2024-2025人教版（2019）高中数学选修一3.2 双曲线 题型总结（含解析）

3.2双曲线题型总结
【题型1 双曲线定义及辨析】
【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【变式1.1】 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）.
A．9 B．1 C．1或9 D．2
【变式1.2】已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.1】“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2.2】关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
【变式2.3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式3.2】已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.3】已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.1】已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.2】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4.3】已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】
【例5】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式5.1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式5.2】已知是双曲线上的点，是其左 右焦点，且.若的面积为18，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式5.3】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例6】已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6.1】已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式6.2】已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6.3】与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 双曲线的渐近线方程】
【例7】双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7.1】已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7.2】若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7.3】已知双曲线（，）的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例8】双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【变式8.2】已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式8.3】已知点是双曲线的左 右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 双曲线中的最值问题】
【例9】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9.1】已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ 　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式9.2】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【变式9.3】 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【题型10 双曲线的实际应用问题】
【例10】临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（ ）
A． B． C． D．
【变式10.1】相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10.2】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ）
A．3米 B．米 C．米 D．米
【变式10.3】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

B．18cm C． D．
3.2双曲线题型总结答案
【题型1 双曲线定义及辨析】
【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解.
【解答过程】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
【变式1.1】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）.
A．9 B．1 C．1或9 D．2
【解题思路】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.
【解答过程】因为，所以，
所以，解得，
根据双曲线定义可得，
所以，解得或，
当时，不合题意，故舍去，
当时，，满足题意，
综上，.
故选：A.
【变式1.2】已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由双曲线定义，即可得解.
【解答过程】由可得，即；
再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为.
故选：B.
【变式1.3】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】由双曲线的定义即可求解.
【解答过程】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左 右焦点，
所以，故，
由于，
所以.
故选：B.
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解.
【解答过程】由双曲线的焦点在x轴上，
可得，即m的范围为，故选：D.
【变式2.1】“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2.2】关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
【解题思路】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项.
【解答过程】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确；
对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确；
对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误；
对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C.
【变式2.3】对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线
C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上
【解题思路】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项.
【解答过程】对A，当，即时，曲线的方程为，
此时曲线为两条平行的直线，故A错误；对B，若为负角，即，则，
此时曲线为双曲线，故B正确；对C，若为正角，即，当时，，
则曲线的方程为1，是圆，故C错误；
对D，若为椭圆，则，又可变形为，
则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．故选：B．
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【解答过程】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为. 故选：A.
【变式3.1】已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解.
【解答过程】设双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：A.
【变式3.2】已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先确定，的值，再根据焦点所在位置直接写出双曲线的标准方程.
【解答过程】由已知：，，故，由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：. 故选：B.
【变式3.3】已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程.
【解答过程】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可.
【解答过程】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，所以,
所以，点的轨迹为双曲线的右支.
设双曲线的方程为，则，，，
所以，点的轨迹方程为. 故选：D.
【变式4.1】已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得.
【解答过程】设点，则，
化简即得：，即点的轨迹方程为：. 故选：B.
【变式4.2】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用直接法求解.
【解答过程】解：由题意可得，化简得．故选：B.
【变式4.3】已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【解答过程】圆 ，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C.
【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】
【例5】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解．
【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，
则，， 又，
则，即，
即， 即的面积是，故选：
【变式5.1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解.
【解答过程】因为，所以，即，
由双曲线定义可得，
所以，即，
又，所以，所以，解得.

故选：C.
【变式5.2】已知是双曲线上的点，是其左 右焦点，且.若的面积为18，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【解题思路】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值.
【解答过程】由得，
由勾股定理得，
由双曲线的定义得，
，
所以，
则的面积为，
，解得.
故选：C.
【变式5.3】设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先求出，，由椭圆、双曲线的定义求出，，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得.
【解答过程】由曲线：的方程可得 ，，
由椭圆的定义可得．
又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上，
双曲线的定义可得．，，
在中，由余弦定理可得，
，
的面积为.

