期末重组复习卷（一）（含解析）-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册

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期末重组复习卷（一）-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤3} B．{x|x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣1≤x≤3}
2．（2025春 会泽县期末）已知命题p： x0＞1，使，其否定命题￢p为（　　）
A．￢p： x0＞1，使
B．￢p： x＞1，使|x2﹣1|≥0
C．￢p： x≤1，使|x2﹣1|≥0
D．￢p： x0≤1，使
3．（2024秋 丽江校级期末）函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 平和县校级期末）函数f（x）＝log3（x2﹣1）的定义域为（　　）
A．（﹣∞，1） B．R
C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
5．（2024秋 广州期末）函数f（x）lnx的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．（2024秋 镇江校级期末）函数是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1]
7．（2024秋 重庆校级期末）已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则的最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（2024秋 深圳校级期末）已知，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 福贡县期末）下列函数中有零点的是（　　）
A． B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝lnx+1 D．y＝ex+1
（多选）10．（2024秋 百色期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，则
C．若a＞b＞0且c＞0，则
D．
（多选）11．（2024秋 西安期末）已知ω＞0，，函数f（x）＝sinωxcosφ+cosωxsinφ，g（x）＝ωcos（ωx+φ），若，f（0）＜0，且函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值为，则（　　）
A．
B．
C．当时，f（x）＜g（x）
D．曲线y＝h（x）关于点对称
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 会泽县期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）经过点（2，4），则 　 　
13．（2024秋 东城区校级期末）若函数的最小正周期为，则的值是 　 　 ．
14．（2024秋 湖北期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 　 　 次．（lg2≈0.3010）
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 广东期末）（1）化简求值：；
（2）已知，求（a2+a﹣2+5）（a+a﹣1+3）．
16．（2025春 栖霞区校级期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
17．（2024秋 四川校级期末）已知函数f（x）＝ln|1+x|﹣ln|1﹣x|，函数．
（1）证明函数f（x）的奇偶性，并求f（ln（ln2））+f（ln（log2e））的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义法证明；
（3） x1，x2∈（0，+∞），使f（2x）在区间[x1，x2]上的值域为[g（x2），g（x1）]，求实数t的取值范围．
18．（2024秋 榆林期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示．
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x（x∈N*）年年末会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②y＝dlogrx+e（r＞0且r≠1）；③y＝tax+s（a＞0且a≠1）．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k 9x（k＞0）千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
19．（2024秋 苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边OA，OB分别与单位圆交于A，B两点，．
（1）若A的横坐标为，求的值；
（2）若sinα+sinβ，求tanα的值．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D B C B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC AB BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤3} B．{x|x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣1≤x≤3}
【解答】解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|x≤3}．
故选：A．
2．（2025春 会泽县期末）已知命题p： x0＞1，使，其否定命题￢p为（　　）
