第三章 二次函数
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若y=(a+1)x|a+3|-x+3是关于x的二次函数,则a的值是(B)
A.1 B.-5
C.-1 D.-5或-1
2.函数y=的自变量x的取值范围是(C)
A.x>5 B.3≤x<5 C.x<5 D.3≤x≤5
3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=2x2 先向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得到的抛物线的表达式为(C)
A.y=2(x-1)2-3 B.y=2(x-1)2+3
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x+1)2+3
4.对于二次函数y=2(x-1)2-8,下列说法正确的是(C)
A.图象开口向下
B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小
C.当x<1时,y的值随x值的增大而减小
D.图象的对称轴是直线x=-1
5.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是(B)
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 …
A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38
6. 如图所示,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(B)
A B C D
7.一只酒杯如图①所示,酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成且是轴对称图形.从正面看酒杯的上半部分是一条抛物线,以顶点C为原点建立如图②所示的平面直角坐标系.若AB=4,CD=3,则抛物线的表达式为(A)
① ②
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-x2 D.y=-x2
8.已知竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(B)
A.第3 s B.第3.9 s C.第4.5 s D.第6.5 s
9.规定:对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把它的图象与x轴交点的横坐标称为二次函数y=ax2+bx+c的零点.已知二次函数y=(k-8)x2-6x+k只有一个零点且图象开口向下,则该零点是(A)
A.- B. C.3 D.-或3
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,下列结论:①abc<0;②3a+c=0;③当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;④若点(-2,y1),(2,y2)都在抛物线上,则有y1<0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11. 二次函数y=x2-6x+5的顶点坐标是 (3,-4) .
12.若二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的图象经过原点,则m= 2 .
13.已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0).若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为 2 .
14.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4,1),B(2,1).若函数值y随x值的增大而减小,则x的取值范围是 x≥-1 .
15.若抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是 k≤且k≠1 .
16.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为 M(-1,4),则此抛物线的表达式为 y=-x2-2x+3 .
17.已知点A(m,0),B(-1,y1),C(5,y2)都在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.若2”或“<”)
18.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2 025的坐标为
(-1 013,1 0132) .
三、解答题(共46分)
19.(6分)已知二次函数y=x2+4x+3.
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)画出此函数图象的简图.
解:(1)∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴此函数图象的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,-1).
(2)令y=0,即x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,
∴此函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(-3,0).
令x=0,则y=3,∴此函数图象与y轴的交点为(0,3),
结合顶点(-2,-1),画函数图象如图所示.
20.(8分)某商店销售一批纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%.试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本.现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)将纪念册销售单价定为多少元时,商店每天销售纪念册获得的利润w最大 最大利润是多少元
解:(1)由题意,得y=300-10(x-44)=-10x+740.
∵每本进价40元,且获利不高于30%,
∴最高单价为52元,即x≤52,
∴44≤x≤52.
(2)w=(x-40)(-10x+740)=-10(x-57)2+2 890.
当x<57时,w随x的增大而增大,而44≤x≤52,
∴当x=52时,w有最大值,最大值为2 640.
故将纪念册销售单价定为52元时,商店每天销售纪念册获得的利润w最大,最大利润是2 640元.
21.(8分)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处
解:(1)∵8-6=2,
∴抛物线的顶点坐标为(2,3),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3(a≠0).
把A(8,0)代入函数表达式,得36a+3=0,解得a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+3.
当x=0时,y=-×4+3=>2.44,
∴球不能射进球门.
(2)设小明带球向正后方移动a m,则移动后的抛物线为y=-(x-2-a)2+3.
把(0,2.25)代入,得2.25=-(0-2-a)2+3,
解得a=-5(舍去)或a=1,
∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处.
22.(12分) 综合与探究 如图所示,抛物线y=ax2+2x+c与y轴相交于点C(0,3),与x轴正半轴相交于点B,负半轴相交于点A(-1,0).
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)如图所示,P是第一象限抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足是点D,PD与BC的交点为E,设P(m,n).
①用含m的式子表示PD,DE.
直接用①的结论求解②③:
②若PE=DE,求点P的坐标.
③若PE=2DE,求点P的坐标.
解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c过点A(-1,0)与点C(0,3),
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)①令y=-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,∴B(3,0).
