2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一3.1椭圆 题型总结（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修一3.1椭圆 题型总结（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 521.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-21 22:09:58 | ||
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文档简介
3.1椭圆题型总结
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．2 C．7 D．6
【变式1.1】如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
【变式1.2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1.3】 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2.2】已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】 已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】经过、两点椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.3】与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】
【例4】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【变式4.3】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
【变式5.1】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【变式5.3】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例6】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.1】 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.2】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.3】 已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例7】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【变式7.1】 已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B．6 C． D．12
【变式7.2】 椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【变式7.3】 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.2】 设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.3】 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 根据椭圆的离心率求参数】
【例9】若椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式9.1】“”是“椭圆且离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式9.2】已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【变式9.3】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型10 椭圆中的最值问题】
【例10】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【变式10.1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式10.2】 已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式10.3】 已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 椭圆的实际应用问题】
【例11】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11.1】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11.2】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
【变式11.3】人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3.1椭圆题型总结答案
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．2 C．7 D．6
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义求解.
【解答过程】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，
得到另一个焦点的距离为.
故选：C.
【变式1.1】如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可.
【解答过程】根据题意可得，
椭圆的长轴长为，根据，得.
故选：D.
【变式1.2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得.
【解答过程】由可得：，则，
因，则，故.
故选：C.
【变式1.3】已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得.
【解答过程】依题意，，，而，则，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用方程中表示椭圆的特征列式求解.
【解答过程】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得，
所以m的取值范围是.
故选：B.
【变式2.1】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
【解答过程】由方程表示椭圆，可得，解得，
因为，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式2.2】已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助椭圆定义计算即可得.
【解答过程】由题意可得 ，解得或.
故选：B.
【变式2.3】“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【解答过程】方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程.
【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，
又，则，
所以椭圆方程为，
故选:B.
【变式3.1】已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可.
【解答过程】解：由题意，得，且焦点在x轴上，
则，
则椭圆的标准方程为
故选：D.
【变式3.2】经过、两点椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可.
【解答过程】设椭圆方程为（，，）
则，解得，
所以椭圆方程为.
故选：A.
【变式3.3】与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可知椭圆的焦点坐标为，，所以，又长轴长为，即，进而求出b的值，即可得到答案.
【解答过程】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．
故选：C．
【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】
【例4】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，结合椭圆的定义可求出结果.
【解答过程】解：：的圆心C为，半径，
点，，又的垂直平分线交于点M，
，
的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆，
，，
，，，
点M的轨迹方程是
故选：
【变式4.1】线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程.
【解答过程】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，
由题意可得，则，
所以，，所以，，
则，化简得，
故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式4.2】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【解题思路】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【解答过程】设点，则，，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式4.3】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用相关点法求动点轨迹方程.
【解答过程】由题意，设，，则，
因是线段的中点，
又因为点在曲线上，即，
故，即.
故选：A.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
【解题思路】根据椭圆的定义求解．
【解答过程】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，，
，所以的周长为.
故选：D.
【变式5.1】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，，，可得的面积.
【解答过程】在椭圆中，，，，
则，
点在上，，所以，
则.
故选：A.
【变式5.2】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【解题思路】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解.
【解答过程】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以，
所以点的纵坐标为，所以.
故选：C.
【变式5.3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【解题思路】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可.
【解答过程】因为为线段的垂直平分线，
根据对称性，，，
所以的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到的周长为 ．
故选：C.
【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例6】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据离心率公式以及长轴长，结合的关系即可求解.
【解答过程】设椭圆方程为，则，解得，
故椭圆方程为，
故选：A.
【变式6.1】已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可.
【解答过程】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
【变式6.2】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程.
【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，由得，
故，
所以该椭圆的方程为．
故选：D．
【变式6.3】已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可.
【解答过程】设焦点在轴上的椭圆：，
由已知得，即①，
又椭圆：的离心率为，所以②，
①②联立解得，，
所以椭圆的标准方程为.
故选：C.
【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例7】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【解题思路】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m．
【解答过程】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上，
得，则，得，解得，∴m的值为5，
故选：A．
【变式7.1】已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B．6 C． D．12
【解题思路】根据椭圆的标准方程以及其离心率的定义求出，再根据长轴长的定义可得答案.
【解答过程】由题意可知，解得，即，
所以椭圆长轴长为.
故选：C.
【变式7.2】椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【解题思路】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果.
【解答过程】椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
∴两个椭圆中只有焦距相等.
故选：C.
【变式7.3】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.
【解答过程】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，，
因为长轴长是短轴长的两倍，所以，
所以，得.
故选：D.
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，从而求出，代入离心率公式即可求解.
【解答过程】解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为．
故选：C.
【变式8.1】已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角形中两边之和大于第三边，即可求得结果.
