2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（三）（全国甲卷）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（三）（全国甲卷）
一．选择题（共8小题）
1．（2025 开封二模）将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（　　）
A．24 B．50 C．72 D．150
2．（2025 朝阳区校级一模）关于方程x2+xy+2y2＝4所表示的曲线，下列说法正确的是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于y＝x对称 D．关于原点中心对称
3．（2025 汕头一模）设a∈R，若函数在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣∞，3） D．
4．（2025 湘潭模拟）已知函数在区间上单调，则φ的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 和林格尔县校级一模）若P（2，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣13＝0与直线l2：a2x+b2y﹣m＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．3x﹣2y＝0 B．3x﹣2y﹣12＝0
C．2x﹣3y﹣13＝0 D．2x﹣3y+5＝0
6．（2025 浙江模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且为等差数列，若S3＝15，S4＝28，则a9＝（　　）
A．13 B．26 C．30 D．33
7．（2025 长安区校级模拟）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
8．（2025 张掖模拟）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（　　）
A．（2，6） B．（5，8） C．（8，12） D．（8，10）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 宿迁模拟）设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α∥β的是（　　）
A．m∥α，m∥β B．m⊥α，m⊥β C．γ∥α，γ∥β D．γ⊥α，γ⊥β
（多选）10．（2025 玉溪校级模拟）已知关于x的不等式（m+a）x2+（m﹣2b）x﹣1＞0（a＞0，b＞0）的解集为，则下列结论正确的是（　　）
A．2a+b＝1
B．的最大值为
C．的最小值为
D．a2+b2的最小值为
（多选）11．（2025春 昌江区校级期中）如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4π，△SAB是圆锥的一个轴截面，则（　　）
A．圆锥的母线长为4
B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
三．填空题（共3小题）
12．（2025 全国模拟）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 　 　 ．
13．（2025 望城区校级一模）将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则的值为 　 　 ．
14．（2025 古浪县模拟）设F1，F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与C在第一象限的部分交于点P，若△PF1F2为等腰三角形，则C的离心率为 　 　 ．
四．解答题（共6小题）
15．（2025 重庆校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+b＝0，bc．
（1）求cosC；
（2）若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADBπ，求CD的长．
16．（2025 下陆区校级模拟）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
（1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn；
①求Pn；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m的取值范围．
17．（2025 张掖模拟）已知函数，a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值点；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）在[1，e]上恒小于0，求a的取值范围．
18．（2025 枣庄校级模拟）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD为正方形，AB＝2，A1B1＝1，侧棱AA1⊥平面ABCD，且AA1＝2，E为CD中点．
（1）求证：A1E∥平面BCC1B1；
（2）求平面ABC1D1与平面BCC1B1所成角的余弦值；
（3）求E到平面ABC1D1的距离．
19．（2025 甘肃校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝2an+1，S4＝4（a3﹣1），n∈N*．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设其中k是正整数．
（i）求b1，b2，b3，b4；
（ii）求．
20．（2025 江西模拟）已知O为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为F1，F2，M为C上一动点，且当MF2⊥x轴时，．
（1）求C的标准方程；
（2）延长MF2交C于点D，若直线MD的斜率为k（k≠0），线段MD的中点为P，过F2作MD的垂线m，直线OP与m相交于点T．证明：点T在定直线上；