故选：A.
【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例6】已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由渐近线斜率结合点在双曲线上列出等式，求解即可.
【解答过程】由，可得渐近线方程为：，
所以，即，
又点在双曲线上，可得：，
联立解得：，
所以双曲线的方程为：，
故选：C.
【变式6.1】已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线的几何性质可得.
【解答过程】由题意可设双曲线的方程为，
由题意，，故，故双曲线的方程为，
故选：A.
【变式6.2】已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程.
【解答过程】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上，
且，又因为离心率为，
即，解得：，
又因为，所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【变式6.3】与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解
【解答过程】因为椭圆，焦点在x轴上，且，
又因为所为双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线，即
则，解得.
所以所求双曲线为.
故选：B.
【题型7 双曲线的渐近线方程】
【例7】双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由方程确定即可求解.
【解答过程】根据题意，，可知，
所以渐近线方程为：．
故选：A.
【变式7.1】已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线方程确定渐近线方程，结合已知求参数值即可.
【解答过程】由题设，则双曲线的渐近线为，即为，所以.
故选：C.
【变式7.2】若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设有得出参数关系，进而写出双曲线的渐近线方程.
【解答过程】由题设，则渐近线为.
故选：B.
【变式7.3】已知双曲线（，）的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程．
【解答过程】由得双曲线的渐近线方程为．
∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故选：D．
【题型8 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例8】双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出、的值，即可得出该双曲线的离心率的值.
【解答过程】在双曲线中，，，则，
故该双曲线的离心率为.
故选：D.
【变式8.1】若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【解题思路】首先根据题意判定双曲线的焦点所在的轴，由此设出双曲线的标准方程，然后根据渐近线方程得到双曲线基本量的关系，进而得到离心率.
【解答过程】因为，
所以点在两渐近线的右侧，
双曲线的中心在原点，焦点在轴上，
故可设双曲线的标准方程为，
渐近线方程为，
结合已知渐近线方程为得，
故双曲线的离心率.
故选：A.
【变式8.2】已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解题思路】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解．
【解答过程】由题意，双曲线渐近线方程为，
因为一条渐近线与直线平行，可得，
则，即双曲线的离心率为．
故选：C．
【变式8.3】已知点是双曲线的左 右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果.
【解答过程】设，则，即，
设双曲线的半焦距为，则
所以，
，
因为双曲线上的点坐标都满足，所以.
则有即，所以
故选：D.
【题型9 双曲线中的最值问题】
【例9】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可.
【解答过程】
由题知，，，所以，
设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上，
由双曲线的定义知，
所以,
当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式9.1】已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
【解题思路】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.
【解答过程】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
【变式9.2】已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值.
【解答过程】
由，得，，则，
则双曲线的两个焦点，，
又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径，
所以，，
则
，
即的最大值为．
故选：B.
【变式9.3】已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【解题思路】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标.
【解答过程】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当，，三点共线时等号成立.
而直线的方程为，由可得，所以，
所以点的坐标为.
所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为.
故选：D.
【题型10 双曲线的实际应用问题】
【例10】临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据横截面圆的最小半径得到的值，再根据离心率以及之间的关系得到双曲线的标准方程，最后将代入即可求得结果.
【解答过程】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则，
又双曲线的离心率为，所以，即，则，
所以，可得双曲线的方程为，
将代入可得，所以该彩陶摆件的高为，
故选：D.
【变式10.1】相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.
【解答过程】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
设为曲线上任一点，
则，
所以点的轨迹为双曲线的右支，且，，
，
点的轨迹方程为．
故选：B.
【变式10.2】如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ）
A．3米 B．米 C．米 D．米
【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断.
【解答过程】根据题意，，，故，解得，即，
则当水面宽度为米时，即时，解得，，
因此，拱顶M到水面的距离为.
故选：D.
【变式10.3】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A． B．18cm C． D．
【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，
设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为，
由双曲线的离心率为，得，则，
由喉部（中间最细处）的直径为，得，
所以双曲线的方程为，设点，
由，得，所以该塔筒的高为.
故选：D.