【解答过程】记的另一个焦点为，由三角形的三边关系知，当且仅当三点共线时等号成立，
故的周长为，解得：，
故的离心率为，
故选：A.
【变式8.2】设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率.
【解答过程】依题意及椭圆的定义可知，
则，又，所以，
则离心率.
故选：D.
【变式8.3】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解.
【解答过程】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示：
则，，
椭圆上存在点，使得，则需，
则，显然，所以，
所以，所以，又，
所以，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：D.
【题型9 根据椭圆的离心率求参数】
【例9】若椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【解题思路】利用椭圆的标准方程，结合离心率的定义可以得出答案.
【解答过程】由题意得，
解得
故选：A.
【变式9.1】“”是“椭圆且离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据离心率求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若椭圆且离心率为，
当椭圆的焦点在轴时，则，解得；
当椭圆的焦点在轴时，则，解得；
所以由推得出“椭圆且离心率为”，故充分性成立；
由“椭圆且离心率为”推不出“”，故必要性不成立；
所以“” 是“椭圆且离心率为”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式9.2】已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【解题思路】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果.
【解答过程】根据椭圆方程可知，
当时，可得，所以离心率，
解得；
当时，可得，所以离心率，
解得，所以；
所以或4.
故选：C.
【变式9.3】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【解答过程】因为，
所以，，，则，可得，
，则，
因为，即，可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【题型10 椭圆中的最值问题】
【例10】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【解题思路】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
【解答过程】
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，
故选：C.
【变式10.1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【解答过程】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
【变式10.2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解.
【解答过程】因为曲线：可化为，为椭圆，
则，故椭圆左焦点，右焦点，
又圆：的圆心恰好是，则，
又在椭圆中，有，，
所以，
当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立.
故选：D.
【变式10.3】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解.
【解答过程】
由题意，为一个焦点，另一焦点为，且；
因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值；
由于，当三点共线时取等号；
所以的最大值为；
故选：D.
【题型11 椭圆的实际应用问题】
【例11】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.
【变式11.1】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.
【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
【变式11.2】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.
【解答过程】由题设知，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．
故选：C.
【变式11.3】人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意得，解出即可得出离心率.
【解答过程】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，
则由题意得，
解得，
所以该椭圆形轨道的离心率.
故选：A.
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．2 C．7 D．6
【变式1.1】如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
【变式1.2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1.3】 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2.2】已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2.3】“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】 已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】经过、两点椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.3】与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】
【例4】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.2】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【变式4.3】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
【变式5.1】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【变式5.3】 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例6】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.1】 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.2】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.3】 已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例7】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【变式7.1】 已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B．6 C． D．12
【变式7.2】 椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【变式7.3】 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.2】 设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.3】 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 根据椭圆的离心率求参数】
【例9】若椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式9.1】“”是“椭圆且离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式9.2】已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【变式9.3】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型10 椭圆中的最值问题】
【例10】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【变式10.1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式10.2】 已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式10.3】 已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 椭圆的实际应用问题】
【例11】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11.1】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式11.2】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
【变式11.3】人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3.1椭圆题型总结答案
【题型1 椭圆定义及辨析】
【例1】若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．2 C．7 D．6
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义求解.
【解答过程】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，
得到另一个焦点的距离为.
故选：C.
【变式1.1】如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ）
A．26 B．10 C．4 D．14
【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可.
【解答过程】根据题意可得，
椭圆的长轴长为，根据，得.
故选：D.
【变式1.2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得.
【解答过程】由可得：，则，
因，则，故.
故选：C.
【变式1.3】已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得.
【解答过程】依题意，，，而，则，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C.
【题型2 曲线方程与椭圆】
【例2】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用方程中表示椭圆的特征列式求解.
【解答过程】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得，
所以m的取值范围是.
故选：B.
【变式2.1】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
【解答过程】由方程表示椭圆，可得，解得，
因为，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式2.2】已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助椭圆定义计算即可得.
【解答过程】由题意可得 ，解得或.
故选：B.
【变式2.3】“”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【解答过程】方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
【题型3 椭圆方程的求解】
【例3】若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程.
【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，
又，则，
所以椭圆方程为，
故选:B.
【变式3.1】已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可.
【解答过程】解：由题意，得，且焦点在x轴上，
则，
则椭圆的标准方程为
故选：D.
【变式3.2】经过、两点椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可.
【解答过程】设椭圆方程为（，，）
则，解得，
所以椭圆方程为.
故选：A.
【变式3.3】与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可知椭圆的焦点坐标为，，所以，又长轴长为，即，进而求出b的值，即可得到答案.
【解答过程】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．
故选：C．
【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】
【例4】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，结合椭圆的定义可求出结果.
【解答过程】解：：的圆心C为，半径，
点，，又的垂直平分线交于点M，
，
的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆，
，，
，，，
点M的轨迹方程是
故选：
【变式4.1】线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程.
