第一章 反比例函数
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数中,变量y是x的反比例函数的是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
2.已知反比例函数y=-,则下列说法不正确的是( )
A.图象经过点(2,-4)
B.图象分别在第二、四象限内
C.y≤1时,x≤-8
D.在每一象限内,y的值随x值的增大而增大
3.在反比例函数y=的图象上,y的值都随x值的增大而减小,则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m<1 C.m=1 D.m≠1
4.若A(2,4)与B(-2,a)都是反比例函数y=(k≠0)的图象上的点,则a的值是( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
5.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A B
C D
6.若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x1C.x37.某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象经过点A(如图所示).当气球内的气压大于144 kPa时,气球会爆炸,为确保气球不爆炸,该气球的体积应( )
A.不大于 m3 B.不小于 m3
C.不大于 m3 D.不小于 m3
8.某公园“水上滑梯”的侧面图如图所示,其中BC段是双曲线的一段,矩形AOEB中有一梯子,OA=5 m,AB∥OD,且AB=2 m,出口C点与水面的距离CD为1 m,则B,C之间的水平距离DE为( )
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
9.如图所示,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别为2和4,△ABO的面积为6,则k的值为( )
A.4 B.8 C.10 D.12
10.如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A,B两点,AC⊥x轴,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y=的图象上任取点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④S△BOD=.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.请写出一个反比例函数的表达式: ,使它符合条件“当x>0时,y的值随x值的增大而增大”.
12.已知反比例函数y=与一次函数y=2x-1的图象的交点为(1,a),则k的值为 .
13.已知双曲线y=,若在每一象限内,函数值y随x值的增大而增大,则k的取值范围是 .
14.杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数表达式为 .
15.如图所示,反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),S ABCO=3,则实数k的值为 .
16.如图所示,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围是 .
17.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值为 .
18.如图所示,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,点P1,P2,P3,…,Pn都在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x轴上,则点A2 022的坐标为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)已知反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的表达式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3)当-220.(8分)如图所示,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
21.(10分)已知反比例函数y=(k≠0)的图象的一个分支如图所示,它经过点(3,-2).
(1)求此反比例函数的表达式,并补画该函数图象的另一个分支.
(2)求当y≤4且y≠0时,自变量x的取值范围.
22.(10分)某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min.
(1)校医完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要多长时间
(2)消毒药物在1间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示,校医进行药物喷洒时,y与x之间的关系式为y=2x;药物喷洒完成后,y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体无危害,校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室喷洒完成后,一班学生能否进入教室
23.(12分) 综合与探究 定义:如图所示,在平面直角坐标系中,点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点P分别作x轴、y轴的垂线,若由点P、原点O、两个垂足A,B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时,则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”.
【尝试初探】
(1)点C(2,3) “美好点”(填“是”或“不是”);若点D(4,b)是第一象限内的一个“美好点”,则b= .
【深入探究】
(2)①若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线y=(k≠0,且k为常数)上,求k的值;
②在①的条件下,F(2,n)在双曲线y=上,求S△EOF的值.第一章 反比例函数
时间:60分钟 满分:100分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数中,变量y是x的反比例函数的是(C)
A.y= B.y= C.y= D.y=
2.已知反比例函数y=-,则下列说法不正确的是(C)
A.图象经过点(2,-4)
B.图象分别在第二、四象限内
C.y≤1时,x≤-8
D.在每一象限内,y的值随x值的增大而增大
3.在反比例函数y=的图象上,y的值都随x值的增大而减小,则m的取值范围是(A)
A.m>1 B.m<1 C.m=1 D.m≠1
4.若A(2,4)与B(-2,a)都是反比例函数y=(k≠0)的图象上的点,则a的值是(B)
A.4 B.-4 C.2 D.-2
5.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(B)
A B
C D
6.若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是(B)
A.x1C.x37.某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象经过点A(如图所示).当气球内的气压大于144 kPa时,气球会爆炸,为确保气球不爆炸,该气球的体积应(B)
A.不大于 m3 B.不小于 m3
C.不大于 m3 D.不小于 m3
8.某公园“水上滑梯”的侧面图如图所示,其中BC段是双曲线的一段,矩形AOEB中有一梯子,OA=5 m,AB∥OD,且AB=2 m,出口C点与水面的距离CD为1 m,则B,C之间的水平距离DE为(D)
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
9.如图所示,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别为2和4,△ABO的面积为6,则k的值为(B)
A.4 B.8 C.10 D.12
10.如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A,B两点,AC⊥x轴,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y=的图象上任取点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④S△BOD=.其中正确结论的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.请写出一个反比例函数的表达式: 答案不唯一,如y=- ,使它符合条件“当x>0时,y的值随x值的增大而增大”.
