常州期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是DC的中点，F是边BC上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F.当⊙F与正方形ABCD的边相切时，BF的长为　　　　．
（第12题） （第13题）
13 （2024淮安二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，4)，⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值是　　　　．
14 （2024甘孜州）如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D.连接OA，OC.
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
15 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求作⊙O，使它经过边AB的中点，且与边AC，AB相切（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 若⊙M过点B，且与AB，AC两条边所在的直线相切，当AC＝6，BC＝8时，求⊙M的半径长．
16 （2024南京栖霞月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到点E，使BE＝BD.
(1) 求证：BE是⊙O的切线；
(2) 当BE＝6时，求⊙O半径的长．
第3课时　三角形的内切圆
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．
建议用时：20分钟
1 下列关于三角形内心的说法中，正确的是(　　)
A. 三角形的内心到三个顶点距离相等
B. 直角三角形的内心在斜边的高上
C. 三角形的内心与外心不可能重合
D. 三角形的内心一定在三角形内部
2 （2024常熟月考）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为(　　)
A. 120° B. 125° C. 135° D. 140°
（第2题） （第4题） （第5题）
3 （2024盐城盐都月考）若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则该直角三角形内切圆的半径等于　　　　．
4 （2024常州天宁期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为　　　　．
5 如图，△ABC的周长是18 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，已知AB＝6 cm，则△CEF的周长为　　　　cm.
6 如图，在△ABC中，∠B＝40°.
(1) 在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
(2) 连接EF，DF，求∠EFD的度数．
7 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.
(1) 求证：BE＝CE；
(2) 若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径r.
建议用时：25＋5分钟
8 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为(　　)
A. 56°　　 B. 62°　　 C. 68°　　 D. 78°
（第8题） （第9题） （第10题）
9 如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为　　　　．
10 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　　　　．
11 如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD.
(1) 求∠BCD的大小；
(2) 若CD＝4，求DM的值．
12 如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，＝， BD＝PD，延长CP交⊙O于点D，连接BP.
(1) 求证：点P是△ABC的内心；
(2) 已知⊙O的直径是5，CD＝7，求BC的长．
第4课时　切线长定理
1. 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
建议用时：20分钟
1 如图，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点C，则下列结论中错误的是(　　)
A. ∠1＝∠2　　B. PA＝PB　　C. AB⊥OC　　D. ∠PAB＝∠APB
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外的一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝48°，则∠DBA的度数为(　　)
A. 32°　　 B. 48°　　 C. 60°　　 D. 66°
3 （2024泰州姜堰月考）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　　　　．
4 （2024南京建邺月考）如图，⊙O与△ABC的边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　　　　．
5 如图，若⊙O与△ABC的边AB，AC的延长线及边BC相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是　　　　．
6 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：
(1) ∠BOC的度数；
(2) BE＋CG的长；
(3) ⊙O的半径．
7 如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
建议用时：25＋5分钟
8 （2024苏州姑苏月考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是(　　)
A. B. C. D.
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于A，B两点，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.
(1) 若△PDE的周长为10，则PA的长为　　　　；
(2) 连接CA，CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　　　　．
10 （2024南京鼓楼模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　　　　．
11 （2024南京玄武月考）如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边AD于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为　　　　．
12 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上的一点，以点O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC交于点D，连接DB，DE，OC，DE∥OC.
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
13 （2024自贡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1) 图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　　　　，BD＝　　　　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为　　　　；
(2) 如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是⊙O的切线．
图1 图2
2．5　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
1. D　2. C　3. B　4. 相交　5. 相交　相切　6. 相离
7. (1) 相离，理由略．
(2) 相交，理由略．
(3) 相切，理由略．
8. 解：(1) 如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，
则AE＝AC＝2，
所以OE＝＝2，
故所作的圆的半径是2.
(2) 如图，过点O作OF⊥AB于点F，
则AF＝AB＝，
所以OF＝＝.
因为＞2，
所以所作的圆与直线AB相离．
9. 解：(1) (－2，0)
(2) 直线l与⊙M相交．理由如下：
如图，连接MC.
