第二章 直角三角形的边角关系
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是(C)
A.sin B= B.sin C=
C.cos B= D.tan B=
2.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则tan A的值为(B)
A. B. C. D.
3.若锐角A满足sin A=,则∠A的度数是(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大为原来的2倍,则锐角∠A的余弦值的变化情况是(C)
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍
C.不变 D.不能确定
5.在由边长相等的小正方形组成的网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为(B)
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠A和∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC三个内角的大小关系为(D)
A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A
C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A
7.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是(A)
8.如图所示,人爬坡时,坡面与水平面的夹角为α,每爬1 m坡耗能(1.025-cos α)J.若某人爬完一个高度为20 m的斜坡,坡角α=45°,则他大约耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)(A)
A.12.72 J B.8.99 J C.6.36 J D.4.50 J
9.如图所示,要测量一条河两岸的A,B两点之间的距离.在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB
=45°,CD=10 m,则AB的长约为(B)
(参考数据:sin 56.3°≈0.8,cos 56.3°≈0.6,tan 56.3°≈1.5,sin 45°≈0.7,cos 45°≈0.7,tan 45°=1)
A.15 m B. 30 m C. 35 m D. 40 m
10.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中点,则
sin∠EBC的值为(C)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则cos A= .
12.已知α,β均为锐角,且满足+=0,则α+β= 75° .
13.社团活动课上,九年级某学习小组测量学校旗杆的高度.如图所示,他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°,BC=6 m,则旗杆AC的高度为 6 m.(结果保留根号)
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,D为AC上一点,∠BDC
=45°,DC=8,则AB= 20 .
15.如图所示,为了测量河宽(AB的长度),在与AB垂直的河岸上的点C处测得AC=60 m,∠ACB=30°,那么河宽为 20 m.
16.如图所示,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离为150 m的C处有一山坡,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,坡顶D到BC的距离DE=50 m(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为 86 m.(精确到1 m.参考数据:tan 50°≈1.19)
17.如图所示,在矩形ABCD中,如果AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC=
.
18.如图所示,在每个小正方形的边长均为1的方格图中,点A,C,M,N均在格点(网格线的交点)上,AN与CM相交于点P,则tan∠CPN的值
为 1 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)计算:
(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+;
(2)sin245°+cos230°-tan260°.
解:(1)原式=-×1+=-+×(1-)=.
(2)原式=()2+()2-()2=+-3=-.
20.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
解:(1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中,sin B==,AD=1,∴AB=3,
∴BD===2.
在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1.
∴BC=BD+CD=2+1.∴BC的长为2+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=,
∴DE=CE-CD=-1=-,
∴tan∠DAE===-.
21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,某市政府决定对一段长200 m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高
30 cm,斜坡AB的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF的坡度为1∶,求BF的长.(结果保留根号)
解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,
则四边形EGHA是矩形,
∴EG=AH,GH=AE=2 m.
∵斜坡AB的坡度为1∶1,
∴BH=AH=30×30=900(cm),900 cm=9 m.
∴BG=BH-HG=9-2=7(m).
∵斜坡EF的坡度为1∶,
∴FG=9 m.∴BF=FG-BG=(9-7)m.
∴BF的长为(9-7)m.
22.(10分)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次实验中,如图所示,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17 m,BD=10 m.
(1)求CD的长;
(2)模拟装置从A点以2 m/s的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
(参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75)
解:(1)如图所示:
由题意可知,∠DBE=36.87°,
∴∠BDC=36.87°.
在△BCD中,∠C=90°,BD=10 m.
∵cos∠BDC=,
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(m),
即CD的长约为8 m.
(2)∵AD=17 m,CD=8 m,
∴AC==15 m.
在△BCD中,∠C=90°,BD=10 m.
∵sin∠BDC=,
∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.60=6(m),
∴AB=AC-BC≈15-6=9(m),
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为9÷2=4.5(s).
23.(12分) 综合与探究 知识再现:
如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=,∴=.
拓展探究:
如图②所示,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系.
解决问题:
如图③所示,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用“拓展探究”中的结论,求点A到点B的距离.(结果保留根号)
① ② ③
解:拓展探究:
如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中,sin B==.
同理,sin B==,sin∠BAC==,
sin∠BCA==,
∴AE=csin B,AE=bsin∠BCA,CD=asin B,CD=bsin∠BAC,
∴csin B=bsin∠BCA,asin B=bsin∠BAC,
∴=,=,
∴==.
解决问题:
在△ABC中,∠CBA=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°.
∵=,∴=,
∴AB=30 m,
即点A到点B的距离为30 m.第二章 直角三角形的边角关系
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是( )
A.sin B= B.sin C=
C.cos B= D.tan B=
2.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则tan A的值为( )
A. B. C. D.
3.若锐角A满足sin A=,则∠A的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大为原来的2倍,则锐角∠A的余弦值的变化情况是( )
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍
C.不变 D.不能确定
5.在由边长相等的小正方形组成的网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠A和∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC三个内角的大小关系为( )
A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A
C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A
7.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是( )
8.如图所示,人爬坡时,坡面与水平面的夹角为α,每爬1 m坡耗能(1.025-cos α)J.若某人爬完一个高度为20 m的斜坡,坡角α=45°,则他大约耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.12.72 J B.8.99 J C.6.36 J D.4.50 J
9.如图所示,要测量一条河两岸的A,B两点之间的距离.在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB
=45°,CD=10 m,则AB的长约为( )
(参考数据:sin 56.3°≈0.8,cos 56.3°≈0.6,tan 56.3°≈1.5,sin 45°≈0.7,cos 45°≈0.7,tan 45°=1)
A.15 m B. 30 m C. 35 m D. 40 m
10.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中点,则
sin∠EBC的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则cos A= .
12.已知α,β均为锐角,且满足+=0,则α+β= .
13.社团活动课上,九年级某学习小组测量学校旗杆的高度.如图所示,他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°,BC=6 m,则旗杆AC的高度为 m.(结果保留根号)
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,D为AC上一点,∠BDC
=45°,DC=8,则AB= .
15.如图所示,为了测量河宽(AB的长度),在与AB垂直的河岸上的点C处测得AC=60 m,∠ACB=30°,那么河宽为 m.
16.如图所示,在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离为150 m的C处有一山坡,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,坡顶D到BC的距离DE=50 m(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°,则建筑物AB的高度约为 m.(精确到1 m.参考数据:tan 50°≈1.19)
17.如图所示,在矩形ABCD中,如果AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC=
.
18.如图所示,在每个小正方形的边长均为1的方格图中,点A,C,M,N均在格点(网格线的交点)上,AN与CM相交于点P,则tan∠CPN的值
为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)计算:
(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+;
(2)sin245°+cos230°-tan260°.
20.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,某市政府决定对一段长200 m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高
30 cm,斜坡AB的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF的坡度为1∶,求BF的长.(结果保留根号)
22.(10分)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次实验中,如图所示,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17 m,BD=10 m.
(1)求CD的长;
(2)模拟装置从A点以2 m/s的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
(参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75)
23.(12分) 综合与探究 知识再现:
如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=,∴=.
拓展探究:
如图②所示,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系.
解决问题:
如图③所示,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用“拓展探究”中的结论,求点A到点B的距离.(结果保留根号)
① ② ③
