2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（二）（全国甲卷）（含解析）

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2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（二）（全国甲卷）
一．选择题（共8小题）
1．（2025 邢台一模）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，1，2}
2．（2025 永胜县校级二模）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
3．（2025 沧县校级模拟）已知向量，若，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．5
4．（2025 天津模拟）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1：V2＝（　　）
A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：1
5．（2025 武清区校级模拟）已知a，b是空间两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为（　　）
A．若α∥β，a α，b β，则a∥b
B．若a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．若α∩β＝a，γ∩β＝b，a∥b，则α∥γ
D．若α⊥β，a α，则a⊥β
6．（2025 山东模拟）通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量．当N（t*）＝0.9K时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时t*约为（　　）（ln9≈2.20）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2025 白银区校级二模）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），则的取值范围为（　　）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣∞，6） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]
8．（2025 山海关区模拟）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 保定三模）已知平面向量，与的夹角为θ，则（　　）
A．
B．
C．θ＝45°
D．在上的投影向量为
（多选）10．（2025 平度市模拟）如图，已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B所成角的正切值为，则（　　）
A．CP长度的最小值为
B．存在点P，使得AP⊥BC
C．存在点P，存在点Q∈B1C1，使得AP∥A1Q
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
（多选）11．（2025 延平区校级模拟）已知函数f（x）＝asin（sinx）+bcos（cosx）（ab≠0，x∈R），则下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．存在a，b，使得f（x）为奇函数
C．当a＝b＝1时， x0∈[0，π]，使得
D．当a＝b＝1时f（x）的最小值为cos1
三．填空题（共3小题）
12．（2025 沭阳县校级模拟）的展开式中x2y6的系数为 　 　 （用数字作答）．
13．（2025 河北模拟）秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）．某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为 　 　 平方厘米．
14．（2025 沧州二模）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 绵阳校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如图，已知，点D在边AC上，．
（1）求sin∠BDC；
（2）若sin∠ADB＝2sinA，求线段AD的长．
16．（2025 新余校级模拟）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且，求a的取值范围．
17．（2025 上海校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝CD，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：FG∥平面PCD；
（2）求点A到平面PGB的距离．
18．（2025 聊城一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组[90，100）的频数为10．
（1）求a的值和样本容量；
（2）估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5%，填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男
女
合计
附：，
P（χ2≥k） 0.05 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（2025 新余校级模拟）平面内的动点M（x，y）到一个定点F的距离和M到定直线l（F l）的距离的比是常数e，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点F称为其焦点，定直线l称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数e称为其离心率．当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．
（1）若方程m（x2+y2﹣4x+2y+5）＝（2x﹣y﹣3）2表示的二次曲线是椭圆，求m的取值范围；
（2）已知椭圆的右焦点为F，点A（1，1），试在椭圆上求一点M，使2|MA|+3|MF|的值最小，并求这个最小值．