因为直线l经过点C(－6，2)，且平行于y轴，
所以直线l交x轴于点D(－6，0)，OD⊥CD，
所以∠MDC＝90°.
因为MC＝＝2，MD＝－2＋6＝4，
所以MD＜MC，
所以直线l与⊙M相交．
10. (1) 因为DE⊥AB，A(1，0)，B(5，0)，
所以AE＝BE＝×(5－1)＝2，
所以OE＝1＋2＝3，
即当半径t＝3时，圆D与y轴相切．
在Rt△DEA中，AD＝3，AE＝2，由勾股定理，得DE＝＝，
所以圆心D的坐标是(3，).
(2) 当2＜t＜3时，圆D与y轴相离；当t＞3时，圆D与y轴相交．
11. B　12. 2或6　13. 2或　14. 215. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
因为∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
所以AB＝10，所以CD＝＝.
(1) 若直线AB与⊙C没有公共点，则半径r的取值范围是0＜r＜.
(2) 若边AB与⊙C有两个公共点，则半径r的取值范围是＜r≤6.
(3) 若边AB与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围是r＝或616. 解：(1) 作图如下：
(2) 如图，设直线y＝x＋b与⊙C有且只有一个公共点为T，
则CT和直线y＝x＋b垂直，且CT＝AC＝CB.
因为点C在直线y＝－x上，
所以T是直线y＝－x和直线y＝x＋b的交点，
则点T(－b，b)，
由CT＝AC＝CB，
得(a＋8)2＋a2＝a2＋(a＋6)2＝(－a－b)2＋(a＋b)2，
解得b＝4或b＝24.
17. 解：(1) 如图1，过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG.
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠C＝∠D＝90°，
所以BE是⊙O的直径．
因为∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，
所以四边形MNCD是矩形，
所以MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，
所以BN＝CN.
因为OB＝OE，
所以ON是△BCE的中位线，
所以ON＝CE＝1，
所以OM＝4－1＝3，
在Rt△BCE中，BE＝＝2，
所以OG＝BE＝，
在Rt△OMG中，MG＝＝1，
所以FG＝2MG＝2.
(2) 如图2，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N.
由(1)易得ON＝CE＝m，OB＝OM＝4－m，BN＝3，
在Rt△BON中，ON2＋BN2＝OB2，即(m)2＋32＝(4－m)2，
解得m＝，
所以当0＜m＜时，⊙O与AD相离；
当m＝时，⊙O与AD相切；
当＜m＜4时，⊙O与AD相交．
图1 图2
第2课时　圆的切线的判定与性质
1. D　2. A　3. 28°　4. 　5. (1，1)或(－1，3)
6. 解：AB与以点P为圆心，PD为半径的圆相切．理由如下：
如图，作PE⊥AB于点E.
因为P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB，
所以PE＝PD，
所以AB与以点P为圆心，PD为半径的圆相切．
7. 解：BC与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.
因为OA＝OD，
所以∠OAD＝∠ODA.
由折叠的性质，得∠CAD＝∠OAD，
所以∠CAD＝∠ODA，
所以AC∥OD，
所以∠ODB＝∠ACB＝90°，
所以OD⊥BC.
因为OD是⊙O的半径，
所以BC与⊙O相切．
8. 证明：如图，延长CO交⊙O于点M，连接BM，
则∠MBC＝90°，
所以∠M＋∠BCM＝90°.
因为∠A＝∠M，
所以∠A＋∠BCM＝90°.
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠BCN＝180°，∠ACD＝∠ABC，
所以∠A＝∠BCN，
所以∠BCN＋∠BCM＝90°，即∠OCN＝90°，
所以OC⊥CD.
因为OC是⊙O的半径，
所以CD与⊙O相切．
9. 解：(1) BC与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OB.
因为OA＝OB，
所以∠OAB＝∠OBA.
因为CP＝CB，
所以∠CPB＝∠CBP.
因为∠CPB＝∠APO，
所以∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，因为∠A＋∠APO＝90°，
所以∠OBA＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°，
所以OB⊥CB.