【解答过程】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，
由题意可得，则，
所以，，所以，，
则，化简得，
故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式4.2】已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【解题思路】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【解答过程】设点，则，，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：C.
【变式4.3】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用相关点法求动点轨迹方程.
【解答过程】由题意，设，，则，
因是线段的中点，
又因为点在曲线上，即，
故，即.
故选：A.
【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】
【例5】已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A．6 B．4 C． D．8
【解题思路】根据椭圆的定义求解．
【解答过程】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，，
，所以的周长为.
故选：D.
【变式5.1】已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，，，可得的面积.
【解答过程】在椭圆中，，，，
则，
点在上，，所以，
则.
故选：A.
【变式5.2】已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【解题思路】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解.
【解答过程】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以，
所以点的纵坐标为，所以.
故选：C.
【变式5.3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【解题思路】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可.
【解答过程】因为为线段的垂直平分线，
根据对称性，，，
所以的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到的周长为 ．
故选：C.
【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【例6】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据离心率公式以及长轴长，结合的关系即可求解.
【解答过程】设椭圆方程为，则，解得，
故椭圆方程为，
故选：A.
【变式6.1】已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可.
【解答过程】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
【变式6.2】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程.
【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，由得，
故，
所以该椭圆的方程为．
故选：D．
【变式6.3】已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可.
【解答过程】设焦点在轴上的椭圆：，
由已知得，即①，
又椭圆：的离心率为，所以②，
①②联立解得，，
所以椭圆的标准方程为.
故选：C.
【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【例7】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．8
【解题思路】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m．
【解答过程】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上，
得，则，得，解得，∴m的值为5，
故选：A．
【变式7.1】已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B．6 C． D．12
【解题思路】根据椭圆的标准方程以及其离心率的定义求出，再根据长轴长的定义可得答案.
【解答过程】由题意可知，解得，即，
所以椭圆长轴长为.
故选：C.
【变式7.2】椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【解题思路】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果.
【解答过程】椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
椭圆中，，即，，∴，
即长轴长，短轴长，焦距，离心率，
∴两个椭圆中只有焦距相等.
故选：C.
【变式7.3】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.
【解答过程】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，，
因为长轴长是短轴长的两倍，所以，
所以，得.
故选：D.
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，从而求出，代入离心率公式即可求解.
【解答过程】解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为．
故选：C.
【变式8.1】已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角形中两边之和大于第三边，即可求得结果.
【解答过程】记的另一个焦点为，由三角形的三边关系知，当且仅当三点共线时等号成立，
故的周长为，解得：，
故的离心率为，
故选：A.
【变式8.2】设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率.
【解答过程】依题意及椭圆的定义可知，
则，又，所以，
则离心率.
故选：D.
【变式8.3】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解.
【解答过程】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示：
则，，
椭圆上存在点，使得，则需，
则，显然，所以，
所以，所以，又，
所以，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：D.
【题型9 根据椭圆的离心率求参数】
【例9】若椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【解题思路】利用椭圆的标准方程，结合离心率的定义可以得出答案.
【解答过程】由题意得，
解得
故选：A.
【变式9.1】“”是“椭圆且离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据离心率求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若椭圆且离心率为，
当椭圆的焦点在轴时，则，解得；
当椭圆的焦点在轴时，则，解得；
所以由推得出“椭圆且离心率为”，故充分性成立；
由“椭圆且离心率为”推不出“”，故必要性不成立；
所以“” 是“椭圆且离心率为”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式9.2】已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【解题思路】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果.
【解答过程】根据椭圆方程可知，
当时，可得，所以离心率，
解得；
当时，可得，所以离心率，
解得，所以；
所以或4.
故选：C.
【变式9.3】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【解答过程】因为，
所以，，，则，可得，
，则，
因为，即，可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【题型10 椭圆中的最值问题】
【例10】已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【解题思路】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
【解答过程】
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，
故选：C.
【变式10.1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【解答过程】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
【变式10.2】已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解.
【解答过程】因为曲线：可化为，为椭圆，
则，故椭圆左焦点，右焦点，
又圆：的圆心恰好是，则，
又在椭圆中，有，，
所以，
当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立.
故选：D.
【变式10.3】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解.
【解答过程】
由题意，为一个焦点，另一焦点为，且；
因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值；
由于，当三点共线时取等号；
所以的最大值为；
故选：D.
【题型11 椭圆的实际应用问题】
【例11】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.
【变式11.1】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.
【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
【变式11.2】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.
【解答过程】由题设知，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．
故选：C.
【变式11.3】人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意得，解出即可得出离心率.
【解答过程】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，
则由题意得，
解得，
所以该椭圆形轨道的离心率.
故选：A.