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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 利用导数研究函数的极值 53.0(35.3%) 8,10,15,16,17
2 函数恒成立问题 11.0(7.3%) 11,14
3 奇偶函数图象的对称性 5.0(3.3%) 3
4 简单复合函数求导法则 31.0(20.7%) 1,8,19
5 函数的连续性 21.0(14.0%) 19
6 函数零点存在定理 5.0(3.3%) 7
7 函数的奇偶性 16.0(10.7%) 10,12,13
8 指数函数的图象与性质 6.0(4.0%) 11
9 函数极限 5.0(3.3%) 14
10 利用导数研究曲线上某点切线方程 5.0(3.3%) 4
11 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.3%) 7
12 利用导数研究函数的单调性 108.0(72.0%) 5,6,8,11,12,13,15,16,17,18,19
13 导数的几何意义 20.0(13.3%) 9,15
14 拉格朗日中值定理 21.0(14.0%) 19
15 基本初等函数导函数公式 10.0(6.7%) 1,2
16 极限及其运算 5.0(3.3%) 2
17 一元二次不等式及其解法 5.0(3.3%) 12
18 函数的图象 5.0(3.3%) 3
19 导数的四则运算 10.0(6.7%) 1,3
20 利用导数研究函数最大（小）值 74.0(49.3%) 11,14,16,17,18,19
21 不等式的证明 14.0(9.3%) 18
22 导数在最大值、最小值问题中的应用 5.0(3.3%) 7
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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】A：，A错误；
B：，B错误；
C：，C正确；
D：，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则，逐一分析每个选项的导数计算是否正确.常数、对数函数、幂函数、指数函数的求导公式，以及乘积法则、复合函数求导法则等.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：，把代入中，可得 ，而根据导数定义， ，所以该极限的值为 .
故答案为：B.
【分析】本题中其实就是函数在处的导数 ，接下来需要先求出函数的导函数，再将代入导函数求出的值 .
3．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以为偶函数且，
当时，则.
故答案为：A.
【分析】根据导数的运算性质结合奇函数和偶函数图象的对称性、三角函数值的正负性，从而运用排除法找出函数的导函数在区间上的大致图象.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由，
则，
，
所以在处切线的方程为，
则，
令，得；
令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线在处的切线方程，再结合赋值法得出切线与两坐标轴的交点，从而由三角形的面积公式得出切线与坐标轴围成的面积.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：易知，由题意可得：，
则，即，
令，易知函数在上单调递减，
求导可得，
当时，，即函数的单调递减区间为，
则，解得，则实数的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】易知，原式变形可得，即，构造函数，求导，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：当时，，
则，
所以，函数在上单调递增，
由题意可知，函数在上为增函数，
当时，为增函数，
则，
可得，且，
解得，
综上所述，.
故答案为：B.
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，从而判断出函数在上的单调性，再利用分段函数的单调性得出关于实数的不等式组，解不等式组得出实数a的取值范围.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，定义域，求导得，易知导函数在上是增函数，又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且，即，故，
故答案为：B.
【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：，
则，
令，解得，
令，解得，
因为，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，
所以，
若对任意的都有成立，则成立，
，
则，
当时，，在单调递增，
所以，
故，
即，舍去；
当时，
令，解得，
令，解得，
故在单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
综上所述，.
故选：B.
【分析】本题考查了函数的单调性和应用，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想。问题转化为即可，根据函数的单调性分别求出的最小值和的最大值，得到关于的不等式，解出即可。
9．【答案】A,C
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：，解得，
，
故点的坐标为和.
故答案为：AC.
【分析】求导，由题意列方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
10．【答案】A,C
【解析】【解答】解：A、当时，，则，
则，所以是奇函数，A正确.
B、由题意得，
令，解得或，
当，即时，在上，在上单调递增，
在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，B错误.
C、由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意，
当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减，
在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，C正确.
D、由B、C可知，当或都不在处取极大值，
当时，，易知在R上单调递增，无极大值，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题需对函数的性质（奇偶性、极值 ）进行分析，通过求导判断单调性，结合极值存在条件、奇偶性定义逐一验证选项.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】解：A中，由图可知：与交点，
与的交点，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，
故，，故A正确；
B中，由A知，故B错误；
C中，由知，则，设，，
则，则当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则，则恒成立，即，当时取等；
令，则有，因为，则，即，故C错误；
D中，设，，则，
则当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
则，即在上恒成立，
即在上恒成立，当时取等，
令，则，即，因为，则，则，
故，故D正确.