（3）双曲线C的右焦点F2（1，0），左准线x＝﹣a2，其中a＞0，过F2作直线l与双曲线右支交于A，B两点，线段AB的中点为P，且2|OP|＞|AB|，求该双曲线的实轴长的取值范围．
2026届高三数学上学期一轮模拟测试卷（二）（全国甲卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A B C D C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ACD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 邢台一模）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{1，2} D．{﹣1，1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣4＜0}＝（﹣2，2），
所以A∩B＝{﹣1，1}．
故选：B．
2．（2025 永胜县校级二模）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB，
所以由余弦定理得：，
因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°．
故选：A．
3．（2025 沧县校级模拟）已知向量，若，则a＝（　　）
A． B．4 C． D．5
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
即2（a﹣2）﹣3＝0，解得．
故选：A．
4．（2025 天津模拟）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1：V2＝（　　）
A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：1
【解答】解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1＝V1；
VBCFE﹣B1C1＝V2；总体积为：V
计算体积：
V1h（s1+s）①
V＝sh ②
V2＝V﹣V1③
由题意可知，s1④
根据①②③④解方程可得：V1sh，V2sh；则
故选：A．
5．（2025 武清区校级模拟）已知a，b是空间两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为（　　）
A．若α∥β，a α，b β，则a∥b
B．若a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．若α∩β＝a，γ∩β＝b，a∥b，则α∥γ
D．若α⊥β，a α，则a⊥β
【解答】解：若α∥β，a α，b β，则a∥b或a与b异面，所以A选项错误；
若a∥α，则a必平行α内某条直线，又a⊥β，则该直线也垂直β，则α⊥β，所以B选项正确；
若α∩β＝a，γ∩β＝b，a∥b，则α与γ可以成任意角，所以C选项错误；
若α⊥β，a α，则a与β可以成任意角，所以D选项错误．
故选：B．
6．（2025 山东模拟）通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量．当N（t*）＝0.9K时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时t*约为（　　）（ln9≈2.20）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：∵由题意可得，0.9K，
∴，即ln9≈﹣2.2，解得t*≈11．
故选：C．
7．（2025 白银区校级二模）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），则的取值范围为（　　）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣∞，6） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]
【解答】解：ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），
可知1和﹣4是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，
由韦达定理可得，即可得b＝3a，c＝﹣4a，
所以．
当且仅当时，即时等号成立；
即可得．
故选：D．
8．（2025 山海关区模拟）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，可知PF的倾斜角为120°，
，从而，所以|PQ|．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 保定三模）已知平面向量，与的夹角为θ，则（　　）
A．
B．
C．θ＝45°
D．在上的投影向量为
【解答】解：根据题意，平面向量，
依次分析选项：
对于A，向量，因为不会成立，则与不共线，故A不正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，因为，θ∈[0，π]，所以，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D不正确．
故选：BC．
（多选）10．（2025 平度市模拟）如图，已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B所成角的正切值为，则（　　）
A．CP长度的最小值为
B．存在点P，使得AP⊥BC
C．存在点P，存在点Q∈B1C1，使得AP∥A1Q
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
【解答】解：依题意，延长正三棱台侧棱相交于点O，取B1C1中点D，BC中点E，连接AD，DE，AE，如图，
则有OA＝OB＝OC，∴DE的延长线过点O，且DE⊥B1C1，DE⊥BC，
过D作DF∥C1C，DG∥B1B，则四边形DFCC1是边长为1的菱形，
在△OBC中，，∴，
解得OC1＝2，∴OC＝OC1+C1C＝2+1＝3，
∴△OBC是边长为3的等边三角形，
∴∠DFE＝∠FDC1＝∠OCB，OE，
∴DE＝DF×sin1，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，且E为BC中点，