A．￢p： x0＞1，使
B．￢p： x＞1，使|x2﹣1|≥0
C．￢p： x≤1，使|x2﹣1|≥0
D．￢p： x0≤1，使
【解答】解：命题p： x0＞1，使的否定￢p： x＞1，使|x2﹣1|≥0．
故选：B．
3．（2024秋 丽江校级期末）函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，
因为f（﹣x）f（x），
所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C；
取x＝1，则f（1）0；
取x，则f（）0，排除选项B、D；
验证选项A满足题意．
故选：A．
4．（2024秋 平和县校级期末）函数f（x）＝log3（x2﹣1）的定义域为（　　）
A．（﹣∞，1） B．R
C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：f（x）＝log3（x2﹣1），
则x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．
故选：D．
5．（2024秋 广州期末）函数f（x）lnx的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），而在（0，+∞）为减函数，y＝lnx在（0，+∞）为增函数，
∴f（x）lnx在（0，+∞）为减函数，
又，
所以由零点存在性定理可知，函数f（x）在区间（1，2）有零点．
故选：B．
6．（2024秋 镇江校级期末）函数是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1]
【解答】解：因为函数是增函数，
所以，
解得a∈[﹣2，﹣1]．
故选：C．
7．（2024秋 重庆校级期末）已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则的最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：因为3x＞y＞0，
则
，
当且仅当2（3x﹣y）＝4x+6y，即时取等号，
此时的最小值为9．
故选：B．
8．（2024秋 深圳校级期末）已知，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由tanα+tanβ，
得，所以sin（α+β）cosαcosβ，
又sin（α+β）＝2cos（α﹣β），所以cosαcosβ＝2cos（α﹣β），
即cosαcosβ＝2cosαcosβ+sinαsinβ，
整理得cosαcosβ＝sinαsinβ，即tanαtanβ．
所以tan（α+β）1，
又0＜α＜π，0＜β＜π，所以α+β，α+β．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 福贡县期末）下列函数中有零点的是（　　）
A． B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝lnx+1 D．y＝ex+1
【解答】解：对于A，一次函数的零点为x＝﹣2，故该函数有零点，故A正确；
对于B，二次函数y＝x2﹣2x+1的零点为x＝1，故该函数有零点，故B正确；
对于C，y＝lnx+1的零点为，故该函数有零点，故C正确；
对于D，y＝ex+1＞1恒成立，所以y＝ex+1没有零点，故该函数没有零点，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（2024秋 百色期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，则
C．若a＞b＞0且c＞0，则
D．
【解答】解：A选项，当c＝0时，A选项为假命题；
B选项，当a＞0＞b时，，B选项为假命题；
C选项，若a＞b＞0且c＞0，则ac＞bc，所以ac+ab＞bc+ab，
所以，C选项为真命题，C选项错误；
D选项，因为a2+b2≥2ab，所以2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，
所以，当且仅当a＝b时取等号，D选项为真命题，D选项错误．
故选：AB．
（多选）11．（2024秋 西安期末）已知ω＞0，，函数f（x）＝sinωxcosφ+cosωxsinφ，g（x）＝ωcos（ωx+φ），若，f（0）＜0，且函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的最大值为，则（　　）
A．
B．
C．当时，f（x）＜g（x）
D．曲线y＝h（x）关于点对称
【解答】解：根据题意，f（x）＝sinωxcosφ+cosωxsinφ＝sin（ωx+φ），
则h（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin（ωx+φ）﹣ωcos（ωx+φ），
由ω＞0，得，
又，即，
由，得，A错误，B正确；
由于
，
当时，显然h（x）＜0，则f（x）＜g（x），故C正确；
又h（）＝0，
所以曲线y＝h（x）关于点对称，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 会泽县期末）已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）经过点（2，4），则 　﹣1　
【解答】解：∵指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）经过点（2，4），
∴由题设f（2）＝a2＝4且a＞0，a≠1，可得a＝2，
∴．
故答案为：﹣1．
13．（2024秋 东城区校级期末）若函数的最小正周期为，则的值是 　　 ．
【解答】解：由题意可得函数的周期Tπ，可得ω＝2，
所以函数的解析式为f（x）＝tan（2x），
可得f（）＝tan（2）＝tan．
故答案为：．
14．（2024秋 湖北期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 　5　 次．（lg2≈0.3010）
【解答】解：设喷洒x次，则：（1﹣0.8）x＜0.1%＝10﹣3，
