2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（一）（全国甲卷）（含解析）

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2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（一）（全国甲卷）
一．选择题（共8小题）
1．（2025 保定三模）设集合，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤1} C．{x|x≤﹣3} D．{x|﹣1≤x≤3}
2．（2025 保定三模）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（　　）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
3．（2025 怒江州校级一模）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，若f（aex）+f（1﹣x）＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 吉林四模）已知z＝（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
5．（2025 湖南模拟）已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在C上，且|MF|＝6，则点M到y轴的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．
6．（2025 河北模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x满足恒成立，则当时，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025 北海四模）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．16
8．（2025 枣庄模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 泰州模拟）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回．则下列说法正确的是（　　）
A．第二次摸出红球的概率为
B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为
C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为
D．第三次摸出黄球的概率为
（多选）10．（2025 腾冲市校级三模）已知椭圆的焦点分别为F1，F2，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△F1PF2的周长为3
C．∠F1PF2不可能是直角
D．当∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积为
（多选）11．（2025 石家庄模拟）已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列为递减数列
B．当且仅当n＝5时，Sn取得最大值
C．an＝﹣2n+12
D．是等比数列
三．填空题（共3小题）
12．（2025 静安区二模）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则P（B|A）的值为 　 　 ．
13．（2025 沈阳三模）已知函数，则的值等于 　 　 ．
14．（2025 安顺校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝105°，则C的离心率e＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 沈阳三模）已知数列{an}中，a1＝3，a3＝15，且数列为等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列的前n项和，证明：．
16．（2025 安源区模拟）甲、乙2人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b＞N，乙赢，结束游戏，否则，甲结束抽牌，换乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记b＝0，换乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为多少时，甲选择②赢得游戏的概率更大？
（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列{an}的通项公式为an＝n2，则{an}的前n项和Sn．
17．（2025 滨海县校级模拟）已知函数f（x）＝x+lnx．
（Ⅰ）记f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝g（x），证明：当x＞0时，f（x）≤g（x）4x+1；
（Ⅱ）若当x＞1时，xf（x）﹣x2＞（a﹣2）x﹣a，求实数a的最大整数值．
18．（2025 滨海县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O，M，N分别为棱AD，PC，PD的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，四边形ABCD是边长为4的正方形．
（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值．
19．（2025 延平区校级模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，左、右顶点分别为A，B，且E上存在点P，使得直线PA与PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求E的方程．
（Ⅱ）过点F作直线l1交E于G，H两点（与A，B均不重合），过原点O作直线l1的平行线l2交E于M，N两点，是否存在常数λ，使得|MN|2＝λ|GH|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（一）（全国甲卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A C B C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 保定三模）设集合，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤1} C．{x|x≤﹣3} D．{x|﹣1≤x≤3}
【解答】解：因为集合，，
所以A∩B＝{x|x≤﹣3}．
故选：C．
2．（2025 保定三模）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（　　）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
【解答】解：因为这组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，
所以中位数为，
由6×60%＝3.6，得这组数据的第60百分位数为a，
所以，解得a＝6．
所以这组数据的平均数为．
故选：A．
3．（2025 怒江州校级一模）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，若f（aex）+f（1﹣x）＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，其定义域为R，