∴AE，BC⊥AE，
在△OAE中，由余弦定理得cos∠OEA，
在△ADE中，由余弦定理得cos∠DEA，
解得AD，∴AE2＝DE2+AD2，∴AD⊥DE，
∵BC⊥AE，BC⊥OE，AE∩OE＝E，∴BC⊥平面AOE，
∵AD 平面AOE，∴BC⊥AD，
由BC⊥AD，AD⊥DE，BC∩DE＝E，可得AD⊥平面BCC1B1，
∵AP与平面BCC1B1所成角的正切值为，
∴，解得DP＝1，AP，
∴点P在平面BCC1B1的轨迹为，，
对于A，当点P运动到DC与的交点时，CP有最小值，
∵四边形DFCC1是边长为1，且∠FDC1的菱形，
∴DC，∴CP＝DC﹣DP1，故A正确；
对于B，要使得AP⊥BC，由点P必须落在平面ADE与平面BCC1B1的交线上，且DP＝1，
由题意得，在平面BCC1D1上不存在这样的点P，故B错误；
对于C，当点P运动到点F时，连接AF，OF，OF∩B1C1于点Q，
连接A1Q，∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴AF∥平面A1B1C1，
又AF 平面AFO，平面AFO∩平面A1B1C1＝A1Q，∴AF∥A1Q，
∴存在点P，存在点Q∈B1C1，使得AP∥A1Q，故C正确；
对于D，设的长度为l，则l＝|∠FDC1|×|DP|，
动线段AP形成的曲面那高两个面积相等扇形，设其中一个扇形的面积为S，
则S，
∴所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为2S＝2，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（2025 延平区校级模拟）已知函数f（x）＝asin（sinx）+bcos（cosx）（ab≠0，x∈R），则下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．存在a，b，使得f（x）为奇函数
C．当a＝b＝1时， x0∈[0，π]，使得
D．当a＝b＝1时f（x）的最小值为cos1
【解答】解：对于A，f（3π﹣x）＝asin[sin（3π﹣x）]+bcos[cos（3π﹣x）]＝asin（sinx）+bcos（cosx）＝f（x），故A正确；
对于B，f（0）＝bcosl≠0，所以f（x）不可能为奇函数，故B错误；
对于C，当a＝b＝1时，，
当x∈[0，π]时，cosx∈[﹣1，1]，sinx∈[0，1]，
因为，
所以，所以，
所以，cos（sinx）﹣sin（cosx）＞0，故C错误；
对于D，a＝b＝1时，f（0）＝cosl，，
由于，，
所以，故D错误．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 沭阳县校级模拟）的展开式中x2y6的系数为 　﹣28　 （用数字作答）．
【解答】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为，
的展开式中x2y6的系数为﹣28．
故答案为：﹣28．
13．（2025 河北模拟）秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）．某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为 　580π　 平方厘米．
【解答】解：如图，画出圆台的轴截面，
因为陶量高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，
则O1O2＝10，O1A＝12，O2B＝8，
由题意可知，球心O在O1O2上，
设OA＝OB＝R，OO1＝x，
所以R2＝122+x2＝82+（10﹣x）2，
解得x＝1，R2＝145，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝580π．
故答案为：580π．
14．（2025 沧州二模）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 　　 ．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2，则∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为4c2＝4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为4c2＝4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1）（）＝（）2
故答案为：
四．解答题（共5小题）
15．（2025 绵阳校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如图，已知，点D在边AC上，．
（1）求sin∠BDC；
（2）若sin∠ADB＝2sinA，求线段AD的长．
【解答】解：（1）由题意，，
由正弦定理可得，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得，
又C∈（0，π），所以，
在△BCD中，由正弦定理可得，又，
所以；
（2）在△ADB中，由正弦定理可得，
又sin∠ADB＝2sinA，所以，
因为BD＞a，所以∠BDC为锐角，则∠ADB为钝角，
所以，
在△ADB中，由余弦定理可得c2＝AD2+BD2﹣2AD BD cos∠ADB，
即，
即AD2+4AD﹣21＝0，解得AD＝3（负值舍去），
故线段AD的长为3．
16．（2025 新余校级模拟）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）有极小值，且，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，，
则
所以，又f（2）＝3﹣ln2，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为．
（2）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），且，
当a≤0时，因为x＞0，所以f′（x）＞0，
此时y＝f（x）为单调递增函数，没有极小值，与题意不符；
当a＞0时，，
因为x＞0，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）有极小值为．
又，所以，即，
因为a＞0，所以2a2+lna﹣2≤0．