（3）过点M且与C相切的直线l交椭圆于A，B两点，射线MO交E于点N，探究△ABN的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（三）（全国甲卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B A D C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 开封二模）将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（　　）
A．24 B．50 C．72 D．150
【解答】解：可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有；
则不同分法为60+90＝150种．
故选：D．
2．（2025 朝阳区校级一模）关于方程x2+xy+2y2＝4所表示的曲线，下列说法正确的是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于y＝x对称 D．关于原点中心对称
【解答】解：对于A，将方程中y换为﹣y，则有x2+x（﹣y）+2（﹣y）2＝4，
则x2﹣xy+2y2＝4，与原方程不同，所以方程x2+xy+2y2＝4不关于x轴对称；所以A不正确；
对于B，将方程中x换为﹣x，则有（﹣x）2+（﹣x）y+2y2＝4，
则x2﹣xy+2y2＝4，与原方程不同，所以方程x2+xy+2y2＝4不关于y轴对称；所以B不正确；
对于C，将方程中x换为y，y换为x，则有y2+yx+2x2＝4，
与原方程不相同，所以方程x2+xy+2y2＝4不关于y＝x轴对称；所以C不正确；
对于D，将方程中x换为﹣x，y换为﹣y，则有（﹣x）2+（﹣x）（﹣y）+2y2＝4，
则x2+xy+2y2＝4，与原方程相同，所以方程x2+xy+2y2＝4关于原点中心对称．所以D正确．
故选：D．
3．（2025 汕头一模）设a∈R，若函数在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣∞，3） D．
【解答】解：由题意可得f'（x）＝2x2﹣ax+1，若函数f（x）在x∈（1，2）内存在极值点，
则f'（x）在（1，2）内有变号零点，
即ax＝2x2+1在（1，2）上有解，整理得在（1，2）上有解，
原题意等价于直线y＝a与在（1，2）内的图象有交点，
因为在（1，2）上单调递增，
则，
所以．
故选：B．
4．（2025 湘潭模拟）已知函数在区间上单调，则φ的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：函数在区间上单调，
因为，令t＝2x+φ，则，
因为，所以．
故原条件等价于已知函数y＝sint在区间上单调，
而函数y＝sint在区间上单调，所以，解得，
又因为，故．
故选：B．
5．（2025 和林格尔县校级一模）若P（2，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）的中点，又是直线l1：a1x+b1y﹣13＝0与直线l2：a2x+b2y﹣m＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．3x﹣2y＝0 B．3x﹣2y﹣12＝0
C．2x﹣3y﹣13＝0 D．2x﹣3y+5＝0
【解答】解：因为P（2，3）既是A（a1，b1），B（a2，b2）的中点，
所以，，所以a1+a2＝4，b1+b2＝6，
联立，两式相加得2（a1+a2）+3（b1+b2）﹣13﹣m＝0，
即2×4+3×6﹣13﹣m＝0，得m＝13，
点P是直线l1和l2的交点，所以，
所以点A（a1，b1），B（a2，b2）满足直线2x+3y﹣13＝0，
即直线AB方程为2x+3y﹣13＝0，
设线段AB的中垂线方程为3x﹣2y+c＝0，将点P（2，3）代入可得3×2﹣2×3+c＝0，
解得c＝0，
所以线段AB的中垂线方程为3x﹣2y＝0．
故选：A．
6．（2025 浙江模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且为等差数列，若S3＝15，S4＝28，则a9＝（　　）
A．13 B．26 C．30 D．33
【解答】解：因为为等差数列，若S3＝15，S4＝28，
所以7﹣5＝2，
所以2（n﹣3）＝5+2n﹣6＝2n﹣1，
所以Sn＝n（2n﹣1），
则a9＝S9﹣S8＝153﹣120＝33．
故选：D．
7．（2025 长安区校级模拟）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（　　）
A．2 B．8 C．9 D．18
【解答】解：点O是BC的中点，，，m＞0，n＞0，
由题意，，又M，O，N共线，则m+n＝2，
且m＞0，n＞0，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9．
故选：C．
8．（2025 张掖模拟）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（　　）
A．（2，6） B．（5，8） C．（8，12） D．（8，10）
【解答】解：过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为E，
则△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|＝|AB|+|AE|+4＝|BE|+4＝xB+5，
由，可得，
故3＜xB＜5，故△FAB的周长的取值范围为（8，10）．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 宿迁模拟）设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α∥β的是（　　）
A．m∥α，m∥β B．m⊥α，m⊥β C．γ∥α，γ∥β D．γ⊥α，γ⊥β
【解答】解：若m∥α，m∥β，则α∥β不一定成立，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，所以B选项正确；
若γ∥α，γ∥β，则α∥β，所以C选项正确；
若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β不一定成立，所以D选项错误．
故选：BC．