又由f（﹣x）＝e﹣x﹣ex﹣2sin（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）为R上的奇函数．
又因为，
所以f（x）在R上单调递增．
又f（aex）+f（1﹣x）＞0恒成立，
所以f（aex）＞f（x﹣1），则aex＞x﹣1，
因此恒成立．
设，则，令g′（x）＝0，解得x＝2．
当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故g（x）max＝g（2），
因此，即a的取值范围为[，+∞）．
故选：C．
4．（2025 吉林四模）已知z＝（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
【解答】解：因为z是纯虚数，
所以，解得m＝1．
故选：A．
5．（2025 湖南模拟）已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在C上，且|MF|＝6，则点M到y轴的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．
【解答】解：由F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在C上，且|MF|＝6，
可得点M到C的准线x＝﹣2的距离为6，
所以点M到y轴的距离为6﹣2＝4．
故选：C．
6．（2025 河北模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x满足恒成立，则当时，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为恒成立，所以为f（x）的一条对称轴，
那么，所以，即a，
则，
由图可知，曲线y＝f（x）与y＝sinx的交点个数为4．
故选：B．
7．（2025 北海四模）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．16
【解答】解：因为内切球的体积为，所以可得内切球的半径为1，
设这个正四棱锥的高为h，则斜高为，
所以根据等体积法可得：
，解得h＝4，
所以这个正四棱锥的体积为．
故选：C．
8．（2025 枣庄模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，则异面直线AB与B1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，
因为∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，
所以2，22，
因为，
所以22+22+22+2×2﹣2×2﹣2×2＝8，
即，
且，
所以cos，，
又异面直线夹角的取值范围为（0，]，
所以异面直线AB与B1C所成角的余弦值为．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 泰州模拟）一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回．则下列说法正确的是（　　）
A．第二次摸出红球的概率为
B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为
C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为
D．第三次摸出黄球的概率为
【解答】解：对于A，因为每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回，
所以第二次摸出红球的概率为，故A正确；
对于B，第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为，故B正确；
对于C，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为，故C错误；
对于D，第三次摸出黄球的概率为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 腾冲市校级三模）已知椭圆的焦点分别为F1，F2，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△F1PF2的周长为3
C．∠F1PF2不可能是直角
D．当∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积为
【解答】解：对于A，由题意，焦距为 ，又，所以椭圆焦点必在x轴上，
由a2﹣4＝5 a＝3．
所以椭圆的离心率，故A正确；
对于B，根据椭圆的定义，△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|，故B错误；
对于C，如图：
取M（0，2）为椭圆的上顶点，
可得 （，﹣2） （，﹣2）＝﹣5+4＝﹣1＜0，
所以∠F1MF2为钝角，所以椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角，故C错误；
对于D，如图：
当∠F1PF2＝60°时，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，
则，
即，所以，
所以，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025 石家庄模拟）已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列为递减数列
B．当且仅当n＝5时，Sn取得最大值
C．an＝﹣2n+12
D．是等比数列
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和为，
则n+10，易得数列为递减数列，A正确；
当n＝1时，有a1＝S1＝10，
当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+12，
a1＝10符合该式，
故an＝﹣2n+12，C正确，
则数列212﹣2n，易得2﹣2，数列是等比数列，D正确；
同时，an＝﹣2n+12，易得1≤n≤5时，an＞0，n＝6时，an＝0，当n≥7时，an＜0，
故当n＝5或6时，Sn取得最大值，B错误．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 静安区二模）设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则P（B|A）的值为 　　 ．
【解答】解：根据题意，P（A），P（AB），
则P（B|A）．
故答案为：．
13．（2025 沈阳三模）已知函数，则的值等于 　﹣1　 ．
【解答】解：函数，
则，
故．
故答案为：﹣1．
14．（2025 安顺校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝105°，则C的离心率e＝ 　　 ．
【解答】解：如图，不妨P在第一象限，设PF1与y轴的交点为B，连接BF2，
∠PF1F2＝45°，可知BF2⊥PB，∠PF2F1＝105°，可得∠BF2P＝60°，|BF2|c，则|PF2|＝2，
|PB|，
|PF1|c，
可得，e．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 沈阳三模）已知数列{an}中，a1＝3，a3＝15，且数列为等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列的前n项和，证明：．
【解答】解：（1）由a1＝3，a3＝15，可得，，
又数列为等差数列，所以公差d1，
所以，
所以．
（2）证明：因为，
所以
，
因为n∈N*，所以，
故．