设h（a）＝2a2+lna﹣2，则，
所以h（a）＝2a2+lna﹣2在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝0，所以2a2+lna﹣2≤0的解集为（0，1]，即a的取值范围是（0，1]．
17．（2025 上海校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝CD，F，G分别是PB，AD的中点．
（1）求证：FG∥平面PCD；
（2）求点A到平面PGB的距离．
【解答】解：（1）证明：取PC的中点为Q，连接FQ，DQ，
因为在△PBC中，FQ为△PBC的中位线，
所以．
又因为在正方形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
所以FQ∥AD，且，
又因为G是AD的中点，所以，
所以GD∥FQ，且GD＝FQ，
所以四边形GDQF为平行四边形，所以GF∥DQ．
又因为DQ 平面PCD，GF 平面PCD，
所以GF∥平面PCD．
（2）连接PG，GB．
由题意，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面AGB，
所以PD为三棱锥P﹣ABG的高．
又因为BD 平面ABCD，所以PD⊥BD．
设点A到平面PGB的距离为h，
则有VP﹣ABG＝VA﹣PGB，所以，（*）
由题意知PD＝CD＝2，则，
因为F为PB的中点，所以GF⊥PB，
所以，
，
所以，，
代入（*）化简可得：，解得，
所以点A到平面PGB的距离为．
18．（2025 聊城一模）某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（即考试成绩不小于130分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组[90，100）的频数为10．
（1）求a的值和样本容量；
（2）估计所有参赛学生的平均成绩；
（3）假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5%，填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男
女
合计
附：，
P（χ2≥k） 0.05 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（0.01+0.01+0.025+a+0.015+0.005）×10＝1，
解得a＝0.035，
因为第一小组[90，100）的频数为10，
所以样本容量为；
（2）由题意，估计所有参赛学生的平均成绩为95×0.1+105×0.1+115×0.25+125×0.35+135×0.15+145×0.05＝120；
（3）因为样本容量为100，男生比女生多20人，
所以女生人数为，男生人数为100﹣40＝60，
因为女生的获奖率为12.5%，
所以女生中获奖人数为40×12.5%＝5，可得女生中未获奖人数为40﹣5＝35，
因为对考试成绩不小于130分的学生进行了奖励，成绩不小于130分的频率为0.15+0.05＝0.2，
所以样本中获奖总人数为0.2×100＝20人，
所以男生中获奖人数为20﹣5＝15人，可得男生中未获奖人数为60﹣15＝45，
可得2×2列联表：
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男 15 45 60
女 5 35 40
合计 20 80 100
零假设H0：男生与女生的获奖情况不存在差异，
则χ22.344＜6.635，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0成立，即男生与女生的获奖情况不存在差异．
19．（2025 新余校级模拟）平面内的动点M（x，y）到一个定点F的距离和M到定直线l（F l）的距离的比是常数e，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点F称为其焦点，定直线l称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数e称为其离心率．当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．
（1）若方程m（x2+y2﹣4x+2y+5）＝（2x﹣y﹣3）2表示的二次曲线是椭圆，求m的取值范围；
（2）已知椭圆的右焦点为F，点A（1，1），试在椭圆上求一点M，使2|MA|+3|MF|的值最小，并求这个最小值．
（3）双曲线C的右焦点F2（1，0），左准线x＝﹣a2，其中a＞0，过F2作直线l与双曲线右支交于A，B两点，线段AB的中点为P，且2|OP|＞|AB|，求该双曲线的实轴长的取值范围．
【解答】解：（1）因为方程m（x2+y2﹣4x+2y+5）＝（2x﹣y﹣3）2表示的是椭圆，
因此，即，
由圆锥曲线第二定义可得，即m＞5，故m的取值范围是（5，+∞）；
（2）设点M（xM，yM），
由椭圆方程得a＝3，，因此c＝2，
因此椭圆离心率为，右准线l为，
作MC⊥l于C，由椭圆第二定义，如图：
因此，
当且仅当M，C，A三点共线时，|MA|+|MC|取得最小值，最小值为点A到右准线的距离，
即2|MA|+3|MF|的最小值是7，
此时yM＝1，代入得，因此；
（3）由双曲线第二定义知双曲线方程为：，
设b2＝1﹣a2，因此双曲线方程为，
因为线段AB的中点为P，且2|OP|＞|AB|，因此O在以线段AB为直径的圆的外部，
因此∠AOB恒为锐角．
由于F2（1，0），故C的焦距为2，因此c＝1F2（1，0），
由于直线l的斜率不为零，可设其方程为x＝my+1，
结合b2＝1﹣a2（0＜a＜1），联立，
得[a2（m2+1）﹣m2]y2+2m（a2﹣1）y﹣（a2﹣1）2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．因此，
由于A，B两点均在C的右支上，得y1y2＜0，因此a2（m2+1）﹣m2＞0，即，
又
．
因为∠AOB恒为锐角，因此对任意的，均有，
又因为a2﹣1＜0，因此，
因此m2a2（1﹣a2）﹣a4+3a2﹣1＞0恒成立．
因为a2（1﹣a2）＞0，因此不等号左边是关于m2的增函数，因此只需m2＝0时，﹣a4+3a2﹣1＞0成立即可．
解得，结合0＜a＜1，可知a的取值范围是．
综上所述，双曲线C的实轴长的取值范围是．
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