（多选）10．（2025 玉溪校级模拟）已知关于x的不等式（m+a）x2+（m﹣2b）x﹣1＞0（a＞0，b＞0）的解集为，则下列结论正确的是（　　）
A．2a+b＝1
B．的最大值为
C．的最小值为
D．a2+b2的最小值为
【解答】解：因为关于x的不等式（m+a）x2+（m﹣2b）x﹣1＞0（a＞0，b＞0）的解集为，
所以﹣1和为方程（m+a）x2+（m﹣2b）x﹣1＝0的两根，
所以，所以a+m＝2，2b﹣m＝﹣1，
所以a+2b＝1，故A错误；
对于B，因为a＞0，b＞0，由A选项分析，a+2b＝1，
设，由于，
故，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，因为a+2b＝1，
所以
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，
当且仅当时取等号，故最小值为，D错误．
故选：BC．
（多选）11．（2025春 昌江区校级期中）如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4π，△SAB是圆锥的一个轴截面，则（　　）
A．圆锥的母线长为4
B．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
C．由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为
D．该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
【解答】解：圆锥的侧面展开图如图所示：
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
圆锥SO的侧面积为πrl＝4π，∴l＝4，∴选项A正确；
圆锥SO的侧面展开图的圆心角α，∴选项B错误；
如上图，由A点出发绕圆锥侧面一周，
又回到A点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长AA'，
AA'l，∴选项C正确；
球与圆锥内切时，球的半径最大，
此时球心在轴SO上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面．
设内切球的半径为R，则圆锥的高为，
由等面积法得，解得R，∴选项D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 全国模拟）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 　　 ．
【解答】解：这8张卡片上的数字之和为1+2+3+4+5+6+7+8＝36，
要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和为18，
共有3种情况：3+7+8＝18，4+6+8＝18，5+6+7＝18，
从这8张卡片中随机抽出3张，共有56种情况，
所以所求概率为P．
故答案为：．
13．（2025 望城区校级一模）将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则的值为 　1　 ．
【解答】解：由已知得，
所以．
故答案为：1．
14．（2025 古浪县模拟）设F1，F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与C在第一象限的部分交于点P，若△PF1F2为等腰三角形，则C的离心率为 　　 ．
【解答】解：由F1，F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与C在第一象限的部分交于点P，若△PF1F2为等腰三角形，如图，
|PF1|﹣|PF2|＝2a，且|F1F2|＝|PF2|＝2c，∠F1F2P＝120°，
∴|PF1|＝2a+2c，则（2a+2c）2＝（2c）2+（2c）2﹣2×2c×2c×cos120°，
∴2c2﹣2ac﹣a2＝0，即2e2﹣2e﹣1＝0，可得（负值舍）．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
15．（2025 重庆校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+b＝0，bc．
（1）求cosC；
（2）若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADBπ，求CD的长．
【解答】解：（1）因为acosC+b＝0，
所以由余弦定理可得：，即a2+3b2﹣c2＝0，
因为，所以，即a2+3b2﹣8b2＝0，所以，
由余弦定理可得：；
（2）因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以，，，
因为D是BC上的点，且，所以，，
所以
，
在△ACD中，由正弦定理可得：，
所以．
16．（2025 下陆区校级模拟）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
（1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn；
①求Pn；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）设A4为“第4天中午选择米饭套餐”，
根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择，
因此样本空间包含2×2×2＝8个样本点，
若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择，
即事件A4中包含2×1＝2个样本点，
所以；
（2）①设An为“第n天选择米饭套餐”，Bn为“第n天选择面食套餐”， n为“第n天选择西餐套餐”
根据题意P（An+1|An）＝0，，，P（A1）＝1，
由全概率公式得：
Pn+1＝P（An+1）＝P（An+1|An） P（An）+P（An+1|Bn） P（Bn）+P（An+1| n） P（ n），
所以，
又因为P（An）+P（Bn）+P（ n）＝1
所以Pn+1[P（Bn）+P（ n）][1﹣P（An）]P（An），
因此，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以Pn，
所以，
②由①知，
当n为大于1的奇数时，，
