期末重组复习卷（二）（含解析）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册

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期末重组复习卷（二）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 东莞市期末）函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，e） B．（0，e） C．（，+∞） D．（e，+∞）
2．（2025春 福建期末）在等比数列{an}中，若且a1＝1，则a5＝（　　）
A．64 B．32 C．16 D．8
3．（2025春 长治校级期末）曲线f（x）＝sinx在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x C． D．
4．（2025春 东莞市期末）已知x＝1是函数f（x）＝x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．（2025春 娄星区校级期末）已知函数在x＝1处的切线与直线y＝1平行，且在区间（a﹣8，a）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，9） B．[1，9） C．[3，9） D．（3，9]
6．（2025春 临泉县期末）若数列{}是公比为q的等比数列，且a1+a2＝16，则a1+q2的最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．（2025春 赣州期末）已知y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的增区间是（a，e）和（g，+∞）
B．f（x）有4个极值点
C．f（x）的减区间是（b，c）和（d，f）和（h，i）
D．f（x）极大值点和极小值点的个数相同
8．（2025春 赣州期末）数列{an}为1，2，4，…，则不能作为{an}通项公式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 福建校级期末）设函数f（x）＝x3﹣3ax+a3，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，且x1＜x2＜x3，则（　　）
A．实数a的取值范围为[1，+∞）
B． x∈（0，+∞），f（x）≥﹣1
C．
D．当2x2＝x1+x3时，t≥3lna+1
（多选）10．（2025春 定安县期末）已知等比数列{an}的公比为q，a1＝﹣2，a2＝4，则（　　）
A．q＝﹣2
B．a3+a4＝8
C．S5＝22
D．数列{anan+1}是公比为﹣4的等比数列
（多选）11．（2025春 恩施州期末）一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量，则（　　）
A．F关于r的瞬时变化率为
B．r关于F的瞬时变化率为
C．m关于r的瞬时变化率为GMmr
D．F关于m的瞬时变化率为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 栖霞区校级期末）若函数f（x）＝cosx﹣ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 　 　 ．
13．（2025春 湖北校级期末）已知函数f（x）＝x+sinx，其在点处的切线与曲线y＝f（x）的图像恰有三个交点，则x0﹣tanx0＝　 　 ．
14．（2025春 娄星区校级期末）若数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}满足bn＝lnan，且b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和为Sn＝ 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 青州市校级期末）记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，已知S6＝63，a5+a4＝8（a2+a1）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝2n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．（2025春 龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝x2+2f′（1）lnx+1．
（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的图形面积；
（2）求f（x）在[1，2]上的单调性与最值．
17．（2025春 金昌校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（1）当m＝2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处有极值，求函数f（x）的单调区间；
（3）当m≤2时，求证f（x）＞0．
18．（2025春 毕节市期末）已知数列{an}满足a1＝2，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求f′（﹣1）．
19．（2025春 湖南期末）已知函数放f（x）＝ex（cosx+1）﹣ax，a∈R．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝π处的切线方程；
（2）若a＝0，求y＝f（x）在（0，π）内的极值；
（3）设g（x）＝f（x）﹣excosx，若g（x）有2个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜2lna．
