期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
文档属性
| 名称 | 期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 807.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-20 17:09:21 | ||
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文档简介
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期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）小冉同学近9次考试的数学成绩如下：72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
2．（2025春 会泽县期末）已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为（ ）
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．不确定
3．（2025春 金安区期末）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（ ）
A． B．2 C． D．5
4．（2025春 鄂尔多斯期末）已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（ ）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
5．（2025春 绿园区校级期末）如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 六枝特区校级期末）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
7．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A＝30°，b＝c，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春 浦东新区校级期末）若复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，则|z1 z2|与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法判定
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 会泽县期末）已知复数z＝1+i，z的共轭复数为，复数z在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ）
A．M在第一象限 B．
C．z2＝2 D．
（多选）10．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A． B． C． D．
（多选）11．（2024秋 辽宁期末）数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、中位数都是x3，则（ ）
A．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的平均数相等
B．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差相等
C．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等
D．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数相等
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）在△ABC中，AC＝7，BC＝4，点D满足，，则BD＝ ．
13．（2025春 青白江区校级期末）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义．我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD＝DE＝22m，则解放碑的高AB为 ．
14．（2025春 保定期末）已知△ABC中，，则 ；若点A，B，C都在圆O上，且，则与夹角的余弦值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 同心县期末）已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16．（2025春 西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17．（2025春 成都期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面AFC1∥平面CEB1；
（3）求直线AC1与直线CB1所成角的大小．
18．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角B；
（2）若的周长为，D为BC的中点．求中线AD的长度．
19．（2025春 贵阳校级期末）如图已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS＝3：2：4，点M为SA上的点，且3AM＝AS．
（1）求证：CP∥平面SAB；
（2）求证：平面BMQ∥平面ACP；
（3）平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求的值．
期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B D D A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）小冉同学近9次考试的数学成绩如下：72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
【解答】解：由题意，数学成绩从小到大依次为：72，74，80，83，85，85，93，100，107，
因为9×40%＝3.6，所以数据的第40百分位数是83．
故选：D．
2．（2025春 会泽县期末）已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为（ ）
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．不确定
【解答】解：根据题意，由a∥b，b，c是异面直线，则a，c异面或相交，
又由c∥d，则a，d异面或相交．
故选：C．
3．（2025春 金安区期末）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（ ）
A． B．2 C． D．5
【解答】解：因为，所以，解得m＝2，所以．
故选：C．
4．（2025春 鄂尔多斯期末）已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（ ）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
【解答】解：（2+3i）（4﹣i）＝8﹣2i+12i+3＝11+10i．
故选：B．
5．（2025春 绿园区校级期末）如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，余下几何体的表面积为
S＝S圆锥+S圆柱侧＝（π×2×4+π×22）+2π×112π+2π．
故选：D．
6．（2025春 六枝特区校级期末）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
【解答】解：根据题意，直观图为正方形O′A′B′C′，且其边长为2，
如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，
其中，
所以原图形的面积为．
故选：D．
7．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A＝30°，b＝c，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为a＝2，A＝30°，b＝c，
由a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得，
可得，
所以△ABC的面积S．
故选：A．