当n为正偶数时，，
因此，当n≥2时，，
即m的取值范围为[，+∞）．
17．（2025 张掖模拟）已知函数，a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的极值点；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）在[1，e]上恒小于0，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，，定义域为（0，+∞）．
，
令f′（x）＝0，得x＝1，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）在x＝1时取得极大值，无极小值．
所以f（x）的极大值点是x＝1，无极小值点．
（2），则，x＞0，
当a＞0时，，
，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a≤0时，恒成立，函数单调递减．
综上：当a≤0时，函数单调递减；当a＞0时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（3）函数f（x）在[1，e]上恒小于0，等价于f（x）max≤0．
由（2）知，当a≤0时，函数单调递减，故恒成立，故a≤0符合题意；
当a＞0时，若，即0＜a≤1，函数在[1，e]上单调递减，
故，成立，故0＜a≤1符合题意；
若，即1＜a＜e2，函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，解得0＜a＜e，故1＜a＜e；
若，即a≥e2，函数在[1，e]上单调递增，
故，解得，故无解．
综上所述：a∈（﹣∞，e）．
18．（2025 枣庄校级模拟）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，下底面ABCD为正方形，AB＝2，A1B1＝1，侧棱AA1⊥平面ABCD，且AA1＝2，E为CD中点．
（1）求证：A1E∥平面BCC1B1；
（2）求平面ABC1D1与平面BCC1B1所成角的余弦值；
（3）求E到平面ABC1D1的距离．
【解答】解：（1）证明：由于A1B1∥AB，CE∥AB，
故CE∥A1B1，
而，
故四边形CEA1B1是平行四边形，
所以A1E∥B1C，
而B1C 平面BCC1B1，A1E 平面BCC1B1，
所以A1E∥平面BCC1B1；
（2）如图所示，以A1为原点，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），D1（0，1，0），B（2，0，2），B1（0，0，1），C1（0，1，1），
，
设平面ABC1D1与平面BCC1B1的法向量分别是和，
则，有和，有，
即，，
从而r＝v＝0，2p＝q，2u+w＝0．
故我们可取，，
而，
故平面ABC1D1与平面BCC1B1所成角的余弦值是．
（3）设E到平面ABC1D1的距离为L，由于，
而，
故，
所以．
所以E到平面ABC1D1的距离为．
19．（2025 甘肃校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝2an+1，S4＝4（a3﹣1），n∈N*．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设其中k是正整数．
（i）求b1，b2，b3，b4；
（ii）求．
【解答】解：（1）由等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n＝2an+1，S4＝4（a3﹣1），n∈N*，
由等差数列的通项公式与求和公式，可得，解得，
∴{an}的通项公式为an＝2n﹣1．
（2）（i）∵其中k是正整数，
∴b1＝1，b2＝b1+1＝2，b3＝2，b4＝b3+2＝4．
（ii）
．
＝3（1+2+3+…+2n﹣1）3（2n﹣2+22n﹣3）．
20．（2025 江西模拟）已知O为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为F1，F2，M为C上一动点，且当MF2⊥x轴时，．
（1）求C的标准方程；
（2）延长MF2交C于点D，若直线MD的斜率为k（k≠0），线段MD的中点为P，过F2作MD的垂线m，直线OP与m相交于点T．证明：点T在定直线上；
（3）过点M且与C相切的直线l交椭圆于A，B两点，射线MO交E于点N，探究△ABN的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆C的短轴长为2，
∴b＝1，
又MF2⊥x轴，
∴，
∴a＝2，
∴C的标准方程为．
（2）证明：设MD的中点为P（x′，y′），直线MD的方程为，
联立，化简得，
所以，
代入直线MD的方程得，
∴点P的坐标为，
∴直线OP的方程为，
由题意直线m的方程为，
联立，解得即，
∴点T在定直线上．
（3）解：①当直线l的斜率不存在时，l：x＝±2，
由对称性，不妨令x＝2，则M（2，0），
此时，
由题可得N（﹣4，0），|MN|＝6，
故．
②当直线l的斜率为0时，l：y＝±1，
由对称性，不妨令y＝1，则M（0，1），
此时，
由题可得N（0，﹣2），|MN|＝3，
故．
③当直线l的斜率存在且不为0时，设M（x0，y0），l：y＝kx+m．
联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
∴Δ＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0得4k2+1＝m2，①
∴，
∴，则直线MO的方程为，
联立，得（1+4k2）x2＝64k2，
∴，
∴，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故xN＝﹣2x0．即S△ABN＝3S△AOB，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程，
可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，Δ＞0，
则有，
所以|x1﹣x2|，
将①代入得，
由直线y＝kx+m与y轴交于（0，m），
则，
故．
综上所述，△ABN的面积为定值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)