期末重组复习卷（二）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D C D A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AB AD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 东莞市期末）函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，e） B．（0，e） C．（，+∞） D．（e，+∞）
【解答】解：由于函数f（x）的导数为y′，
令y′＞0 可得 lnx＜1，解得0＜x＜e，
故函数f（x）的单调递增区间是 （0，e），
故选：B．
2．（2025春 福建期末）在等比数列{an}中，若且a1＝1，则a5＝（　　）
A．64 B．32 C．16 D．8
【解答】解：在等比数列{an}中，若且a1＝1，
∴等比数列的性质可得，
∴a2≠0，故a4＝8，
∵a1＝1，∴，
∵q＝2，∴a5＝a4q＝16．
故选：C．
3．（2025春 长治校级期末）曲线f（x）＝sinx在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．y＝x B．y＝﹣2x C． D．
【解答】解：f（x）＝sinx，导数为f′（x）＝cosx，
可得曲线f（x）＝sinx在点（0，f（0））处的切线的斜率为cos0＝1，
由切点为（0，0），
可得在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣0），即y＝x．
故选：A．
4．（2025春 东莞市期末）已知x＝1是函数f（x）＝x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣3ax+2，x∈R，
所以f'（x）＝3x2﹣3a，
又因为x＝1是函数的极小值点，
所以f'（1）＝3﹣3a＝0，
解得a＝1，
所以f（x）＝x3﹣3x+2，f'（x）＝3x2﹣3，
令f'（x）＝3x2﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝1，
所以当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）在x＝﹣1处取极大值，在x＝1处取极小值，
所以f（x）的取极大值为f（﹣1）＝﹣1+3+2＝4．
故选：D．
5．（2025春 娄星区校级期末）已知函数在x＝1处的切线与直线y＝1平行，且在区间（a﹣8，a）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，9） B．[1，9） C．[3，9） D．（3，9]
【解答】解：因为数，
所以f′（x）＝x2+2x+b，
又数在x＝1处的切线与直线y＝1平行，
所以f′（1）＝12+2+b＝0，所以b＝﹣3，
所以，f′（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
令f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，令f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，
故f（x）在（﹣3，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，
又，令，
即x3+3x2﹣9x+5＝0，变形得到（x﹣1）（x2+4x﹣5）＝0，即（x﹣1）2（x+5）＝0，
故x＝1或x＝﹣5，即，
要想在区间（a﹣8，a）上存在最小值，需满足，
解得a∈[3，9）．
故选：C．
6．（2025春 临泉县期末）若数列{}是公比为q的等比数列，且a1+a2＝16，则a1+q2的最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：由已知得，q，所以a2＝a1q2，且a1＞0，q＞0，
因为a1+a2＝16，所以a1+a1q2＝16，a1，
所以a1+q2q2+1﹣1≥21＝7，当且仅当q2+1，即q2＝3时取等号，
故a1+q2的最小值为7．
故选：D．
7．（2025春 赣州期末）已知y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的增区间是（a，e）和（g，+∞）
B．f（x）有4个极值点
C．f（x）的减区间是（b，c）和（d，f）和（h，i）
D．f（x）极大值点和极小值点的个数相同
【解答】解：由y＝f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）的减区间为（﹣∞，a）和（e，g），增区间为（a，e）和（g，+∞），故A正确，C错误，
所以f（x）有3个极值点分别是a，e，g，故B错误，
f（x）极大值点为e，极小值点为a，g，故D错误．
故选：A．
8．（2025春 赣州期末）数列{an}为1，2，4，…，则不能作为{an}通项公式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若an，则，选项A正确；
若an＝2n﹣1，则，选项B正确；
若an＝﹣n2+4n﹣2，则，
选项C错误；
若an，则，故D正确．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 福建校级期末）设函数f（x）＝x3﹣3ax+a3，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，且x1＜x2＜x3，则（　　）
A．实数a的取值范围为[1，+∞）
B． x∈（0，+∞），f（x）≥﹣1
C．
D．当2x2＝x1+x3时，t≥3lna+1
