2024-2025学年重庆市万州第三中学等多校联考高一下学期5月月考数学试题(含解析)

2024-2025学年重庆市万州第三中学等多校联考高一下学期5月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为
A. 2 B. C. D.
2.在四棱锥中，已知平面ABCD，底面ABCD是菱形，，则异面直线PB与CD所成的角为
A. B. C. D.
3.在中，点D在BC边上，且，则
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B. 若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若的标准差为4，则的标准差是8
5.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
6.我国在2024年的全国发电装机容量为亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是( )
A. 2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于
B. 2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦
C. 2024年我国火电发电装机容量超过新能源太阳能、风电、核电的发电装机容量
D. 若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的，则还要再建设的核电的发电装机容量为亿千瓦
7.如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面ABC，，，，则三棱锥外接球的表面积S为
A. B. C. D.
8.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则AB边上的高的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若，，，则三角形有两解
C. 若的面积，则
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
11.如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是
A. 该多面体的表面积为
B. 过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C. 设O为平面AQG截该多面体所得截面多边形内一点包括边界，则的取值范围为
D. 该多面体外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，且，则 .
13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 .
14.如图所示的正六边形ABCDEF，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形阴影部分绕着线段AF的中垂线l旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为 结果用表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求角B；
若，，求的面积.
16.本小题15分
如图，在直四棱柱中，底面ABCD是矩形，，E，F分别是棱AD，BC的中点.
证明：平面
证明：平面平面
17.本小题15分
已知平面向量，将的起点放在坐标原点O处，然后将按逆时针方向旋转得到的向量为，设向量，
若，求实数t的值；
将向量与的起点放在O处，，，若与的夹角为，求的面积.
18.本小题17分
2025年4月19日，全球首个“人形机器人”半程马拉松在北京举行，某机构调查了1000名观众，将这1000名观众对“人形机器人”的评分数据分成，六组，得到如图所示的频率分布直方图.
求频率分布直方图中评分的中位数；
已知评分在这两区间内数据的方差分别为，，且每组以该组的中间值作为该组的平均值，现将评分在这两区间内的数据合在一起得到一组新的数据，求这组新数据的方差结果用分数表示
19.本小题17分
如图，在三棱锥中，由AB，AC，AD三条射线所构成的图形被称为“三面角”，设，，，设二面角的平面角为，则有
已知三棱锥的所有棱长均为1，求二面角的余弦值.
设直线AD与平面ABC所成的角为，证明
若，，，，，求点A到平面BCD的距离.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由复数的实部与虚部之和为0，
得，即
故选：
2.【答案】C
【解析】解：因为，所以为异面直线PB与CD所成的角.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以
又，所以
故选：
3.【答案】B
【解析】解：如图，
故选：
4.【答案】D
【解析】解：对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误.
对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，可知，解得，B错误.
对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误.
对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16，
而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确.
故选：
5.【答案】B
【解析】解：向量在向量上的投影向量为
故选：
6.【答案】D
【解析】解：对于A：太阳能发电装机容量占，超过，则扇形圆心角大于，所以A错误；
对于B：2024年我国火电发电装机容量占，因为，所以B错误；
对于C：2024年我国火电发电装机容量占，新能源太阳能、风电、核电的发电装机容量占比和为，所以C错误；
对于D：还要再建设的核电的发电装机容量为亿千瓦，所以D正确.
故选：
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知在斜二测直观图中，，，
则，，，
由斜二测画法可得，在中，，，，
在三棱锥中，因为底面ABC，且，
所以可将三棱锥补成相邻的三条侧棱分别为6，4，8的长方体，
则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
因为长方体的体对角线即为外接球的直径，
则外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积
故选：
8.【答案】C
【解析】解：因为是锐角三角形，所以，解得
由正弦定理可得，则，
设AB边上的高为h，由，
得，
所以
由，得，可得
所以
即AB边上的高的取值范围为
故选：
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，若，，则或n与m异面，所以A错误.
对于B，若，，，，没有m，n是相交直线这个条件，不能得到，所以B错误.
对于C，由，得存在过直线m的平面与平面相交，令交线为c，则，而，，则，，因此，C正确.
对于D，若，，则，又，所以，D正确.
故选：
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由可得，从而，A正确；
对于B，由正弦定理，得，
又因为，所以，所以B只有唯一解，B错误；
对于C，因为，
所以，又，解得，C正确；
对于D，因为，
由正弦定理得，即，
所以或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，D正确.
故选：
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由，得正方体的棱长，
所以该多面体的表面积，A正确；
对于B，由平面的性质可知过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面是边长为的正六边形ABGPQE，其面积为，B正确；
对于C，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设点，且，，
则，，
所以，即，C错误；
对于D，由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，
即正方体体心，设为为，
外接球的半径为，
所以该多面体外接球的体积为，D正确.
故选：
12.【答案】1
【解析】解：因为，所以，则，从而
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：在中，由，可得
由正弦定理得即，可得
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：外部正六边形的边长为，
旋转得到的几何体是两个全等的圆台，
上底面半径为，下底面半径为，高为，
体积为，
内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，
圆锥的底面半径为，高为1cm，圆柱的底面半径为，高为，
内部的六边形旋转得到的几何体的体积为，
所以该几何体的体积为，
用密度为的材料去制造该几何体，
则该几何体的质量为
故答案为：
15.【答案】解：因为，
所以，
因为，所以
又，所以
由，得，
解得负解舍
所以的面积为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】证明：因为E，F分别是矩形ABCD的棱AD，BC的中点，
所以，，
则四边形BEDF是平行四边形，从而，
又平面，平面，
所以平面；
证明：在矩形ABCD中，因为，E，F分别是棱AD，BC的中点，
所以，，，
所以，
从而，即，
因为四棱柱是直四棱柱，
所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以，
因为，且平面，
所以平面
又平面，
所以平面平面

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：根据三角函数的定义知，，
所以，则，
所以，
，
所以，解得
由知，，
由，得，
整理得，解得或
当时，，，
；
当时，，，
综上所述，的面积为或

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由图可知，前3个小矩形对应的频率之和为，所以中位数为70分.
对应的平均数为65分，对应的平均数为85分，
因为评分在这两组数据对应的频率为，
所以可以求出整体的平均数为分，
故所求评分的方差

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：三棱锥的所有棱长均为1，
故，
由已知得；
证明：过点D作平面ABC的垂线，垂足为H，连接AH，则，
设，
在面ABC中，过点 H做于点T，连接DT，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
又，平面DHT，
所以平面DHT，
因为平面DHT，所以，
故，又，，
即，
所以①，
在三面角中，同理可得②，
由①得，从而，
由②得，
所以
，
所以，
所以
；
在中，由，得，
故，
在中，由，得，
故，
在中，由，得，
所以，从而
设直线DA与平面BCD所成的角为，
由知，
所以，
则点A到平面BCD的距离为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
第2页，共2页