16．（2025 安源区模拟）甲、乙2人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b＞N，乙赢，结束游戏，否则，甲结束抽牌，换乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记b＝0，换乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为多少时，甲选择②赢得游戏的概率更大？
（结果用含N的式子表示）
参考公式：若数列{an}的通项公式为an＝n2，则{an}的前n项和Sn．
【解答】解：甲、乙2人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，
由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，
随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b＞N，乙赢，结束游戏，
否则，甲结束抽牌，换乙抽牌一次；
②直接结束抽牌，记b＝0，换乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．
（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，此时有2种情况；
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，N﹣2，此时有3种情况；
……；
依次类推，甲赢的情况共有．
故甲赢的概率为．
（2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，此时有2种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，N﹣2，此时有3种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为N﹣1，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，…，1，此时有N种情况．
以上有2+3+ +N种情况．
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．
第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，N﹣2，此时有3种情况；
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，N﹣2，N﹣3，此时有4种情况；
……
第2次抽到的纸牌上的数字为N﹣2，乙抽到的纸牌上的数字为N，N﹣1，…，1，此时有N种情况．
以上有3+4+ +N种情况．
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有4+5+ +N种；
……
甲第1次抽到的纸牌上的数字为N﹣2时，甲赢的情况有N﹣1+N种；
甲第1次抽到的纸牌上的数字为N﹣1时，甲赢的情况有N种．
甲赢的情况的总数为（2+3+ +N）+（3+4+ +N）+（4+5+ +N）+ +（N﹣1+N）+N
＝2+2×3+3×4+ +（N﹣1）N＝22﹣2+32﹣3+42﹣4+ +N2﹣N
＝22+32+42+ +N2﹣（2+3+4+ +N）
．
故甲赢的概率为．
（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字为a时，
若甲选择①，则甲赢的概率，
若甲选择②，则甲赢的概率．
令P2＞P1，即，
化简得a2+（2N+1）a﹣（N2+N）＞0，解得．
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于时，
甲选择②赢得游戏的概率更大．
17．（2025 滨海县校级模拟）已知函数f（x）＝x+lnx．
（Ⅰ）记f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝g（x），证明：当x＞0时，f（x）≤g（x）4x+1；
（Ⅱ）若当x＞1时，xf（x）﹣x2＞（a﹣2）x﹣a，求实数a的最大整数值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：易知f（x）的定义域为（0，+∞）且f（1）＝1，
可得，
此时f′（1）＝2，
所以g（x）＝2x﹣1，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）≤g（x），
设，
当x＞0时，，
所以，
综上所述，当x＞0时，；
（Ⅱ）若当x＞1时，xf（x）﹣x2＞（a﹣2）x﹣a，
可得，
设，函数定义域为（1，+∞），
可得，
设n（x）＝x﹣lnx﹣3，函数定义域为（1，+∞），
可得，n（x）单调递增，
又n（4）＝1﹣ln4＜0，n（5）＝2﹣ln5＞0，
所以 x0∈（4，5），使得n（x0）＝0，
即lnx0＝x0﹣3，
当x∈（1，x0）时，n（x）＜0，m′（x）＜0，m（x）单调递减；
当x∈（x，+∞）时，n（x）＞0，m′（x）＞0，m（x）在单调递增，
所以．
故a实数的最大整数值为4．
18．（2025 滨海县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O，M，N分别为棱AD，PC，PD的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，四边形ABCD是边长为4的正方形．
（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵O，M，N分别为棱AD，PC，PD的中点，
∴MN∥CD，ON∥PA．PA 平面PAB，ON 平面PAB，ON∥平面PAB，
∵CD∥AB，∴MN∥AB，又AB 平面PAB，MN 平面PAB，∴MN∥平面PAB，
∵MN∩ON＝N，
∴平面OMN∥平面PAB，
又OM 平面OMN，
∴OM∥平面PAB；
（Ⅱ）取BC的中点E，连接OE，则OE⊥AD，
∵PO⊥平面ABCD，AD，OE 平面ABCD，
∴PO⊥AD，PO⊥OE，
以O为原点，直线OE，OD，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），M（2，1，1），N（0，1，1），D（0，2，0），，，，
设平面OMN的法向量为（x1，y1，z1），
则即
令y1＝1，则（0，1，﹣1），
设平面OMD的一个法向量为，
则，
取平面OMD的一个法向量为（1，0，﹣2），
记平面OMN与平面OMD的夹角为θ，
则，
故平面OMN与平面OMD夹角的余弦值为．
19．（2025 延平区校级模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，左、右顶点分别为A，B，且E上存在点P，使得直线PA与PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求E的方程．
（Ⅱ）过点F作直线l1交E于G，H两点（与A，B均不重合），过原点O作直线l1的平行线l2交E于M，N两点，是否存在常数λ，使得|MN|2＝λ|GH|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝4x的焦点（1，0），可得c＝1，a2﹣b2＝1，
设P（x，y），A（﹣a，0），B（a，0），可得kPAkPB ，
化为3x2+4y2＝3a2，
即为1，
可得a21，解得a＝2，
则E的方程为1；
（Ⅱ）设直线l1的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，
设G．H的纵坐标分别为y1，y2，y1+y2，y1y2，
可得|GH| ，
由l2：x＝my，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2＝12，解得y＝±，
则|MN| 2，即有|MN|2，
可得4，
所以存在常数λ＝4，使得|MN|2＝λ|GH|恒成立．
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