【解答】解：f（x）＝x3﹣3ax+a3的定义域为R，导函数f′（x）＝3（x2﹣a），
当a≤0时，f（x）在R上单调递增，f（x）＝t最多一个解，不符合题意；
当a＞0时，根据f′（x）＜0，；根据f′（x）＞0，得或，
f（x）在上单调递减，在上单调递增，
f（x）在处取得极小值，在处取得极大值，
对于选项A，根据题意，，实数a的取值范围为（0，+∞），所以选项A错误；
对于选项B，根据A选项知a∈（0，+∞），x＞0，，所以选项B正确；
对于选项C，根据题意，，那么，
根据，得，化简得，
那么，
当且仅当﹣x1＝x3时取等号，解得，所以选项C正确；
对于选项D，由C选项知，且，
由2x2＝x1+x3，得，则x2x3＝x2x1，即x2＝0，，
令函数g（a）＝a3﹣3lna﹣1，求导得，
当0＜a＜1时，g′（a）＜0；当a＞1时，g′（a）＞0，g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
因此g（a）≥g（1）＝0，则a3≥3lna+1，即t≥3lna+1，D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2025春 定安县期末）已知等比数列{an}的公比为q，a1＝﹣2，a2＝4，则（　　）
A．q＝﹣2
B．a3+a4＝8
C．S5＝22
D．数列{anan+1}是公比为﹣4的等比数列
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，a1＝﹣2，a2＝4，
所以q2，A对；
a3+a4＝a2（q+q2）＝4×2＝8，B对；
S522，C错；
因为q2＝4，所以数列{anan+1}是公比为4的等比数列，D错．
故选：AB．
（多选）11．（2025春 恩施州期末）一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量，则（　　）
A．F关于r的瞬时变化率为
B．r关于F的瞬时变化率为
C．m关于r的瞬时变化率为GMmr
D．F关于m的瞬时变化率为
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由，可得
则F对于r的瞬时变化率是，所以A正确；
对于B，由，可得，
则r关于F的瞬时变化率，所以B错误；
对于C，由，可得，
则m关于r的瞬时变化率为，所以C错误；
对于D，由，可得，
F关于m的瞬时变化率为，所以D正确．
故选：AD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 栖霞区校级期末）若函数f（x）＝cosx﹣ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　 ．
【解答】解：由f（x）＝cosx﹣ax，x∈R，可得f′（x）＝﹣sinx﹣a，
若f（x）在定义域内单调递减，则 x∈R，f′（x）≤0，
即a≥﹣sinx恒成立，又﹣sinx≤1，则a≥1，即a∈[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
13．（2025春 湖北校级期末）已知函数f（x）＝x+sinx，其在点处的切线与曲线y＝f（x）的图像恰有三个交点，则x0﹣tanx0＝　0　 ．
【解答】解：易知，f（﹣x）＝﹣f（x），
若函数的切线与f（x）有三个交点，则该切线过原点，
设切点为（x0，x0+sinx0），又f′（x）＝1+cosx，
所以切线斜率满足：1+cosx0，
即x0cosx0＝sinx0，显然，
所以tanx0＝x0，
所以x0﹣tanx0＝0．
故答案为：0．
14．（2025春 娄星区校级期末）若数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}满足bn＝lnan，且b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和为Sn＝ 　23n﹣n2　 ．
【解答】解：由已知可得a3＝e18，a6＝e12，设{an}的公比为q，
则q3e﹣6，所以q＝e﹣2，
所以a1e22，所以an＝a1 qn﹣1＝e22 e﹣2（n﹣1）＝e24﹣2n，
所以bn＝lnan＝24﹣2n，
所以{bn}是等差数列，公差为﹣2，首项为22，
所以{bn}的前n项和Sn＝22n（﹣2）＝23n﹣n2．
故答案为：23n﹣n2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 青州市校级期末）记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，已知S6＝63，a5+a4＝8（a2+a1）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝2n an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），
因为a5+a4＝q3（a2+a1）＝8（a2+a1），
所以q3＝8，解得q＝2．
又，
所以a1＝1，an＝2n﹣1；
（2）由题知bn＝2n an＝n 2n，
所以，
，
两式相减得
＝（1﹣n）2n+1﹣2，
所以．
16．（2025春 龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝x2+2f′（1）lnx+1．
（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的图形面积；
（2）求f（x）在[1，2]上的单调性与最值．
【解答】解：（1）由题意可得，，
所以，解得f′（1）＝﹣2，
又f（1）＝12+2f′（1）ln1+1＝2，
所以f（x）在（1，f（1））处的切线为y﹣2＝﹣2（x﹣1），
令x＝0，解得y＝4，令y＝0，解得x＝2，
故切线与坐标轴轴围成的面积为：；
