第1章一元二次方程达标检测卷（含答案） 2025-2026学年数学苏科版九年级上册

第1章一元二次方程达标检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、 选择题(每小题3分，共24分)
1. (2024南京秦淮月考)下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
A. x2＋y－2＝0 B. x＋y＝5 C. x2＝0 D. x＋＝5
2. (2024扬州宝应月考)关于x的一元二次方程5x2＝－2x＋1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
A. 5，－2，1 B. 5，2，－1 C. －5，2，1 D. －5，－2，－1
3. (2024镇江月考)用配方法解一元二次方程x2－4x＋1＝0，下列变形中正确的是(　　)
A. (x－2)2－3＝0 B. (x＋4)2＝15
C. (x＋2)2＝3 D. (x－2)2＝－3
4. (2024云南)两年前生产1 kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1 kg甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程中正确的是(　　)
A. 80(1－x2)＝60 B. 80(1－x)2＝60
C. 80(1－x)＝60 D. 80(1－2x)＝60
5. 若实数k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx＋b的图像不经过(　　)
A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限
6. 若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x－3＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)
A. m≥　　　B. m<　　 C. m>且m≠1　　 D. m≥且m≠1
7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　)
A. 　　 B. 2　　 C. D. 2
8. (2024常州期中)如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“快乐方程”．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“快乐方程”，且a＝c，则下列结论中正确的是(　　)
A. 方程有两个不相等的实数根　 B. 方程有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根　　　　　　 D. 无法确定方程根的情况
二、 填空题(每小题3分，共24分)
9. (2024宿迁宿豫二模)方程2x2－4＝0的解是________．
10. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．
11. (2024无锡新吴月考)若三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________．
12. 若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为________．
13. 在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4，则正确的一元二次方程为_____________________．
14. 若关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m＋4＝0两根的倒数和为1，则m的值为________．
15. 若关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为________.
16. (2024南京秦淮开学考试)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 021＝________．
三、 解答题(共102分)
17. (12分)解下列方程：
(1) (x－3)2＝25；　　 (2) x(x－2)＋x－2＝0；
x2＋4x－8＝0；　　 (4) 3x2－6x－2＝0.
18. (8分)已知y1＝x2－2x＋3，y2＝3x－k.
(1) 当x＝1时，求出使得等式y1＝y2成立的实数k的值；
(2) 若关于x的一元二次方程y1＋k＝y2有实数根，求k的取值范围．
19. (10分)(2024宿迁宿豫期中)已知关于x的方程kx2－5x－k－1＝0.
(1) 求证：无论x取何值，这个方程总有实数根；
(2) 取一个k值，使得这个方程有两个有理数根，并求出这两个根．
20. (10分)(2024镇江月考)如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1 m宽的门．
(1) 设猪舍与墙垂直的一边AD的长为x m，则AB＝________m(用含x的式子表示)；
(2) 当x为多少时，猪舍的面积为80 m2
21. (10分)(2024宿迁沭阳期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．
(1) 几秒后△PBQ的面积等于8 cm2；
(2) △PDQ的面积能为8 cm2吗？为什么？
22. (10分)关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若该方程的两个根分别为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
23. (10分)(2024扬州广陵期中)随着科技的不断进步，人工智能AI正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．
(1) 若有14人参加旅游，则人均费用是________元；
(2) 某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3 600元，求参加活动的学生人数．
24. (10分)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋3m＋2＝0的两个实数根，且第三边长为5，请你探索下列问题：
(1) 是否存在实数m，使△ABC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
(2) 是否存在实数m，使△ABC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
25. (10分)(2024无锡宜兴月考)若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程x2－x＝0有解x＝1，所以x2－x＝0为“明一方程”．
(1) 下列方程是“明一方程”的有________；(填序号)
①2x－2＝0；②2x2＋x－1＝0；③|x－2|＝1.
(2) 已知x1，x2为“明一方程”x2＋bx＋c＝0的两个根，且其中一个根是另一个根的2倍，试求b，c的值；
(3) 已知直线y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝0时，关于x的方程y＝kx＋b为“明一方程”，求该直线的表达式．
26. (12分)已知矩形的一边长为2，另一边长为1.
(1) 是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
小明是这样想的：
先固定周长，要使所求矩形的周长为12，这样的矩形有无数个，其中是否有面积为4的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为x，则另一边长为(6－x)，则可列方程：____________________＝4.
小刚是这样想的：
先固定面积，要使所求矩形的面积为4，这样的矩形有无数个，其中是否有周长为12的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为x，则另一边长为，可得＝6－x，在同一坐标系中画出函数y＝和y＝6－x的图像，发现它们有两个交点．
①按照小明的思路，完成解答；
②按照小刚的思路，直接写出两个交点的坐标；
(2) 如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的k倍(k＞0)，求实数k的取值范围．
第1章 一元二次方程 达标检测卷
1. C　2. B　3. A　4. B　5. C　6. D　7. C　8. B
9. x1＝，x2＝－　10. 0　11. 12　12. 4　13. x2－7x＋2＝0　14. 2　15. 1　
16. 2 032
17. (1) x1＝8，x2＝－2
(2) x1＝2，x2＝－1
(3) x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2
(4) x1＝，x2＝
18. 解：(1) 当x＝1时，y1＝2，y2＝3－k，
根据题意，得2＝3－k，解得k＝1.