故选：AD.
【分析】结合图象和指、对函数之间的关系，可判断AB；利用切线不等式，可判断C；利用不等式，可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】解：函数定义域为，
且，则为偶函数，
，当时，令，
易知，即在上单调递增，
且，则在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，再求导，利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式求解即可.
13．【答案】8
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故填：.
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.
14．【答案】
【解析】【解答】解：由，
可得，
则恒成立，
令，
则不等式可化为：，
令，
则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
故要使恒成立，只需，
所以，
则，
令，
所以，
令，则，
所以时，，在上单调递增，
且当时，，当时，，在上单调递减，
且当时，，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题得出，令，再利用导数判断函数的单调性，再结合函数的极限得出函数的最值，最后由不等式恒成立问题得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线平行于直线，
所以，解得；
（2）解：由（1）可得，
令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故时函数取极大值，极大值为，时函数取极小值，极小值为.
【解析】【分析】（1）求导，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，根据导数与极值的关系列表求解即可.
（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为，极小值为.
16．【答案】（1）解：函数的定义域，，
由题意可得：，解得，
则，
令，解得或，令，解得，
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
故；
（2）解：由（1）得函数，，，
令，得，函数在单调递增，
令，得，函数在单调递减，
函数在处取极小值，则当时，的最小值为.
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
（1）由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
（2）由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
17．【答案】（1）解：定义域为，
，
令，解得或，
列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为；
（2）解：不等式，分离参数可得，
令，，
由，可得，由，可得，
则函数的增区间为，减区间为，且，
即，故实数的取值范围是.
【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值；
（2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得实数的取值范围.
（1），
该函数的定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
所以，，故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，
求导可得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
所以，
所以恒成立，
则原命题得证，即：当时，.
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导，分和判断导数的正负，判断函数的单调性，从而求其单调区间即可；
（2）要证明原不等式，只需，而由（1）再构造函数，利用导数可得函数的单调性，并求其最值，即可证明.
（1）定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，
所以，
所以恒成立，
∴原命题得证.，即：当时，.
19．【答案】（1）解：当时，则，因为为函数在上的“拉格朗日中值点，则，即，解得.
（2）证明：当时，不妨设，，，则，又，令，则，又，所以恒成立，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即最大值，所以，所以，由拉格朗日中值定理可知必存在使得，即，又，所以，即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于.
（3）证明：当时，由拉格朗日中值定理知，存在和，使得，，所以只需证明，即证明在上单调递减，又，令，则，令，则，当时，令，，则，则在上单调递增，又，，所以存在使得，所以当时，则，即单调递增，当时，则，即单调递减，所以在处取得极大值，即最大值，所以
，所以，所以在上单调递减，即在上单调递减，命题得证.
【解析】【分析】（1）先代入、化简函数，再求导，利用拉格朗日中值定理列方程求解.
（2）通过设两点，将斜率表示为导数形式，求导后构造新函数，利用单调性求最值证明.
（3）构造新函数，通过求导判断单调性来证明斜率的大小关系.
（1）当时，则，
因为为函数在上的“拉格朗日中值点，
则，
即，解得
（2）当时，
不妨设，，，则，
又，令，
则，
又，所以恒成立，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以，所以，
由拉格朗日中值定理可知必存在使得，
即，又，所以，
即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
（3）当时，
由拉格朗日中值定理知，存在和，
使得，，
所以只需证明，即证明在上单调递减，
又，
令，
则，
令，
则，
当时，
令，，则，则在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
所以当时，则，即单调递增，
当时，则，即单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以
，
所以，所以在上单调递减，
即在上单调递减，命题得证.
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一轮复习——一元函数的导数及其应用测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．2
3．函数的导函数在区间上的图象大致为 ( )
A． B．
C． D．
4．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若对任意的且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则下面对函数的描述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
8．已知函数若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若有极小值0，则
C．若有极大值2，则
D．可能在处有极大值
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知函数，则不等式的解集为 .
13．已知函数，若，，且，则的最小值是
14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
16．已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
17．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明：.
19．微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下：
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
（1）若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
（2）若，求证：函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
（3）若，且，求证：.
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