8．（2025春 浦东新区校级期末）若复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，则|z1 z2|与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法判定
【解答】解：由题意复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，
可得z1 z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（bc+ad）i，
则，
，
则，
由基本不等式，，
当b2c2＝a2d2，且abcd≥0时，等号成立，则．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 会泽县期末）已知复数z＝1+i，z的共轭复数为，复数z在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ）
A．M在第一象限 B．
C．z2＝2 D．
【解答】解：由z＝1+i，对应点为M（1，1）在第一象限，且，
所以，z2＝（1+i）2＝2i，，
所以A、D对，B、C错．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：对于A，向量，，故A正确；
对于B，，，
因为1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，故B错误；
对于C，，，
因为，所以，故C正确；
对于D，，，
，，，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2024秋 辽宁期末）数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、中位数都是x3，则（ ）
A．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的平均数相等
B．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差相等
C．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等
D．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数相等
【解答】解：设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，则，
对于选项A，数据x1，x2，x4，x5的平均数为，故选项A正确；
对于选项B，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差，
数据x1，x2，x4，x5的方差，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差不一定相等，故选项B错误；
对于选项C，数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等，故选项C正确；
对于选项D，举例：数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数不一定相等，故选项D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）在△ABC中，AC＝7，BC＝4，点D满足，，则BD＝ 2 ．
【解答】解：设BD＝x，则AD＝2x，
在△ADC中，由余弦定理得，同理可得，
因为∠ADC+∠BDC＝π，
所以（舍负）．
故答案为：2．
13．（2025春 青白江区校级期末）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义．我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD＝DE＝22m，则解放碑的高AB为 m ．
【解答】解：由题意，设AB＝xm，Rt△ABC中，m，
同理可得BDxm，m，
因为CD＝DE＝22m，所以在△BEC中，①，
在△BDE中，②，
由①②组成方程组，解得，即ABm．
故答案为：m．
14．（2025春 保定期末）已知△ABC中，，则 2 ；若点A，B，C都在圆O上，且，则与夹角的余弦值为 ．
【解答】解：∵△ABC中，，∴，
∴，
∴，
∴
，
取BC的中点D，连接AD、OD，则OD⊥BC，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴cos，．
故答案为：2；．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 同心县期末）已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
【解答】（1）解：由复数z1＝1+mi，，
得，
∵复数z为纯虚数，∴，解得m＝4；
（2）解：由z1＝1+mi，
得ω，
∵在复平面内所对应的点位于第四象限，∴，解得﹣1＜m＜1．
∴实数m的取值范围为（﹣1，1）．
16．（2025春 西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【解答】解：（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
17．（2025春 成都期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面AFC1∥平面CEB1；
（3）求直线AC1与直线CB1所成角的大小．
【解答】解：（1）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点，
由题意知△ABC 是正三角形，
∵E是AB的中点，∴CE⊥AB，
又∵AA1⊥平面ABC，CE 平面ABC，
∴AA1⊥CE，
又∵AB∈平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，
∴CE⊥平面ABB1A1．
（2）证明：连接EF，
∵EF∥AA1，CC1∥AA1，
∴EF∥CC1，且EF＝CC1，
∴四边形CEFC1是平行四边形，
∴CE∥C1F，
又∵CE 平面CEB1，C1F 平面CEB1，
∴C1F∥平面CEB1，
∵E，F分别是AB，A1B1的中点，
∴AE∥FB1，且AE＝FB1，
∴四边形AEB1F是平行四边形，∴AF∥EB1，
又∵EB1 平面CEB1，AF 面CEB1，
∴AF∥平面CEB1，
又∵AF 平面AFC1，C，F 平面AFC1，AF∩C1F＝F，
∴平面AFC1∥平面CEB1．
（3）连接C1B交CB1于点G，连接GE，
∵G，E分别是C1B，AB的中点，
∴EG∥AC1，
∴∠CGE或其补角为直线AC1与直线CB1所成的角，
设∴AB＝2，
∴，，
∴CE＝EB，
∵G是CB1的中点，∴EG⊥CB1，即AC1⊥CB1，
∴直线AC1与直线CB1所成的角大小为．
18．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角B；
（2）若的周长为，D为BC的中点．求中线AD的长度．
【解答】解：（1）由题设，可得，
则，
所以，
即，
所以，而sinA≠0，故，
由0＜B＜π，则；
（2）由题意可得，，b，
又，则，
所以
因为，
所以a2+c2﹣3＝ac，
则（a+c）2﹣3ac＝3，可得ac＝3，
综上，a＝c，
所以，
所以|AD|．
19．（2025春 贵阳校级期末）如图已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS＝3：2：4，点M为SA上的点，且3AM＝AS．
（1）求证：CP∥平面SAB；
（2）求证：平面BMQ∥平面ACP；
（3）平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求的值．
【解答】解：（1）证明：连接MP，
在三角形SAD中，因为，所以MP∥AD，且，
又因为AD∥BC，BC＝2，所以MP∥BC且MP＝BC，
所以四边形MPCB为平行四边形，所以CP∥BM，
又因为BM 平面SAB，CP 平面SAB，
因此CP∥平面SAB．
（2）证明：根据第一问得CP∥BM，又因为CP 平面BMQ，BM 平面BMQ，
所以CP∥平面BMQ，
在三角形SAD中，因为DP：PQ：QS＝3：2：4，所以，所以MQ∥AP，
又因为AP 平面BMQ，MQ 平面BMQ，所以AP∥平面BMQ，
又由于AP∩CP＝P且AP，CP均在平面ACP中，
所以平面ACP∥平面BMQ．
（3）根据第一问知BM∥CP，又因为BM 面SCD，CP 面SCD，所以BM∥平面SCD，
又因为BM 平面BMQ，面BMQ∩面SCD＝QE，