（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣4lnx+1，设x∈[1，2]，
，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
而，
注意到，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为，最大值为f（2）＝5﹣4ln2．
17．（2025春 金昌校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（1）当m＝2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处有极值，求函数f（x）的单调区间；
（3）当m≤2时，求证f（x）＞0．
【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝ex﹣ln（x+2），
则，
故，
所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为，
即；
（2），
因为函数f（x）在x＝0处有极值，
所以f′（0），解得m＝1，
此时，
因为在（﹣1，+∞）上是增函数，f′（0）＝0，
所以x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1，
当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝0，
所以ex≥x+1，当且仅当x＝0时取等号，．．
故f（x）＝ex﹣ln（x+m）≥x+1﹣ln（x+m），
令g（x）＝x+1﹣ln（x+m），则，
当﹣m＜x＜﹣m+1时，g′（x）＜0，当x＞﹣m+1时，g′（x）＞0，
所以函数g（x）在（﹣m，﹣m+1）上单调递减，在（﹣m+1，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（﹣m+1）＝﹣m+2≥0，当且仅当m＝0，x＝1时，等号成立，
当x＝1时，ex＞x+1，所以f（x）＞0．
18．（2025春 毕节市期末）已知数列{an}满足a1＝2，．
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求f′（﹣1）．
【解答】解：（1）证明：由，
可得，
所以是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由等差数列的通项公式得，故．
可得f（x）的导数为，
由得，所以，
当x≠2时，，
所以．
19．（2025春 湖南期末）已知函数放f（x）＝ex（cosx+1）﹣ax，a∈R．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝π处的切线方程；
（2）若a＝0，求y＝f（x）在（0，π）内的极值；
（3）设g（x）＝f（x）﹣excosx，若g（x）有2个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜2lna．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝ex（cosx+1）﹣x，那么导函数f′（x）＝ex（cosx+1﹣sinx）﹣1，
由于f（π）＝﹣π，f′（π）＝﹣1，
因此y＝f（x）在x＝π处的切线方程为y+π＝﹣（x﹣π），即x+y＝0．
（2）当a＝0时，函数f（x）＝ex（cosx+1），有导函数f′（x）＝ex（cosx+1﹣sinx），
根据f′（x）＝0，可得cosx+1﹣sinx＝0，即，
当x∈（0，π）时，，所以，即，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因此函数f（x）无最小值，有极大值．
（3）证明：函数g（x）＝f（x）﹣excosx＝ex﹣ax，那么导函数g′（x）＝ex﹣a．
若a≤0，那么导函数g′（x）＞0，g（x）单调递增，不可能有两个零点．
若a＞0，令导函数g′（x）＝0，得x＝lna，
当x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
因此x＝lna为g（x）的极小值点，
要使函数g（x）有2个零点，那么需g（lna）＝a﹣alna＜0，即a＞e．
由于函数g（x）的2个零点为x1，x2，x1＜x2，因此x1＜lna＜x2．
要证x1+x2＜2lna，那么只需证x2＜2lna﹣x1，
由于lna＜x2，函数g（x）在（lna，+∞）上单调递增，
因此只需证g（x2）＜g（2lna﹣x1），
由于g（x2）＝g（x1），因此只需证g（x1）＜g（2lna﹣x1），
即只需证g（x）＜g（2lna﹣x），x＜lna，
令函数F（x）＝g（2lna﹣x）﹣g（x），x＜lna，
那么导函数F′（x）＝﹣g′（2lna﹣x）﹣g′（x）＝﹣a2e﹣x﹣ex+2a，
设函数h（x）＝﹣a2e﹣x﹣ex+2a，那么导函数h′（x）＝a2e﹣x﹣ex，
那么导函数h′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，
又由于h′（lna）＝a2e﹣lna﹣elna＝a﹣a＝0，
因此当x＜lna时，导函数h′（x）＞0，因此函数h（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，
又由于h（lna）＝﹣a2e﹣lna﹣elna+2a＝﹣a﹣a+2a＝0，
因此当x＜lna时，h（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，
又因为F（lna）＝g（2lna﹣lna）﹣g（lna）＝0，所以F（x）＞0，
即g（x）＜g（2lna﹣x），x＜lna，
所以原命题得证．
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