∴xlg0.2＜﹣3，
∴x，且lg2≈0.3010，
∴4.3，
∴x≥5，即至少喷洒5次．
故答案为：5．
四．解答题（共5小题）
15．（2024秋 广东期末）（1）化简求值：；
（2）已知，求（a2+a﹣2+5）（a+a﹣1+3）．
【解答】解：（1）原式
，
（2），两边平方有a+a﹣1﹣2＝1，即a+a﹣1＝3，
两边平方有a2+a﹣2+2＝9，则a2+a﹣2＝7．
故（a2+a﹣2+5）（a+a﹣1+3）＝（7+5）（3+3）＝72．
16．（2025春 栖霞区校级期末）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}．
（1）求集合A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）不等式对一切实数x恒成立，
当k＝0时，，显然恒成立；
当k≠0时，则，解得﹣3＜k＜0．
综上，A＝（﹣3，0]．
（2）因为x∈A是x∈B的充分条件，
所以A B．
又B＝{x|x2﹣mx﹣3＜0}，即x2﹣mx﹣3＜0在（﹣3，0]上恒成立．
令f（x）＝x2﹣mx﹣3，
则 ，解得m≤﹣2，
所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
17．（2024秋 四川校级期末）已知函数f（x）＝ln|1+x|﹣ln|1﹣x|，函数．
（1）证明函数f（x）的奇偶性，并求f（ln（ln2））+f（ln（log2e））的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义法证明；
（3） x1，x2∈（0，+∞），使f（2x）在区间[x1，x2]上的值域为[g（x2），g（x1）]，求实数t的取值范围．
【解答】（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1且x≠1}，关于原点对称，
又f（x）＝ln|1+x|﹣ln|1﹣x|；f（﹣x）＝ln|1﹣x|﹣ln|1+x|＝﹣f（x），故f（x）为奇函数；
则f（ln（ln2））+f（﹣ln（ln2））＝0；
（2）函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，证明如下：
当x＞1时，，
设
由于（1+x1）（x2﹣1）＞0，（1+x2）（x1﹣1）＞0且x1x2﹣（x1﹣x2）﹣1＜x1x2+（x1﹣x2）﹣1，
故，则，
因此f（x1）﹣f（x2）＜0 f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
（3）根据题意， x1，x2∈（0，+∞），使f（2x）在区间[x1，x2]上的值域为[g（x2），g（x1）]，
∵x＞0，2x＞1，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，y＝2x为单调递增函数，
∴在（0，+∞）上单调递减，
∴f（2x）在[x1，x2]上的值域为[f（x2），f（x1）]，
∴，即，
整理得：，
即2t（2x）2+（t﹣2） 2x+（2﹣t）＝0在（0，+∞）内有两不等实根x1，x2，
令2x＝m，当x＞0时m＞1，则关于m的方程2tm2+（t﹣2） m+（2﹣t）＝0在m∈（1，+∞）内有两个不等实根，
整理得：，令，则，
故题设等价于函数与在x∈（0，+∞）有两个不同的交点，
由对勾函数性质知函数在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，且x＝1时，，如图，
∴函数在（0，1）上值域为．
∴，即．
18．（2024秋 榆林期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示．
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x（x∈N*）年年末会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①；②y＝dlogrx+e（r＞0且r≠1）；③y＝tax+s（a＞0且a≠1）．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k 9x（k＞0）千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
【解答】解：（1）某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加，
已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示：
建立平台第x年 1 2 3
会员人数y（千人） 22 34 70
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是ta+s＝22，ta2+s＝34，ta3+s＝70，解得a＝3，t＝2，s＝16，
所以函数模型对应的解析式为y＝2 3x+16（x∈N*），
当x＝4时，预测2024年年末的会员人数为2×34+16＝178千人；
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k 9x（k＞0）千人，
由（1）及已知得，对 x∈N*，都有2 3x+16≤k 9x，令t＝3x≥3，则，
令，则不等式右边等价于函数f（m）＝16m2+2m，
函数f（m）在区间上单调递增，因此，
则，所以k的最小值为．
19．（2024秋 苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边OA，OB分别与单位圆交于A，B两点，．
（1）若A的横坐标为，求的值；
（2）若sinα+sinβ，求tanα的值．
【解答】解：（1）由于点A横坐标为，且点A在单位圆上，因此，
由于，因此．
由于，因此，因此．
因此．
（2）由于，因此①，
根据，那么可得，
因此．
由于，因此sinα＞cosα，因此②，
联立①②得，，，
因此．
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