又因为OB是半径，
所以CB与⊙O相切．
(2) 因为∠A＝30°，∠AOP＝90°，
所以∠APO＝60°.
因为OA＝OB，
所以∠OBA＝∠A＝30°，
所以∠BOP＝∠APO－∠OBA＝30°＝∠OBP，
所以OP＝PB＝4.
因为∠BPD＝∠APO＝60°，PC＝CB，
所以△PBC是等边三角形，
所以BC＝PB＝4.
10. A　11. 60°　12. 或6－3　13. 2
14. (1) 证明：设OC交AB于点E.
因为OC是⊙O的半径，C为的中点，
所以OC垂直平分AB.
因为CD∥AB，
所以∠OCD＝∠OEB＝90°.
因为OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
所以CD是⊙O的切线．
(2) 解：因为OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
所以OD＝OB＋BD＝3＋2＝5.
因为∠OCD＝90°，
所以CD＝＝＝4，
所以S△OCD＝CD·OC＝×4×3＝6，
所以△OCD的面积是6.
15. 解：(1) 作图如下：
(2) 如图，作∠BAC的平分线AP，过点B作MB⊥AB交AP于点M，
以点M为圆心，MB为半径作⊙M，则⊙M即为所求，
过点M作ME⊥AC交AC的延长线于点E，作MF⊥BC于点F.
因为MB为⊙M的半径，MB⊥AB，
所以AB是⊙M的切线．
因为点M在∠BAC的平分线AP上，MB⊥AB，ME⊥AC，
所以ME＝MB，
所以ME是⊙M的半径，
所以直线AC是⊙M的切线，
所以⊙M经过点B且与AB，AC两条边所在的直线相切，
故⊙M即为所求．
设⊙M的半径为R，则ME＝MB＝R，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理，得AB＝＝10，
在Rt△ABM和Rt△AEM中，
所以Rt△ABM≌Rt△AEM(HL)，
所以AE＝AB＝10，
所以CE＝AE－AC＝10－6＝4.
因为ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
所以∠MEC＝∠ECF＝∠MFC＝90°，
所以四边形MECF是矩形，
所以MF＝CE＝4，CF＝ME＝R，
所以BF＝BC－CF＝8－R，
在Rt△MBF中，由勾股定理，得BM2＝MF2＋BF2，
所以R2＝42＋(8－R)2，
解得R＝5，
所以⊙M的半径为5.
16. (1) 证明：因为AB为⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，
所以∠BDE＋∠ADC＝90°.
因为AC＝AD，
所以∠ACD＝∠ADC.
因为∠ACD＝∠ECB，
所以∠ECB＝∠ADC.
因为EB＝DB，
所以∠E＝∠BDE，
所以∠E＋∠ECB＝90°，
所以∠EBC＝180°－(∠E＋∠ECB)＝90°.
因为OB是⊙O的半径，
所以BE是⊙O的切线．
(2) 解：设⊙O的半径为r.
因为OC＝3，
所以AC＝AD＝AO＋OC＝3＋r.
因为BE＝6，
所以BD＝BE＝6.
在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，
即36＋(r＋3)2＝(2r)2，
解得r1＝5，r2＝－3(负值舍去)，
所以⊙O半径的长为5.
第3课时　三角形的内切圆
1. D　2. D　3. 1　4. 130°　5. 12
6. 解：(1) 如图，⊙O即为所作．
(2) 如图，连接OD.
因为边AB，BC与⊙O相切，
所以OD⊥AB，OE⊥BC，所以∠ODB＝∠OEB＝90°，
所以∠DOE＝180°－∠ABC＝180°－40°＝140°，
所以∠EFD＝∠DOE＝70°.
7. (1) 证明：连接OB，OC，OE.
因为⊙O是△ABC的内切圆，
所以OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，
所以∠OBC＝∠OCB，所以OB＝OC.
又因为⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
所以OE⊥BC，所以BE＝CE.
(2) 解：连接OD，OF.
因为⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
所以∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.
又因为OD＝OF，所以四边形ODAF是正方形．
因为OD＝AD＝AF＝r，
所以BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.