所以BM∥QE，又因为BM∥CP，所以QE∥CP，所以．
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期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）小冉同学近9次考试的数学成绩如下：72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
2．（2025春 会泽县期末）已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为（ ）
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．不确定
3．（2025春 金安区期末）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（ ）
A． B．2 C． D．5
4．（2025春 鄂尔多斯期末）已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（ ）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
5．（2025春 绿园区校级期末）如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 六枝特区校级期末）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
7．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A＝30°，b＝c，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春 浦东新区校级期末）若复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，则|z1 z2|与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法判定
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 会泽县期末）已知复数z＝1+i，z的共轭复数为，复数z在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ）
A．M在第一象限 B．
C．z2＝2 D．
（多选）10．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A． B． C． D．
（多选）11．（2024秋 辽宁期末）数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、中位数都是x3，则（ ）
A．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的平均数相等
B．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差相等
C．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等
D．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数相等
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）在△ABC中，AC＝7，BC＝4，点D满足，，则BD＝ ．
13．（2025春 青白江区校级期末）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义．我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD＝DE＝22m，则解放碑的高AB为 ．
14．（2025春 保定期末）已知△ABC中，，则 ；若点A，B，C都在圆O上，且，则与夹角的余弦值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 同心县期末）已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16．（2025春 西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17．（2025春 成都期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面AFC1∥平面CEB1；
（3）求直线AC1与直线CB1所成角的大小．
18．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角B；
（2）若的周长为，D为BC的中点．求中线AD的长度．
19．（2025春 贵阳校级期末）如图已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS＝3：2：4，点M为SA上的点，且3AM＝AS．
（1）求证：CP∥平面SAB；
（2）求证：平面BMQ∥平面ACP；
（3）平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求的值．
期末重组复习卷（一）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B D D A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD AC AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 会泽县期末）小冉同学近9次考试的数学成绩如下：72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A．81.5 B．80 C．84 D．83
【解答】解：由题意，数学成绩从小到大依次为：72，74，80，83，85，85，93，100，107，
因为9×40%＝3.6，所以数据的第40百分位数是83．
故选：D．
2．（2025春 会泽县期末）已知直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d，b，c是异面直线，则a与d的位置关系为（ ）
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．不确定
【解答】解：根据题意，由a∥b，b，c是异面直线，则a，c异面或相交，
又由c∥d，则a，d异面或相交．
故选：C．
3．（2025春 金安区期末）已知向量（﹣1，），（1，m），若⊥，则||＝（ ）
A． B．2 C． D．5
【解答】解：因为，所以，解得m＝2，所以．
故选：C．
4．（2025春 鄂尔多斯期末）已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（ ）
A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i
【解答】解：（2+3i）（4﹣i）＝8﹣2i+12i+3＝11+10i．
故选：B．
5．（2025春 绿园区校级期末）如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，余下几何体的表面积为
S＝S圆锥+S圆柱侧＝（π×2×4+π×22）+2π×112π+2π．
故选：D．
6．（2025春 六枝特区校级期末）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
【解答】解：根据题意，直观图为正方形O′A′B′C′，且其边长为2，
如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，
其中，
所以原图形的面积为．
故选：D．
7．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A＝30°，b＝c，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为a＝2，A＝30°，b＝c，
由a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得，
可得，
所以△ABC的面积S．
故选：A．
8．（2025春 浦东新区校级期末）若复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，则|z1 z2|与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法判定