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
把点B,C的坐标代入y=kx+b,得解得
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
设点P(m,-m2+2m+3),则点E(m,-m+3),
则PD=-m2+2m+3,DE=-m+3.
②由①知,PE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.
若PE=DE,则-m2+3m=-m+3,
解得m=3(舍去)或m=1,即点P(1,4).
③若PE=2DE,则-m2+3m=-2m+6,
解得m=3(舍去)或m=2,即点P(2,3).
23.(12分)如图所示,已知抛物线y=(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B,C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值.
(2)在(1)的条件下:
①求△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,求点H的坐标.
解:(1)将M(-2,-2)代入抛物线的表达式,得
-2=(-2-2)(-2+a),解得a=4.
(2)①由(1)知抛物线的表达式为y=(x-2)(x+4).
令(x-2)(x+4)=0,得x1=2,x2=-4,∴B(-4,0),C(2,0).
当x=0时,y=-2,∴E(0,-2),∴S△BCE=×6×2=6.
②由y=(x-2)(x+4),得对称轴为直线x=-1.
根据点C与点B关于直线x=-1对称,知BE与对称轴交点H即为所求(如图所示).
设直线BE表达式为y=kx+b(k≠0),
将B(-4,0),E(0,-2)代入表达式,得解得
∴直线BE的表达式为y=-x-2.
当x=-1时,y=-2=-,
∴点H的坐标为(-1,-).第三章 二次函数
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若y=(a+1)x|a+3|-x+3是关于x的二次函数,则a的值是( )
A.1 B.-5
C.-1 D.-5或-1
2.函数y=的自变量x的取值范围是( )
A.x>5 B.3≤x<5 C.x<5 D.3≤x≤5
3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=2x2 先向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得到的抛物线的表达式为( )
A.y=2(x-1)2-3 B.y=2(x-1)2+3
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x+1)2+3
4.对于二次函数y=2(x-1)2-8,下列说法正确的是( )
A.图象开口向下
B.当x>1时,y的值随x值的增大而减小
C.当x<1时,y的值随x值的增大而减小
D.图象的对称轴是直线x=-1
5.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是( )
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 …
A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38
6. 如图所示,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A B C D
7.一只酒杯如图①所示,酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成且是轴对称图形.从正面看酒杯的上半部分是一条抛物线,以顶点C为原点建立如图②所示的平面直角坐标系.若AB=4,CD=3,则抛物线的表达式为( )
① ②
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-x2 D.y=-x2
8.已知竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A.第3 s B.第3.9 s C.第4.5 s D.第6.5 s
9.规定:对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把它的图象与x轴交点的横坐标称为二次函数y=ax2+bx+c的零点.已知二次函数y=(k-8)x2-6x+k只有一个零点且图象开口向下,则该零点是( )
A.- B. C.3 D.-或3
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,下列结论:①abc<0;②3a+c=0;③当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;④若点(-2,y1),(2,y2)都在抛物线上,则有y1<0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11. 二次函数y=x2-6x+5的顶点坐标是 .
12.若二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的图象经过原点,则m= .
13.已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a>0).若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为 .
14.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4,1),B(2,1).若函数值y随x值的增大而减小,则x的取值范围是 .
15.若抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是 .
16.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为 M(-1,4),则此抛物线的表达式为 .
17.已知点A(m,0),B(-1,y1),C(5,y2)都在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.若2”或“<”)
18.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2 025的坐标为
.
三、解答题(共46分)
19.(6分)已知二次函数y=x2+4x+3.
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)画出此函数图象的简图.
20.(8分)某商店销售一批纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%.试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本.现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)将纪念册销售单价定为多少元时,商店每天销售纪念册获得的利润w最大 最大利润是多少元
21.(8分)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处
22.(12分) 综合与探究 如图所示,抛物线y=ax2+2x+c与y轴相交于点C(0,3),与x轴正半轴相交于点B,负半轴相交于点A(-1,0).
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)如图所示,P是第一象限抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足是点D,PD与BC的交点为E,设P(m,n).
①用含m的式子表示PD,DE.
直接用①的结论求解②③:
②若PE=DE,求点P的坐标.
③若PE=2DE,求点P的坐标.
23.(12分)如图所示,已知抛物线y=(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B,C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值.
(2)在(1)的条件下:
①求△BCE的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,求点H的坐标.
