2．6　正多边形与圆 同步练（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

2．6　正多边形与圆
第1课时　正多边形的有关概念及计算
1. 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2. 一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．
建议用时：20分钟
1 （2024济宁）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题） （第6题）　　
2 （2024青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是(　　)
A. 90° B. 99° C. 108° D. 135°
3 （2024南通崇川期中）若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为　　　　．
4 （2024镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝　　　　．
5 （2024盐城盐都月考）如图，边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是　　　　．
6 （2024启东期中）如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形的面积为　　　　．
7 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一条边，CD＝5 cm，求⊙O的半径．
建议用时：25＋5分钟
8 （2024镇江句容期中）如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为(　　)
A. 3∶1 B. 4∶1 C. 5∶1 D. 6∶1
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 （2024南京玄武一模）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为　　　　．
10 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为　　　　．
11 如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　　　　．
12 如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，求△AMN周长的最小值．
13 如图，中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t s.
(1) 求证：四边形PBQE为平行四边形；
(2) 当四边形PBQE为矩形时，求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
第2课时　正多边形的画法及应用
1. 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心．一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心．
2. 利用直尺和圆规可以画出圆的内接正多边形．依次连接互相垂直的直径端点所得的四边形是圆的内接正方形；以圆的半径为半径，在圆周上依次截取可得6个等分点，并顺次连接这些等分点所得的多边形是圆的内接正六边形．
建议用时：20分钟
1 下列说法中，错误的是(　　)
A. 正多边形的每个内角都相等　　B. 正多边形都是轴对称图形　
C. 正多边形都是中心对称图形　　D. 正多边形的中心到各边的距离相等
2 如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O的半径与半圆P半径的比为(　　)
A. 2∶1　　 B. 4∶1　　 C. 3∶1　　 D. 5∶3
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3 （2024盐城期中）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，点O是正六边形的中心，则BF的长为(　　)
A. 12 B. 6 C. 6 D. 12
4 如图，在正五边形ABCDE中，经过C，D两点的⊙O与AB，AE分别相切于点M，N，连接CM，CN，则∠MCN＝　　　　．
5 如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4，A1A7，则∠A4A1A7＝　　　　．
6 在如图所示的三个圆中，用尺规作图作出正方形ABCD、正六边形ABCDEF和正三角形ABC.（要求：保留作图痕迹，不写作法）
7 （2024扬州广陵期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG.
(1) 求AG的长；
(2) 求ME的长．
图1 图2
建议用时：25＋5分钟
8 （2024盐城射阳月考）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为(　　)
A. 3 B. 12 C. 4π D. 12π
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9 如图，P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＜b　　　　 B. a＝b　　　 C. a＞b　　　 D. a，b大小无法比较
10 如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是　　　　．
11 如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2.若经过点M的直线l将正六边形的面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是　　　　Ｗ．
12 (1) 如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明；
(2) 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明；
(3) 如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为弧BC上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，直接写出结论不需证明．
图1 图2 图3
2．6　正多边形与圆
第1课时　正多边形的有关概念及计算
1. D　2. B　3. 12　4. 10　5. 　6. 30
7. 解：如图，连接OB，OC，OD.
因为等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一条边，
所以∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
因为OC＝OD，所以△OCD是等腰直角三角形，
所以OC＝OD＝CD＝×5＝5(cm)，
即⊙O的半径为5 cm.
8. C　9. 60°　10. 12　11. 2
12. 解：连接AC.
因为⊙O的面积为2π，所以⊙O的半径为，
则BD＝2＝AC，
由正方形的性质知，C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，
连接AM，CM，则M，N即为所求点．
因为A′C∥MN，且A′C＝MN，
所以四边形MCA′N为平行四边形，
所以A′N＝CM＝AM，
所以△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AA′＋1最小．
因为A′A＝＝3，
所以△AMN周长的最小值为3＋1＝4.
13. (1) 证明：因为六边形ABCDEF是正六边形，
所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.
因为点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，
所以AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6－t.
在△ABP和△DEQ中，
所以△ABP≌△DEQ(SAS)，
所以BP＝EQ，同理可证PE＝QB，
所以四边形PBQE为平行四边形．
(2) 解：连接BE，OA.
因为∠AOB＝＝60°，OA＝OB，
所以△AOB是等边三角形，
所以AB＝OA＝6 cm，BE＝2OB＝12 cm.
当t＝0时，点P与点A重合，点Q与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1，则∠EAF＝∠AEF＝30°，
所以∠BAE＝120°－30°＝90°，
所以四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
又AE＝＝6(cm)，
所以S矩形PBQE＝S矩形ABDE＝AB·AE＝6×6＝36(cm2)；
当t＝6时，点P与点F重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2，
同理可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上，当t＝0或t＝6时，四边形PBQE是矩形，且矩形PBQE的面积为36 cm2.
因为正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOB＝6×S矩形ABDE＝6××36＝54(cm2)，
所以当四边形PBQE为矩形时，矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比为2∶3.
图1 图2
第2课时　正多边形的画法及应用
1. C　2. A　3. C　4. 36°　5. 54°
6. 如图：
7. 解：(1) 因为AE为⊙O的直径，
所以∠AGE＝90°.
因为＝，
所以AG＝EG，
所以∠GAE＝∠AEG＝45°，
所以AG＝EG＝10.
(2) 因为ME为⊙O的切线，
所以∠AEM＝90°，
由(1)知，∠GAE＝45°，
所以ME＝AE＝20.
8. B　9. A　10. (2，2)　11. 4
12. 解：(1) 如图1，延长BP至点E，使PE＝PC，连接CE.
因为A，B，P，C四点共圆，
所以∠BAC＋∠BPC＝180°.
因为∠BPC＋∠EPC＝180°，
所以∠BAC＝∠CPE＝60°.又PE＝PC，
所以△PCE是等边三角形，
所以CE＝PC，∠E＝60°.
又因为∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，
所以∠BCE＝∠ACP.
因为△ABC，△ECP为等边三角形，
所以CE＝PC，AC＝BC.
在△BEC和△APC中，，
所以△BEC≌△APC(SAS)，
所以PA＝EB＝PB＋PC.
(2) 如图2，过点B作BE⊥PB交PA于点E.
因为∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，
所以∠1＝∠3.
易得∠APB＝45°，
所以BP＝BE，
所以PE＝PB.
在△ABE和△CBP中，
所以△ABE≌△CBP(SAS)，
所以PC＝AE，
所以PA＝AE＋PE＝PC＋PB.
(3) PA＝PC＋PB.证明如下：
如图3，过点B作BM⊥AP于点M，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ.
因为∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
在△ABQ和△CBP中，，
所以△ABQ≌△CBP(SAS)，
所以BQ＝BP，
所以MP＝QM.
在Rt△PBM中，又因为∠APB＝30°，所以BM＝PB，
所以PM＝＝PB，
所以PQ＝PB，
所以PA＝PQ＋AQ＝PC＋PB.
图1 图2 图3