【解答】解：由题意复数z1＝a+bi、z2＝c+di（a、b、c、d∈R）在复平面上所对应的向量分别是、，
可得z1 z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（bc+ad）i，
则，
，
则，
由基本不等式，，
当b2c2＝a2d2，且abcd≥0时，等号成立，则．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 会泽县期末）已知复数z＝1+i，z的共轭复数为，复数z在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ）
A．M在第一象限 B．
C．z2＝2 D．
【解答】解：由z＝1+i，对应点为M（1，1）在第一象限，且，
所以，z2＝（1+i）2＝2i，，
所以A、D对，B、C错．
故选：AD．
（多选）10．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：对于A，向量，，故A正确；
对于B，，，
因为1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，故B错误；
对于C，，，
因为，所以，故C正确；
对于D，，，
，，，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（2024秋 辽宁期末）数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数、中位数都是x3，则（ ）
A．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的平均数相等
B．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差相等
C．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等
D．数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数相等
【解答】解：设数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，则，
对于选项A，数据x1，x2，x4，x5的平均数为，故选项A正确；
对于选项B，数据x1，x2，x3，x4，x5的方差，
数据x1，x2，x4，x5的方差，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的方差不一定相等，故选项B错误；
对于选项C，数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的极差相等，故选项C正确；
对于选项D，举例：数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，
所以数据x1，x2，x3，x4，x5与数据x1，x2，x4，x5的中位数不一定相等，故选项D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 浦东新区校级期末）在△ABC中，AC＝7，BC＝4，点D满足，，则BD＝ 2 ．
【解答】解：设BD＝x，则AD＝2x，
在△ADC中，由余弦定理得，同理可得，
因为∠ADC+∠BDC＝π，
所以（舍负）．
故答案为：2．
13．（2025春 青白江区校级期末）解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义．我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD＝DE＝22m，则解放碑的高AB为 m ．
【解答】解：由题意，设AB＝xm，Rt△ABC中，m，
同理可得BDxm，m，
因为CD＝DE＝22m，所以在△BEC中，①，
在△BDE中，②，
由①②组成方程组，解得，即ABm．
故答案为：m．
14．（2025春 保定期末）已知△ABC中，，则 2 ；若点A，B，C都在圆O上，且，则与夹角的余弦值为 ．
【解答】解：∵△ABC中，，∴，
∴，
∴，
∴
，
取BC的中点D，连接AD、OD，则OD⊥BC，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴cos，．
故答案为：2；．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 同心县期末）已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
【解答】（1）解：由复数z1＝1+mi，，
得，
∵复数z为纯虚数，∴，解得m＝4；
（2）解：由z1＝1+mi，
得ω，
∵在复平面内所对应的点位于第四象限，∴，解得﹣1＜m＜1．
∴实数m的取值范围为（﹣1，1）．
16．（2025春 西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【解答】解：（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
17．（2025春 成都期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：CE⊥平面ABB1A1；
（2）求证：平面AFC1∥平面CEB1；
（3）求直线AC1与直线CB1所成角的大小．
【解答】解：（1）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别是AB，A1B1的中点，
由题意知△ABC 是正三角形，
∵E是AB的中点，∴CE⊥AB，
又∵AA1⊥平面ABC，CE 平面ABC，
∴AA1⊥CE，
又∵AB∈平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，
∴CE⊥平面ABB1A1．
（2）证明：连接EF，
∵EF∥AA1，CC1∥AA1，
∴EF∥CC1，且EF＝CC1，
∴四边形CEFC1是平行四边形，
∴CE∥C1F，
又∵CE 平面CEB1，C1F 平面CEB1，
∴C1F∥平面CEB1，
∵E，F分别是AB，A1B1的中点，
∴AE∥FB1，且AE＝FB1，
∴四边形AEB1F是平行四边形，∴AF∥EB1，
又∵EB1 平面CEB1，AF 面CEB1，
∴AF∥平面CEB1，
又∵AF 平面AFC1，C，F 平面AFC1，AF∩C1F＝F，
∴平面AFC1∥平面CEB1．
（3）连接C1B交CB1于点G，连接GE，
∵G，E分别是C1B，AB的中点，
∴EG∥AC1，
∴∠CGE或其补角为直线AC1与直线CB1所成的角，
设∴AB＝2，
∴，，
∴CE＝EB，
∵G是CB1的中点，∴EG⊥CB1，即AC1⊥CB1，
∴直线AC1与直线CB1所成的角大小为．
18．（2025春 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角B；
（2）若的周长为，D为BC的中点．求中线AD的长度．
【解答】解：（1）由题设，可得，
则，
所以，
即，
所以，而sinA≠0，故，
由0＜B＜π，则；
（2）由题意可得，，b，
又，则，
所以
因为，
所以a2+c2﹣3＝ac，
则（a+c）2﹣3ac＝3，可得ac＝3，
综上，a＝c，
所以，
所以|AD|．
19．（2025春 贵阳校级期末）如图已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP：PQ：QS＝3：2：4，点M为SA上的点，且3AM＝AS．
（1）求证：CP∥平面SAB；
（2）求证：平面BMQ∥平面ACP；
（3）平面BMQ与侧棱SC相交于点E，求的值．
【解答】解：（1）证明：连接MP，
在三角形SAD中，因为，所以MP∥AD，且，
又因为AD∥BC，BC＝2，所以MP∥BC且MP＝BC，
所以四边形MPCB为平行四边形，所以CP∥BM，
又因为BM 平面SAB，CP 平面SAB，
因此CP∥平面SAB．
（2）证明：根据第一问得CP∥BM，又因为CP 平面BMQ，BM 平面BMQ，
所以CP∥平面BMQ，
在三角形SAD中，因为DP：PQ：QS＝3：2：4，所以，所以MQ∥AP，
又因为AP 平面BMQ，MQ 平面BMQ，所以AP∥平面BMQ，
又由于AP∩CP＝P且AP，CP均在平面ACP中，
所以平面ACP∥平面BMQ．
（3）根据第一问知BM∥CP，又因为BM 面SCD，CP 面SCD，所以BM∥平面SCD，
又因为BM 平面BMQ，面BMQ∩面SCD＝QE，
所以BM∥QE，又因为BM∥CP，所以QE∥CP，所以．
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