(2) 根据题意，得x2－2x＋3＋k＝3x－k有实数根，
即x2－5x＋3＋2k＝0有实数根，
所以b2－4ac＝(－5)2－4×(3＋2k)≥0，解得k≤.
19. (1) 证明：当k＝0时，原方程化为－5x－1＝0，解得x＝－；
当k≠0时，因为b2－4ac＝(－5)2－4k(－k－1)
＝4k2＋4k＋25
＝(2k＋1)2＋24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
综上所述，无论x取何值，这个方程总有实数根．
(2) 解：取k＝－1，此时方程化为－x2－5x＝0，即－x(x＋5)＝0，
所以－x＝0或x＋5＝0，
所以x1＝0，x2＝－5.
20. 解：(1) 26－2x
(2) 根据题意，得x(26－2x)＝80，
整理，得x2－13x＋40＝0，
解得x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26－2x＝26－2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，26－2x＝26－2×8＝10＜12，符合题意，
所以当x为8 m时，猪舍的面积为80 m2.
答：当x为8 m时，猪舍的面积为80 m2.
21. 解：(1) 设运动时间为t s，
则AP＝t cm，BP＝(6－t) cm，BQ＝2t cm，CQ＝(12－2t) cm，
根据题意，得(6－t)·2t＝8，
整理，得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4.
答：经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2.
(2) △PDQ的面积不能为8 cm2.理由如下：
假设△PDQ的面积能为8 cm2，则S△PDQ＝S矩形ABCD－S△APD－S△PBQ－S△CDQ，
即12×6－×12·t－(6－t)·2t－×6·(12－2t)＝8，
整理，得t2－6t＋28＝0.
因为b2－4ac＝(－6)2－4×1×28＝－76＜0，
所以原方程无实数根，
故假设不成立，即△PDQ的面积不能为8 cm2.
22. 解：(1) b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
因为方程有两个不相等的实数根，所以－8＋4k＞0，
解得k＞2.
(2) 因为方程的两个根为α，β，所以αβ＝＝3－k，
所以k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(舍去).
故k的值为3.
23. 解：(1) 220
(2) 设参加活动的学生人数为x人，
根据题意，得x[240－5(x－10)]＝3 600，
整理，得x2－58x＋720＝0，
解得x1＝18，x2＝40，
当x＝18时，240－5×(18－10)＝200＞170，符合题意；
当x＝40时，240－5×(40－10)＝90＜170，不符合题意，舍去，
所以参加活动的学生人数为18人．
答：参加活动的学生人数为18人．
24. 解：(1) 设存在实数m，使得△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
所以当AB＝AC时，b2－4ac＝0.
因为(2m＋3)2－4(m2＋3m＋2)＝1＞0，
所以不存在实数m，使得△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
(2) 因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5，
所以AB2＋AC2＝25.
因为AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋3m＋2＝0的两个实数根，
所以AB＋AC＝2m＋3，AB·AC＝m2＋3m＋2，
所以AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC，
即(2m＋3)2－2(m2＋3m＋2)＝25，
整理，得(m－2)(m＋5)＝0，
解得m1＝2，m2＝－5(不合题意，舍去)，
所以当m＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
25. 解：(1) ①③
(2) 因为x2＋bx＋c＝0为“明一方程”，
所以方程必有一个根是x＝1.
所以1＋b＋c＝0，即c＝－1－b.
因为x1，x2为“明一方程”x2＋bx＋c＝0的两个根，且其中一根是另一根的2倍，
所以x1＋x2＝－b，x1x2＝c，
设x2＝2x1，
则3x1＝－b，2x＝c＝－1－b，
所以2b2＋9b＋9＝0，
解得b1＝－3，b2＝－，
所以c1＝2，c2＝，
所以b＝－3，c＝2或b＝－，c＝.
(3) 因为当y＝0时，关于x的方程y＝kx＋b为“明一方程”，
所以当y＝0时，x＝1，
所以k＋b＝0，
即k＝－b.
又直线y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
所以A(1，0)，B(0，b).
所以S△AOB＝OA·OB＝×1×|b|＝6，
解得b＝±12，
所以k＝－12或k＝12，
故直线表达式为y＝－12x＋12或y＝12x－12.
26. 解：(1) ①根据题意，得x(6－x)＝4，
解得x1＝3＋，x2＝3－，
当x＝3＋时，6－x＝3－；
当x＝3－时，6－x＝3＋，即两矩形是一样的，
所以存在矩形符合题意，矩形的一边长为3＋，另一边长为3－.
②(3－，3＋)　(3＋，3－).
(2) 根据题意，得这个矩形的周长为12，面积为2k.
设矩形的一边长为x，则另一边长为(6－x)，
则x(6－x)＝2k，整理，得x2－6x＋2k＝0，
所以b2－4ac＝36－8k≥0，解得k≤.
又因为k＞0，所以0＜k≤，
即实数k的取值范围是0＜k≤.