12.已知反比例函数y=与一次函数y=2x-1的图象的交点为(1,a),则k的值为 1 .
13.已知双曲线y=,若在每一象限内,函数值y随x值的增大而增大,则k的取值范围是 k<-1 .
14.杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数表达式为 F= .
15.如图所示,反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),S ABCO=3,则实数k的值为 -6 .
16.如图所示,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围是 -1≤x<0或x≥2 .
17.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值为 0 .
18.如图所示,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,点P1,P2,P3,…,Pn都在反比例函数y=(x>0)的图象上,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x轴上,则点A2 022的坐标为 (4,0) .
三、解答题(共46分)
19.(6分)已知反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的表达式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3)当-2解:(1)把A(2,3)代入y=,得k=2×3=6,∴y=.
(2)点B(-1,6)不在这个函数的图象上,点C(3,2)在这个函数的图象上.理由如下:
∵当x=-1时,y=-6,∴点B(-1,6)不在这个函数的图象上.
∵当x=3时,y=2,∴点C(3,2)在这个函数的图象上.
(3)当x=-1时,y=-6;x=-2时,y=-3.
∵k=6>0,∴当-2∴当-220.(8分)如图所示,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
解:(1)设y=(k≠0),把x=6,y=2代入y=,
得k=6×2=12,
∴y关于x的函数表达式为y=.
(2)把y=3代入y=,得x=4,∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
21.(10分)已知反比例函数y=(k≠0)的图象的一个分支如图所示,它经过点(3,-2).
(1)求此反比例函数的表达式,并补画该函数图象的另一个分支.
(2)求当y≤4且y≠0时,自变量x的取值范围.
解:(1)把(3,-2)代入y=(k≠0),得-2=,解得k=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-.
补画该函数图象如图所示.
(2)当y=4时,-=4,解得x=-,
∴当y≤4且y≠0时,x≤-或x>0.
22.(10分)某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min.
(1)校医完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要多长时间
(2)消毒药物在1间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示,校医进行药物喷洒时,y与x之间的关系式为y=2x;药物喷洒完成后,y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时,对人体无危害,校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室喷洒完成后,一班学生能否进入教室
解:(1)设完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要x min和
y min.
根据题意,得解得
故校医完成1间办公室和1间教室的药物喷洒分别需要3 min和
5 min.
(2)1间教室的药物喷洒时间为5 min,则11间教室的药物喷洒时间为55 min.
当x=5时,y=2x=10,故点A(5,10).
设反比例函数的表达式为y=(k≠0),
将A(5,10)代入y=,得k=50,
∴反比例函数的表达式为y=.
当x=55时,y=<1,故一班学生能进入教室.
23.(12分) 综合与探究 定义:如图所示,在平面直角坐标系中,点P是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点P分别作x轴、y轴的垂线,若由点P、原点O、两个垂足A,B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时,则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”.
【尝试初探】
(1)点C(2,3) “美好点”(填“是”或“不是”);若点D(4,b)是第一象限内的一个“美好点”,则b= .
【深入探究】
(2)①若“美好点”E(m,6)(m>0)在双曲线y=(k≠0,且k为常数)上,求k的值;
②在①的条件下,F(2,n)在双曲线y=上,求S△EOF的值.
解:(1)不是 4
(2)①∵点E(m,6)(m>0)是“美好点”,
∴2(m+6)=6m,解得m=3,
∴点E(3,6).
把E(3,6)代入y=中,得6=,解得k=18.
②∵k=18,∴y=.
∵点F(2,n)在双曲线y=上,∴n==9,故点F(2,9).
过点F作FH⊥y轴于点H,交OE的延长线于点G.
设G(m,9),直线OE的表达式为y=kx.
根据题意,得6=3k,解得k=2,
∴直线OE的表达式为y=2x.
∵G(m,9)在直线y=2x上,
∴9=2m,解得m=,
∴G(,9),∴GF=-2=,
∴S△EOF=S△GOF-S△EGF=××9-××(9-6)=.