在△ABC中，∠A＝90°，所以BC＝＝2.
又因为BC＝BE＋CE，所以(2－r)＋(2－r)＝2，
解得r＝2－，
所以⊙O的半径r为2－.
8. C　9. 4　10. 135°
11. 解：(1) 因为BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，
所以∠BAC＝90°.
因为点M为△ABC的内心，
所以∠BAD＝∠BAC＝45°，
所以∠BCD＝∠BAD＝45°.
(2) 连接CM.
因为点M为△ABC的内心，
所以∠BAD＝∠CAD，∠ACM＝∠BCM.
因为∠BAD＝∠BCD，
所以∠DAC＝∠BCD.
因为∠DMC＝∠DAC＋∠ACM，∠DCM＝∠BCD＋∠BCM，
所以∠DMC＝∠DCM，
所以DM＝CD＝4.
12. (1) 证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
因为＝，
所以∠ACD＝∠BCD，所以CD平分∠ACB.
因为PD＝BD，所以∠BPD＝∠PBD.
因为∠BPD＝∠BCP＋∠CBP，∠DBP＝∠ABD＋∠ABP，
∠ABD＝∠DCB，
所以∠CBP＝∠ABP，所以BP平分∠ABC，
所以点P是△ABC的内心．
(2) 解：如图，连接AD，过点B作BH⊥CD于点H.
易知△ABD是等腰直角三角形，
所以BD＝AB＝×5＝5.
因为∠BCD＝45°，BH⊥CD，
所以∠BCH＝∠CBH＝45°，
所以BH＝CH，所以BC＝BH.
因为BD2＝DH2＋BH2，
所以25＝(7－BH)2＋BH2，解得BH＝3或BH＝4.
又因为BC＞AC，所以BH＝4，所以BC＝4.
第4课时　切线长定理
1. D　2. D　3. 40　4. 7　5. 2
6. 解：(1) 连接OF，根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠BCD＝180°，
所以∠OBF＋∠OCF＝90°，所以∠BOC＝90°.
(2) 由(1)知，∠BOC＝90°.
因为OB＝6 cm，OC＝8 cm，
所以由勾股定理，得BC＝＝10(cm)，
所以BE＋CG＝BC＝10 cm.
(3) 因为BC与⊙O相切于点F，所以OF⊥BC，
所以S△OBC＝OF·BC＝OB·OC，
即OF×10＝×6×8，
所以OF＝4.8 cm.
故⊙O的半径为4.8 cm.
7. 解：设AF的长为x.
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠DAB＝∠CBA＝90°，
所以DA⊥AB，CB⊥AB.
又AB是⊙O的直径，
所以AD，BC是⊙O的切线．
因为CF是⊙O的切线，E为切点，
所以EF＝AF＝x，CE＝BC＝1，
所以FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.
在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，
即(1＋x)2＝1＋(1－x)2，解得x＝，
所以DF＝1－x＝，
所以S△CDF＝DC·DF＝.
8. C　9. (1) 5　(2) 115°　10. 29°　11. 14
12. (1) 证明：连接OD.
因为DE∥OC，
所以∠DEO＝∠BOC，∠DOC＝∠ODE.
因为∠DEO＝∠ODE，所以∠BOC＝∠DOC.
又因为OB＝OD，OC＝OC，所以△BOC≌△DOC(SAS)，
所以∠CDO＝∠CBO＝90°.
又OD是⊙O的半径，
所以AC是⊙O的切线．
(2) 解：设⊙O的半径为x，则x2＋4＝(x＋1)2，
解得x＝1.5，
所以AB＝4.
因为BC＝CD，所以CD2＋16＝(CD＋2)2，
解得CD＝3.
13. (1) AD　BE　1
(2) 证明：如图，过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF.
因为∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
所以△AMN≌△ABC(AAS)，
所以AN＝AC.
因为AD＝AF，
所以AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF.
易知CF＝OE，
所以DN＝OE.
因为∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
所以四边形OHND是矩形，
所以OH＝DN，
所以OH＝OE，即OH是⊙O的半径．
因为OH⊥MN，
所以MN是⊙O的切线．